高考數(shù)列綜合應(yīng)用題解題技巧探究

焦隨強(qiáng)

摘要：在高考數(shù)學(xué)中，數(shù)列綜合探究問題一直是備受關(guān)注的焦點(diǎn).而數(shù)列綜合探究問題要求學(xué)生對(duì)數(shù)列的規(guī)律和特性深入研究，解決各種與數(shù)列相關(guān)的綜合應(yīng)用問題.因此，教師需通過探究數(shù)列的性質(zhì)、規(guī)律和遞推公式，助力學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，從而找到解決數(shù)列綜合問題的有效方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)列綜合應(yīng)用題；解題技巧；探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）33-0063-03

數(shù)列的綜合問題指數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、向量、不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)糅合形成的綜合類題組，數(shù)列綜合應(yīng)用題的解決過程需要學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)思維和分析能力.在解題過程中，教師要觀察題目的特點(diǎn)，深入研究高考數(shù)學(xué)數(shù)列綜合問題，在課堂中引入有關(guān)數(shù)列的多面組合題型，從而幫助學(xué)生提升邏輯思維、分析問題和解決問題的能力，積累高考數(shù)列綜合應(yīng)用題型的解題技巧［1］.

1 數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用

數(shù)列與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它們的綜合應(yīng)用涉及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)合，可以幫助學(xué)生解決高考大題中的綜合性探究問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力.教師通過

數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用的教學(xué)，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的實(shí)際意義和應(yīng)用背景，為后續(xù)的提升與發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

課堂中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生簡單回顧數(shù)列的知識(shí)應(yīng)用，然后將數(shù)列與函數(shù)內(nèi)容整理成例題，如：A市某集團(tuán)投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境的建設(shè)發(fā)展，規(guī)劃旅游業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度預(yù)計(jì)投入800萬元，以后每年的投入將比上一年少15，本年度當(dāng)?shù)氐穆糜螛I(yè)收入預(yù)計(jì)為400萬元，且由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的推動(dòng)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年都會(huì)比上一年增加14.（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，請寫出an和bn的表達(dá)式.（2）最少要經(jīng)過多少年，該地旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？教師在給出題目后，可以幫助學(xué)生簡單分析題目，為學(xué)生拋磚引玉提供思維引導(dǎo)，教師可以指出第一年投入的是800萬元，那么第二年投入的金額應(yīng)該是800×（1-15）

萬元，也就是說，第n年，該企業(yè)投入的金額應(yīng)該為800×（1-15）n-1萬元.在教師的提示下，學(xué)生迅速反應(yīng)，并計(jì)算出了n年的投入值，回答n年的總投入金額應(yīng)該為

an=800+800×（1-15）+…+800×（1-15）n-1=4 000×［1-（45）n］，如法炮制，第一年的旅游業(yè)收入為400萬元，n年的旅游業(yè)收入可以同理計(jì)算得出

bn=400+400×（1+14）+…+400×（1+14）k-1=1 600×［（54）n-1］.在解決第二問時(shí)，教師可以詢問學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生找到數(shù)列綜合類題型的題眼.教師可以指出題目中的關(guān)鍵詞“最少”，詢問學(xué)生對(duì)“至少”“不少于”“不多于”這類詞的數(shù)學(xué)反應(yīng)，有學(xué)生提出這是不等式的標(biāo)志，但是需要應(yīng)用函數(shù)的思想解決與不等式有關(guān)的數(shù)列綜合應(yīng)用題.在教師的指引下，學(xué)生提出了假設(shè)法，設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過該企業(yè)的總投入，由此也可以得出，bn-an>0，即1 600×［（54）n-1］-4 000×［1-（45）n］＞0，此時(shí)，教師需要提示學(xué)生觀察函數(shù)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)其式子的復(fù)雜性和繁瑣性，然后提示學(xué)生此處可以使用換元法，將復(fù)雜的式子換元成特殊符號(hào)，即令x＝（45）n，代入式子可以得到，5x2-7x+2＞0，解上述式子可以得到，x＜25，或者x＞1，由于x＞1不合題意所以舍去，因此得到了（45）n＜25，由此可以得出，n≥5.在例題中，教師可以為學(xué)生找到解決數(shù)列綜合性題目的特征，此題以數(shù)列與函數(shù)為主，教師可以在講解過程中著重強(qiáng)調(diào)函數(shù)與數(shù)列融合部分的巧妙思維，把函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與數(shù)列類比，讓學(xué)生可以意識(shí)到數(shù)列也是一種特殊的函數(shù).

