中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維培養(yǎng)路徑探究

魏靖函 鄧方安

摘要：數(shù)學(xué)形象思維作為數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有極其重要的幫助.本文基于對(duì)數(shù)學(xué)形象思維的認(rèn)知，分析了培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的重要性，并對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)形象思維的路徑進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：中學(xué)生；數(shù)學(xué)形象思維；培養(yǎng)策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）33-0045-03

隨著社會(huì)科技的高速發(fā)展，培養(yǎng)高素質(zhì)人才以適應(yīng)社會(huì)需求成為教育的重要目標(biāo).數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，廣泛應(yīng)用到社會(huì)發(fā)展的方方面面，數(shù)學(xué)教育不僅能幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一[1].數(shù)學(xué)思維分為數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)形象思維以及數(shù)學(xué)直覺思維.其中數(shù)學(xué)形象思維作為數(shù)學(xué)思維能力的重要基石，對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升起著關(guān)鍵作用.

1 數(shù)學(xué)形象思維的概念

數(shù)學(xué)形象思維指以各種形象或表象為支柱的思考和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，以達(dá)到揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的目的，從而進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)活動(dòng).數(shù)學(xué)形象思維的基本形式包含：數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)聯(lián)想和數(shù)學(xué)想象.數(shù)學(xué)表象是由數(shù)的形象、圖形、圖像、表格、表達(dá)式、數(shù)學(xué)符號(hào)、模型等觀念形象在人腦中復(fù)現(xiàn)所形成的，主要呈現(xiàn)為圖形表象和圖式表象兩種基本類型，它是數(shù)學(xué)形象思維的基本要素[2].數(shù)學(xué)聯(lián)想是指以具體的數(shù)學(xué)表象為基礎(chǔ)，聯(lián)系頭腦中已有的數(shù)學(xué)表象.數(shù)學(xué)想象是指通過數(shù)學(xué)聯(lián)想將已有的數(shù)學(xué)表象加工成新的數(shù)學(xué)形象，使數(shù)學(xué)形象思維具有創(chuàng)造性的特點(diǎn).

2 培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的重要性

2.1 有助于提高中學(xué)生知識(shí)水平

法國著名數(shù)學(xué)教育家紹蓋認(rèn)為：一堆沒有親身體驗(yàn)或視覺形象所支持的概念定義之類的抽象的東西，不能開發(fā)智力，只能關(guān)閉思路.數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和證明的依據(jù)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的組成部分.數(shù)學(xué)概念是不會(huì)孤立存在的，任何數(shù)學(xué)概念一定是許多相互聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)點(diǎn).數(shù)學(xué)形象思維可以加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)換，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).例如，在學(xué)習(xí)多邊形后可以建立如圖1的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，使學(xué)生感受數(shù)系的擴(kuò)充和知識(shí)間的聯(lián)系，有助于學(xué)生形成良好的概念圖式[3].

2.2 有助于提高中學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科不僅要提高學(xué)生的知識(shí)水平，還需調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.但在大部分中學(xué)生眼中數(shù)學(xué)是極其抽象、復(fù)雜、單調(diào)的.因此很多中學(xué)生沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，甚至討厭數(shù)學(xué).如果教師想提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，打消學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的偏見，重視學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的培養(yǎng)可以很好解決此問題.數(shù)學(xué)形象思維有助于中學(xué)生在頭腦中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成具體表象，便于理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí).

例如在學(xué)習(xí)平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角時(shí)，從學(xué)生的實(shí)際生活情境出發(fā)，利用教室中存在的平行線：窗戶的上下邊框等，向?qū)W生展示生活中具體的同位角、內(nèi)錯(cuò)角，不僅豐富了學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)表象，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，將數(shù)學(xué)與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系起來.

2.3 有助于提高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力

數(shù)學(xué)問題的解決是中學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.影響學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的因素有很多，如對(duì)知識(shí)、公式、定理的理解，問題解決的思路等.其中問題解決的思路是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)家斯蒂恩認(rèn)為：如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.可見把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)形象有助于解題思路的產(chǎn)生，如例1.

例1把表示同一平面內(nèi)所有模不小于1且不大于2的向量的有向線段的起點(diǎn)移動(dòng)到0點(diǎn)，則這些有向線段的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積等于多少？

分析此問題并不復(fù)雜，解決的關(guān)鍵就是把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形象.如圖2，將同一平面內(nèi)所有模等于1的向量的有向線段的起點(diǎn)移動(dòng)到0點(diǎn)構(gòu)成半徑為1的圓，同理可知，模等于2的向量的有向線段的起點(diǎn)移動(dòng)到0點(diǎn)構(gòu)成半徑為2的圓，畫出圖像，發(fā)現(xiàn)問題中的有向線段構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán).

