“數(shù)學(xué)整體教學(xué)”在指向兒童關(guān)系性的理解中建構(gòu)

☉張曉曉

教育的最終目的是激發(fā)兒童的自我潛力，引導(dǎo)他們的自我發(fā)展。“數(shù)學(xué)整體教學(xué)”，即數(shù)學(xué)教師在整體觀和系統(tǒng)論的指導(dǎo)下展開的“有發(fā)生”“在發(fā)展”“有成效”“會應(yīng)用”的教學(xué)實踐。小學(xué)數(shù)學(xué)的整體教學(xué)要求數(shù)學(xué)老師能站在整體的高度，堅持數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綱領(lǐng)，整合數(shù)學(xué)核心的觀念，重組數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，基于數(shù)學(xué)整體的組織，構(gòu)建整體的能夠關(guān)聯(lián)的兒童學(xué)習(xí)狀態(tài)。

“數(shù)學(xué)整體教學(xué)”有三要素：一是“整體”，這是教師開展學(xué)科教學(xué)的基本觀點，它關(guān)注的是學(xué)生過去的積累、現(xiàn)在的狀態(tài)和將來的發(fā)展，關(guān)注的是數(shù)學(xué)知識自身的邏輯關(guān)系和先后發(fā)生發(fā)展的規(guī)律；二是“數(shù)學(xué)”，它是學(xué)生學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，“數(shù)學(xué)”的主要任務(wù)是學(xué)生在教師的“教學(xué)”中能夠提高思維的能力、提升數(shù)學(xué)的素養(yǎng)；三是“教學(xué)”，它是教師工作的核心內(nèi)容，在教師的整體設(shè)計中學(xué)生能夠呈現(xiàn)系統(tǒng)的自主的學(xué)習(xí)生態(tài)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的整體教學(xué)是兒童的經(jīng)驗、數(shù)學(xué)的知識和現(xiàn)實的世界三者之間整體關(guān)聯(lián)的兼顧，它強調(diào)兒童的主體地位，以及兒童對數(shù)學(xué)知識之間關(guān)系性的理解。

教育部發(fā)布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》中強調(diào)“數(shù)學(xué)研究的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，它來源于人們對現(xiàn)實世界的抽象，對數(shù)量及其關(guān)系的抽象，對圖形及其關(guān)系的抽象，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究對象，得到各種研究對象之間的關(guān)系?！边@句話更進一步強調(diào)了“數(shù)學(xué)的教學(xué)離不開數(shù)學(xué)研究對象之間關(guān)系性理解”。關(guān)系性理解，即兒童能夠厘清數(shù)學(xué)知識體系中各種要素之間的相互關(guān)系和相互作用，他們對數(shù)學(xué)知識及其意義獲得的途徑，數(shù)學(xué)規(guī)律的邏輯依據(jù)有著深刻的認知。因此，數(shù)學(xué)整體教學(xué)，既要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，又要讓他們理解數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程，弄清數(shù)學(xué)知識的“前世今生”，更要讓他們找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識的生長點和發(fā)展點，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的體系化的認知框架。

一、全局觀：數(shù)學(xué)知識從點狀走向整體

在當(dāng)前的很多數(shù)學(xué)課堂里，我們會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)碎片化，究其原因是教師在設(shè)計每一課時的內(nèi)容時，割裂了學(xué)生知識的生長點，忽視了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，同時，教師既沒有梳理出數(shù)學(xué)知識的“前因后果”，也沒有準(zhǔn)確定位學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，更沒有預(yù)設(shè)他們后續(xù)的發(fā)展水平。而數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)不是體現(xiàn)在單個的知識點，而是隱藏在知識體系中。因此，數(shù)學(xué)整體教學(xué)要從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，找到新舊知識之間的相互聯(lián)系，關(guān)注他們對現(xiàn)有知識的理解程度，預(yù)設(shè)他們可能的發(fā)展水平，整體設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，用全局觀讓數(shù)學(xué)知識的教學(xué)從點狀走向整體。［1］