2 數(shù)列與方程綜合應(yīng)用

在高考數(shù)學(xué)中，數(shù)列與方程相結(jié)合的綜合類題型是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，兩者的綜合應(yīng)用不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯思維能力和問題解決能力，還能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用［2］.因此，教師在課堂中，需要深入挖掘數(shù)列與方程的綜合應(yīng)用題，幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，從而能更好地達(dá)到高考數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和考試的要求.

數(shù)列的綜合應(yīng)用題組不可避免地會(huì)與方程形成關(guān)系，

在課堂中，教師可以找出以數(shù)列與方程混合求解的題型，幫助學(xué)生找到解決數(shù)列與方程問題的方法，教師可以展示例題：已知Sn=1+12+13+…+1n，（n∈N+），并設(shè)f（n）為S2n+1-Sn+1

，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.教師可以在學(xué)生解題前為學(xué)生提供一定的解題思路，指出本題考查的是依托數(shù)列形式的方程思維，解決綜合問題的類型，學(xué)生通常會(huì)在f（n）求和方面產(chǎn)生思維壁壘，解決本題的關(guān)鍵在于把f（n）（n∈N+）可以看作是n的函數(shù)方程，此時(shí)也就可以把方程不等式的恒成立轉(zhuǎn)化成其他形式，

接著，根據(jù)教師的提示，有學(xué)生指出，

f（n）=1n+2+1n+3+…+12n+1

，又因?yàn)閒（n+1）-f（n）=12n+2+12n+3-1n+2=

12n+2+12n+3-22n+4=

（12n+2-12n+4）+（

12n+3-12n+4）>0

，所以f（n+1）＞f（n），所以f（n）是關(guān)于n的增函數(shù)，所以f（n）的最小值為f（2）＝920，因?yàn)橐沟靡磺写笥?的自然數(shù)n，所以f（n）＞［logm（m-1）］2-1120［logm（m-1）］2

恒成立，也就是920＞［logm（m-1）］2-1120［logm（m-1）］2

恒成立，由此可以解得，m＞0，m≠1，m-1＞0，m-1≠1，可以得到m＞1且m≠2，此時(shí)有些學(xué)生會(huì)出現(xiàn)暈頭轉(zhuǎn)向的可能，教師將幾次換元的步驟用著重號(hào)標(biāo)出，可以鼓勵(lì)學(xué)生反映出下一步為設(shè)［logm（m-1）］2＝t，t＞0，于是，可以得到，920＞t-1120，且t＞0，所以解得，0＜t＜1，由此可以得出0＜［logm（m-1）］2＜1，解得m的值且m不等于2.縱觀此類數(shù)列題目的解答，教師可以總結(jié)，數(shù)列的綜合題和應(yīng)用性問題既要求學(xué)生有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，又需要學(xué)生有良好的分析能力，充分學(xué)會(huì)觀察問題，歸納總結(jié)，猜想逆推和建立相關(guān)的數(shù)列模型，從而遞推正確的模型思路.同時(shí)，還需要學(xué)生正確轉(zhuǎn)化語言文字，將題目中的文字符號(hào)轉(zhuǎn)化為有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)條件，構(gòu)建起題目與問題的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，讓數(shù)列的綜合問題貫穿在整個(gè)解題過程中.

通過深入挖掘數(shù)列與方程的綜合應(yīng)用，教師可以在課堂中為學(xué)生打開數(shù)列學(xué)習(xí)的新思路，幫助學(xué)生找到數(shù)列學(xué)習(xí)的新途徑，學(xué)生也可以培養(yǎng)一定的邏輯思維，并形成獨(dú)特的問題意識(shí)，提高數(shù)列綜合類題型探究的內(nèi)驅(qū)力，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

3 數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用

在高考數(shù)學(xué)中，思維進(jìn)階訓(xùn)練可以幫助學(xué)生培養(yǎng)深入思考和解決復(fù)雜問題的習(xí)慣.數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和技巧，需要教師在課堂中提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，幫助學(xué)生提高解題效率和應(yīng)對(duì)多樣化考試題型的綜合能力，從而幫助學(xué)生形成適配高考數(shù)學(xué)要求的數(shù)學(xué)思維邏輯意識(shí)［3］.