解S=π·22-π·12=3π

3 中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維培養(yǎng)方法

3.1 加強(qiáng)直觀演示，豐富數(shù)學(xué)表象

數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科，要解決數(shù)學(xué)高度抽象性與學(xué)生具體形象思維之間的矛盾，重要的是采取直觀教學(xué)[3].研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知大多數(shù)來自于視覺刺激.在教學(xué)過程中教師需運(yùn)用PPT、幾何畫板、GGB等軟件，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象.例如在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，運(yùn)用幾何畫板如圖3，直觀展示直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相離、相切，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)表象，促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維能力的提升.

3.2 創(chuàng)設(shè)情境，進(jìn)行想象

愛因斯坦說：“想象比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉.”想象是數(shù)學(xué)形象思維過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過程中教師可以通過情境創(chuàng)設(shè)，豐富學(xué)生的形象能力.例如，函數(shù)的概念是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要部分，由于函數(shù)概念具有高度的概括性和抽象性，脫離了學(xué)生的實(shí)際生活，使學(xué)生難以理解.因此在教學(xué)中，教師從豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，展示“復(fù)興號(hào)”列車路程和時(shí)間的關(guān)系，工資與一周工作天數(shù)的關(guān)系，以及一天內(nèi)時(shí)間和空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系.由此引發(fā)學(xué)生想象：以上式子有什么特點(diǎn)，它們之間有共同特征嗎？導(dǎo)入函數(shù)的具體概念以及本質(zhì)屬性.

思維定式是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常見現(xiàn)象，是指學(xué)生按照已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式，用某種固定的思維模式去思考和解決問題.思維定式可以幫助學(xué)生在解決同一類數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過不斷的練習(xí)和總結(jié)，使學(xué)生再面對(duì)此類型題時(shí)可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題情境.思維定式也具有消極影響，學(xué)生形成思維定式之后在面對(duì)類似的問題時(shí)，不善于轉(zhuǎn)變思維方式以多個(gè)角度去分析問題.因此，在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)過程中教師可以打破常規(guī)，轉(zhuǎn)化角度對(duì)問題進(jìn)行思考，一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維能力的提高，如例2.

例2等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9=S12，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最?。?/p>

分析本題首先通過已知條件確定數(shù)列是遞增數(shù)列，解法一是常規(guī)解法，通過等差數(shù)列的公式解決問題.解法二是運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合題目條件得出答案，不僅解題過程簡(jiǎn)單，還可加強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維的發(fā)展.

解法一由S9=S12可得9a1+9×82d=12a1+12×112d，即d=-110a1.

∵a1<0∴d>0，即等差數(shù)列an是遞增數(shù)列.

由an=a1+（n-1）d≤0an+1=a1+nd≥0，得1-110（n-1）≥01-110n≤0，

解得10≤n≤11.

∴當(dāng)n為10或11時(shí)，Sn取得最小值，

綜上數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.

解法二由S9=S12可得9a1+9×82d=12a1+12×112d，即d=-110a1.

∵a1<0∴d>0，即等差數(shù)列an是遞增數(shù)列.

∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.

∵數(shù)列an是遞增數(shù)列，∴數(shù)列an前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.

3.3 注重?cái)?shù)形結(jié)合

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，建立了形象思維和抽象思維之間的橋梁，把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)關(guān)系、直觀的數(shù)學(xué)表象連接起來，促進(jìn)中學(xué)生左右腦共同發(fā)展，如例3.

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有兩實(shí)根，其中一根大于-1且小于0，另外一根大于1且小于2，求m的取值范圍.

分析根據(jù)已知條件畫出一元二次函數(shù)的圖形是解決問題的關(guān)鍵.二次項(xiàng)系數(shù)大于零，則函數(shù)圖象開口向上；一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則函數(shù)圖象與x有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目畫出大概的函數(shù)圖象，如圖4.

解由題意畫出函數(shù)圖象，如圖 4所示，根據(jù)圖像可得2m+1<02>04m+2<06m+5>0得-56

綜上，數(shù)學(xué)形象思維作為中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)，對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要.在教學(xué)過程中，教師可通過加強(qiáng)直觀演示，豐富中學(xué)生的數(shù)學(xué)表象；創(chuàng)設(shè)情境，提高學(xué)生的想象能力；注重?cái)?shù)形結(jié)合來培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維能力.隨著教育改革的不斷深化，越來越多的人關(guān)注中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)形象思維作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，其有待研究之處還有很多，豐富數(shù)學(xué)形象思維思想方法的研究成果，不僅有助于學(xué)生自身的發(fā)展，也有利于數(shù)學(xué)其他方面的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 陳文勝，馮崇和.基于“四化”發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的策略[J].福建教育，2021（49）：48-51.

［3］ 劉金鳳.淺談如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)思維能力[J].考試（教研版），2012（04）：186.

［責(zé)任編輯：李璟］