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)以運算的學(xué)習(xí)為主線。運算的教學(xué)要基于算法和算理——算法就是“怎么算”，是運算的程序，是運算的步驟，無論是運算的程序還是運算的步驟，都要遵循一定的規(guī)則；算理則是“為什么這么算”，是算法的原理。在實際教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚怎么算，還要讓他們在各種表征方法中理解為什么這么算。這就要求在運算教學(xué)中，兒童在算法的掌握中明晰算理，厘清算法和算理的關(guān)系，既掌握算法又理解算理，才能達到關(guān)系性理解，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才更有意義。

【課例1】學(xué)生第一次接觸“混合運算”這個概念是蘇教版三年級數(shù)學(xué)下冊，這個內(nèi)容既是小學(xué)階段“數(shù)的運算”的教學(xué)節(jié)點，又是“四則混合運算”的起始課。這節(jié)起始課的教學(xué)重難點是理解并掌握“運算順序：沒有小括號時，同一級運算從左往右算，含有兩級運算時，先乘除后加減；有小括號時要先算小括號里面的”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生以畫圖表征或語言表達等方式，結(jié)合具體的“購物”情境理解算法和算理。其實，在低年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在一年級已接觸到連加、連減、加減混合，在二年級已接觸到乘加、乘減的混合運算，在這些接觸中，學(xué)生逐步形成了運算順序的思維定勢——從左往右。因此，在本節(jié)課的開始，教師可以立足學(xué)生已有的知識起點，從“連加連減”和“乘加乘減”兩組計算題的對比入手，讓學(xué)生認識“什么是混合運算”，感受“混合運算有運算順序”。接著，教師創(chuàng)設(shè)購物情境，引出“買3 支鋼筆和1 盒水彩筆，一共需要多少元”“用50 元去購買3 本筆記本，還剩多少錢”等問題。學(xué)生在自主探究、合作交流的基礎(chǔ)上嘗試將兩道算式合并成一道綜合算式，在計算時他們結(jié)合付錢的實際發(fā)現(xiàn)算式中有乘法和加法（減法）時，都要先算乘法，不管乘法寫在前面還是后面。此時，學(xué)生心中有了認知的沖突“以前不管是乘加還是乘減都是從左邊開始算的，今天先算乘法卻是從右邊開始的”。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生將今天的算式和以前的算式進行對比，他們發(fā)現(xiàn)“乘加和乘減的算式中因為乘法寫在前面，所以先算乘法，就要從左往右計算”，與今天“先乘除后加減”的運算順序并不矛盾。

在這個課例中，學(xué)生產(chǎn)生了新知識和原有認知上的沖突，此時教師舍得留足探究的時間，在慢慢的感悟和深刻的理解中，在經(jīng)歷了猜想、辨析和表征后，學(xué)生充分理順了新舊知識間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了新規(guī)律，獲得了新經(jīng)驗。

二、問題觀：引導(dǎo)探究從被動走向主動

數(shù)學(xué)整體教學(xué)是在大概念統(tǒng)整下的教學(xué)。此處的大概念，是最能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的、具有共識性的統(tǒng)領(lǐng)性的核心概念，不是數(shù)學(xué)知識中某一個具體的概念。大概念落實到具體的課堂中，就是能夠引發(fā)學(xué)生持續(xù)思考、深刻探究的核心問題。因此，教師要樹立問題觀，引導(dǎo)學(xué)生的探究從被動走向主動，將寬泛的大概念與具體的數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)，將“抽象”的學(xué)科知識轉(zhuǎn)化成“形象”的數(shù)學(xué)問題。［2］

【課例2】蘇教版五年級數(shù)學(xué)上冊有一節(jié)探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動課《釘子板上的多邊形》。這一課的教學(xué)重難點就是“探索、歸納釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系”，這個規(guī)律比較隱蔽，學(xué)生無法直接探究出來。因此，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境，用有意義的具有進階性的問題激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引發(fā)他們的思考，自然地開展各種探究活動。

?出示幾組平面圖形，這些平面圖形都在釘子板上，圖形里面只有一顆釘子（相鄰橫著或豎著兩顆釘子間的距離都是1 厘米，相鄰四顆釘子圍成的正方形的面積是1 平方厘米）。

教師提問：這些圖形的面積與圖形邊上的釘子的數(shù)量有關(guān)系嗎？如果有關(guān)系，是什么樣的關(guān)系呢？

這個問題學(xué)生易于探究，在操作、計算、談?wù)撝?，他們發(fā)現(xiàn)“多邊形的面積＝多邊形邊上釘子數(shù)÷2”。

教師再圍幾個任意多邊形，跟學(xué)生一起驗證剛才的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)老師圍的多邊形面積有時符合規(guī)律，有時不符合規(guī)律。