教師在講解數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用后，可以為學(xué)生進(jìn)階思維難度，將數(shù)列與不等式糅合為主的綜合應(yīng)用題作為課堂例題，幫助學(xué)生突破自我局限，找到數(shù)列學(xué)習(xí)的先導(dǎo)性，形成一定的數(shù)學(xué)思維意識(shí)和能力.教師可以給出課堂例題：已知數(shù)列｛an｝滿足條件：an=1，a2=r（r>0），且

{anan+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且設(shè)

bn=a2n-1+an（n＝1，2，3，…），試求出使得不等式

anan+1+an+1an+2>an+1an+3（n∈N+）成立的q的取值范圍，其中Sn=b1+b2+…+bn，求出bn和limn→+∞

1Sn.教師可以結(jié)合題目特征，與學(xué)生一同分析題意，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，可以列出數(shù)學(xué)表達(dá)式：

rqn-1+rqn>rqn+1

，并結(jié)合假設(shè)法，設(shè)r＞0，q＞0，接著，教師可以請學(xué)生回答不等式的設(shè)立方法，學(xué)生正確回答出此時(shí)需要設(shè)q2-q-1＜0，并利用求根公式解得q的取值在二分之一減根號(hào)五與二分之一加根號(hào)五之間，且結(jié)合解題步驟的設(shè)定條件，q應(yīng)該大于0，因此，q∈（0，1+52）.教師在引導(dǎo)講解之后，可以鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生將不等式思維應(yīng)用在數(shù)列極限思維的綜合類題型中，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列的理解更加開闊.教師可以采用小組合作討論的方式，幫助學(xué)生在理解應(yīng)用類難題時(shí)放下心理壓力，在一定的時(shí)間后，有學(xué)生小組匯報(bào)成果，學(xué)生小組代表提出，可以先用數(shù)學(xué)表達(dá)式翻譯題目，得出bn+1bn=a2n-1q+a2nqa2n-1+a2n=q≠0

，b1＝1+r≠0，所以｛bn｝是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而可以得到bn＝（1+r）qn-1，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n（1+r）.該小組研究出了數(shù)列的表達(dá)式，接著，在教師的指引下，其他小組也有了一定的成果，小組代表指出，可以根據(jù)第一問的提示，擴(kuò)大不等式的運(yùn)用思維，聯(lián)想到極限的思想，運(yùn)用極限求出臨界值，1Sn的極限可以等量代換為

1n（1+r）的極限，趨近于0，當(dāng)0＜q＜1時(shí)，Sn=（1-qn）（1+r）1-q，當(dāng)q＞1時(shí)，1/Sn的極限趨近于0，所以可以推導(dǎo)得出，limn→+∞1Sn=1-q1+r（0＜q＜1），limn→+∞1Sn=0，（q≥1）.在數(shù)列與不等式的主要融合中，教師需要講解不等式的概念，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)變題意，用合適的數(shù)學(xué)邏輯語言翻譯單一的文字題目，讓數(shù)列的思想應(yīng)用與不等式、極限的思想糅合，找到三者相互轉(zhuǎn)化的狀態(tài)與策略，從而突破數(shù)列綜合類大題的難關(guān)，找到解決數(shù)列進(jìn)階類題型的關(guān)鍵點(diǎn)，提升學(xué)生在數(shù)列綜合性應(yīng)用題上的思維靈敏度和準(zhǔn)確度，提高尋找數(shù)列綜合題切入點(diǎn)的效率.

通過思維進(jìn)階訓(xùn)練，幫助學(xué)生理解數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用，熟悉數(shù)列與多種數(shù)學(xué)思維的融合方式，并在具體題目中模擬演練，找到不同類型綜合應(yīng)用題的突破點(diǎn)，形成一定的解決綜合類題型的思維意識(shí).以此幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)列學(xué)習(xí)的能力，突破現(xiàn)有的瓶頸，從而在數(shù)列綜合類型的題目的解答中如魚得水.

綜上所述，高考數(shù)列綜合應(yīng)用題解題的關(guān)鍵在于掌握數(shù)列的定義和性質(zhì)，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生識(shí)別數(shù)列類型，尋找規(guī)律，應(yīng)用相應(yīng)的公式和技巧，同時(shí)確保學(xué)生對(duì)題意和解題思路的準(zhǔn)確理解.這有利于學(xué)生深入地理解題目要求，尋找數(shù)列規(guī)律，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí).同時(shí)，學(xué)生也可以深刻認(rèn)識(shí)到實(shí)踐和練習(xí)的重要性，不斷地嘗試和思考，從而更好地應(yīng)對(duì)高考數(shù)列綜合應(yīng)用題的挑戰(zhàn).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 江蘇省蘇州中學(xué)數(shù)學(xué)教研組.數(shù)列的綜合應(yīng)用［J］.新世紀(jì)智能，2020（22）：27-28.

［3］ 錢冬明.談高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的綜合應(yīng)用問題［J］.理科考試研究，2015，22（23）：1-2.

［責(zé)任編輯：李璟］