教師提問：符合這個規(guī)律的圖形有著什么樣的共同點？

在學(xué)生交流中，教師完善剛才發(fā)現(xiàn)規(guī)律的前提就是“多邊形里面只有1 枚釘子”時，多邊形的面積才等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半（多邊形的面積乘2 等于多邊形邊上釘子數(shù)）。

?教師提問：釘子板上圖形的面積除了跟邊上釘子數(shù)有關(guān)，跟里面的釘子數(shù)有關(guān)嗎？如果多邊形的里面有2 顆釘子、3 顆釘子，甚至更多，對于多邊形的面積有什么影響呢？

這個問題打破了學(xué)生固有的思維，不同的組有了不同的研究目標(biāo)，在組內(nèi)也進行了分工，有的圍的圖形內(nèi)部有2 顆釘子，有的圍的圖形內(nèi)部有3 顆釘子，有的圍的圖形內(nèi)部有5 顆釘子……在全班同學(xué)的合作與交流中，他們發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部的釘子影響著圖形面積與圖形邊上釘子數(shù)的關(guān)系。在學(xué)生的小結(jié)中，教師不斷完善著規(guī)律：

A 表示圖形內(nèi)部的釘子數(shù)，S 表示多邊形的面積，n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)

當(dāng)a ＝1 時，S ＝n÷2；

當(dāng)a ＝2 時，S ＝n÷2 ＋1；

當(dāng)a ＝3 時，S ＝n÷2 ＋2；

猜想

當(dāng)a ＝m 時，S ＝n÷2 ＋（m－1），這個是否成立，需要繼續(xù)驗證。

在這個課例中，教師幫助學(xué)生找到了知識間聯(lián)系的媒介，即兒童的關(guān)系性理解。因為數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)從來都不是獨立的，因為數(shù)學(xué)知識之間就是相關(guān)聯(lián)的。基于關(guān)系性理解的數(shù)學(xué)活動，不僅可以幫助學(xué)生克服惰性，又可以讓他們在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想之間主動建立起聯(lián)系，還可以建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)體系，使他們能夠有效掌握數(shù)學(xué)知識，高效培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能。

三、任務(wù)觀：抓住建構(gòu)從零碎走向關(guān)聯(lián)

美國著名的教育心理學(xué)家布魯納認為：學(xué)生必須掌握學(xué)科的課程結(jié)構(gòu)，這樣既有助于理解和掌握新舊知識，又有助于開展后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。［3］根據(jù)布魯納的結(jié)構(gòu)課程論，教師在選擇和編排教學(xué)內(nèi)容時，要先理清數(shù)學(xué)知識體系中的核心，再弄清各個知識點之間縱向和橫向的聯(lián)系，最后在教學(xué)過程的設(shè)計中體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和學(xué)生認知之間的聯(lián)系。正如，鄭毓信教授所說：“教學(xué)數(shù)學(xué)知識不求全面而求關(guān)聯(lián)，教學(xué)數(shù)學(xué)技能不求全面而求變化?！睌?shù)學(xué)學(xué)科中基本的概念、學(xué)習(xí)的方法、數(shù)學(xué)的思想等都是有著聯(lián)系且又能互相作用的有機整體，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時，首先要讓點狀的零碎的知識點形成縱橫交錯的知識網(wǎng)，其次要借助多元表征建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)方法，建構(gòu)數(shù)學(xué)思想。因此，教師要善于用關(guān)聯(lián)性的任務(wù)去驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)，用幾個有關(guān)聯(lián)的，有層次的任務(wù)，或具有連續(xù)性和一致性的任務(wù)群，去實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的關(guān)聯(lián)。

【課例3】蘇教版三年級數(shù)學(xué)上冊中有一個數(shù)學(xué)實踐活動是“間隔排列”。該活動的教學(xué)重難點是讓學(xué)生經(jīng)歷“一一間隔排列”規(guī)律的探索過程；找到“首尾不同，兩者個數(shù)相同；首尾相同，兩者個數(shù)相差1”的規(guī)律；會運用規(guī)律解釋并解決生活中的實際問題。對于“一一間隔排列”的現(xiàn)象，學(xué)生在平時生活中已有大量的經(jīng)驗。這種經(jīng)驗是無意識的，教師要幫助學(xué)生理解與建構(gòu)“一一間隔”的規(guī)律。因此，教師要設(shè)計層次化、結(jié)構(gòu)化、螺旋式的任務(wù)，幫助學(xué)生獲得活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長。

?初見規(guī)律：教師提供大量的生活物體的排列實例，學(xué)生在觀察、討論和交流中，發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象的共同特征就是“兩種物體一個隔著一個排列”。

?初探規(guī)律：兩種物體一一間隔，有幾種情況？這時候這兩種物體的數(shù)量之間有什么關(guān)系？教師提供幾個白球和黑球，讓學(xué)生擺出一一間隔排列的情況。在學(xué)生的猜想、操作和交流中，教師畫下四種情況（第一個是黑色，最后一個可能是黑色，也可能是白色；第一個是白色，最后一個可能是白色，也可能是黑色）。白球和黑球的個數(shù)可能相同，也可能相差1。

?理解規(guī)律：將上述的四種情況進行分類，通過學(xué)生的辨析，這四種情況實際上是兩種類型：首尾相同和首尾不同的，當(dāng)首尾相同時，白球和黑球的數(shù)量相差1；當(dāng)首尾不同時，白球和黑球的個數(shù)相同。

接著，教師將白球和黑球一一間隔排列并圍成一圈，讓學(xué)生辨析這種情況是屬于首尾相同還是首尾不同。學(xué)生將白球和黑球兩兩分組后發(fā)現(xiàn)，圍成一圈就是首尾不同的類型。

上述課例中，“一一間隔排列”的規(guī)律有著邏輯規(guī)律：首尾相同和首尾不同，但是卻散落在一個個具體的實例中。這時教師能夠抓住核心的規(guī)律，從大概念入手，通過操作白球和黑球進行一一間隔排列，將相關(guān)的規(guī)律聯(lián)系起來，學(xué)生很快找出一一排列的兩種類型，即首尾相同和首尾不同。在不同情況的梳理中，學(xué)生很快建構(gòu)起知識的框架。學(xué)生理順了數(shù)學(xué)知識與生活的聯(lián)系，便順利建立起知識體系，更好地理解了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，有效建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念。

四、運用觀：幫助遷移從機械走向靈活

整體教學(xué)中在學(xué)生建構(gòu)起知識結(jié)構(gòu)后，需要將數(shù)學(xué)知識進行運用。這種運用不是簡單機械地模仿，而是在多種表征的幫助下，既能理解知識的內(nèi)涵，又能豐富知識的外延。

【課例4】蘇教版五年級數(shù)學(xué)上冊第四單元《多邊形的面積》，這個單元安排的內(nèi)容有比較圖形的面積、認識平行四邊形、三角形和梯形的底和高，從推導(dǎo)平行四邊形面積計算公式的過程中滲透“轉(zhuǎn)化”思想，新圖形轉(zhuǎn)化為已探究過的圖形，所以教學(xué)的重難點定位為關(guān)注學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想、梳理不同圖形之間的關(guān)系。

在平行四邊形的面積推導(dǎo)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗證、交流、總結(jié)，建立起“平行四邊形”和“長方形”的聯(lián)系，理解圖形變化前后相關(guān)元素的關(guān)系，總結(jié)出平面圖形公式推導(dǎo)的一般方法——轉(zhuǎn)化。有了平面圖形的推導(dǎo)經(jīng)驗，學(xué)生在探究三角形和梯形的面積推導(dǎo)公式就顯得“如魚得水”，并能從“機械”變得“靈活”，能舉一反三地運用“轉(zhuǎn)化”的策略多種形式地探究規(guī)律。

綜上所述，數(shù)學(xué)整體教學(xué)要求教師把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心要素，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)系性理的能力，建立學(xué)生數(shù)學(xué)知識的體系，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有“全景式”的認識和把握。