一道高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究及背景和推廣

劉冰

摘要：文章從不同角度給出2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題第（2）問的多種解法，然后分析其背景，最后再對試題進行推廣.

關(guān)鍵詞：高考；新課標(biāo)；導(dǎo)數(shù)；背景；推廣

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0060-03

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題，第（1）問考查的是證明不等式，構(gòu)造函數(shù)即可解決.而第（2）問考查的是已知函數(shù)f（x）的極值點，求參數(shù)a的取值范圍，有一定的難度.其難點主要在于對參數(shù)a的討論以及對極值的判斷與取點上.該試題很好地考查了考生的分類討論思想和數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng).

1 真題再現(xiàn)

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第22題如下：

（1）證明：當(dāng)0

（2）已知函數(shù)f（x）=cosax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍.

2 解法探究

（1）先證：當(dāng)0

設(shè)g（x）=x-sinx，x∈（0，1），則g′（x）=1-cosx>0，所以g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=0，即sinx

再證：當(dāng)0

解法1利用x>sinx.設(shè)h（x）=x2-x+sinx，x∈（0，1），由x>sinx，得

h′（x）=2x-1+cosx=2x-2sin2x2

>x-2sin2x2=2x2-sin2x2

>2sinx2-sin2x2>0.

所以h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，故h（x）>h（0）=0，即x-x2

解法2兩次求導(dǎo).設(shè)h（x）=x2-x+sinx，x∈（0，1），則h′（x）=2x-1-cosx，h″（x）=2-sinx.當(dāng)00，所以h′（x）在（0，1）單調(diào)遞增，從而h′（x）>h′（0）=0，因此h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，故h（x）>h（0）=0，即x-x2

（2）解法1令1-x2>0，解得-1

若a=0，則fx=-ln1-x2，x∈-1，1，

因為y=-lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，y=1-x2在-1，0上單調(diào)遞增，在0，1上單調(diào)遞減，則

fx=-ln1-x2在-1，0上單調(diào)遞減，在0，1上單調(diào)遞增，故x=0是fx的極小值點，不合題意，所以a≠0.

當(dāng)a≠0時，令b=a>0，因為

fx=cosax-ln1-x2=cosax-ln1-x2=cosbx-ln1-x2，

且f-x=cos-bx-ln1--x2=cosbx-ln1-x2=fx，

所以函數(shù)fx在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得f ′x=-bsinbx-2xx2-1，x∈-1，1.

（?。┊?dāng)0

由（1）可得f ′x=-bsinbx-2xx2-1>-b2x-2xx2-1=xb2x2+2-b21-x2，

且b2x2>0，2-b2≥0，1-x2>0，所以f ′x>xb2x2+2-b21-x2>0，

即當(dāng)x∈0，m0，1時，f ′x>0，則fx在0，m上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知，fx在-m，0上單調(diào)遞減，所以x=0是fx的極小值點，不合題意［1］.

（ⅱ）當(dāng)b2>2時，取x∈0，1b0，1，則bx∈0，1.

由（1）可得f ′x=-bsinbx-2xx2-1<-b（bx-b2x2）-2xx2-1=x1-x2（-b3x3+b2x2+b3x+2-b2），

設(shè)hx=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2，x∈0，1b，

則h′x=-3b3x2+2b2x+b3，x∈0，1b，且

h′0=b3>0，h′1b=b3-b>0，則h′x>0對x∈0，1b恒成立.

可知hx在0，1b上單調(diào)遞增，且h0=2-b2<0，h1b=2>0，所以hx在0，1b內(nèi)存在唯一的零點n∈0，1b，當(dāng)x∈0，n時，則hx<0，且x>0，1-x2>0，

則f ′x

綜上，b2>2，即a2>2，解得a>2或a<-2.

故a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞.

解法2由f（x）=cosax-ln1-x2可得，f ′（x）=-asinax+2x1-x2，求二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）=-a2cosax+21+x21-x22， 則f ′（0）=0，f ″（0）=-a2+2.

因為x=0是f（x）的極大值，由函數(shù)的連續(xù)性，我們知道還需滿足在x=0的左側(cè)附近，f ′（x）>0，在x=0的右側(cè)附近，f ′（x）<0.由題意易得，f（x）是關(guān)于x的偶函數(shù)，也是關(guān)于a的偶函數(shù)， 因此只需要關(guān)注x∈（0，1），a>0的情況.

①當(dāng)f ″0=-a2+2>0，即0-a2x+2x1-x2=x-a2+21-x2.

因為φ（x）=-a2+21-x2在0，x0上單調(diào)遞增，則φx>φ0=2-a2>0，所以在0，x0上，f ′（x）>0，與x=0是f（x）的極大值矛盾， 舍去.

②當(dāng)f ″（0）=-a2+2<0，即a>2時，x0∈0，1a，使ax0∈（0，1），在x∈0，x0時，ax∈（0，1），由第（1）問可知sinax>ax-（ax）2，所以f ′（x）=-asinax+2x1-x<-a2x+a3x2+2x1-x2=x-a2+a3x+21-x2.

因為g（x）=-a2+a3x+21-x2在0，x0上單調(diào)遞增，則g（x）min=g（0）=-a2+2<0， 所以存在x1∈0，x0，f ′（x）<0， 符合題意.

綜上，由是關(guān)于的偶函數(shù)知a>2或a<-2.

3 背景分析

本題的高數(shù)背景是極值的第二充分條件和第三充分條件.合并后即是如下定理.

定理設(shè)函數(shù)f（x）在Ux0，δ內(nèi)n階可導(dǎo)，且

f ′x0=f ″x0=…=f（n-1）x0=0，f（n）x0≠0，則

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，f（x）在點x0不取極值；

（2）當(dāng)n為偶數(shù)且f（n）x0>0時，f（x）在x0取極小值；

（3）當(dāng)n為偶數(shù)且f（n）x0<0時，f（x）在x0取極大值.

利用定理，可得到本題的另一解法.

解法3S表示f（x）的極大值點的集合，則

f ′（x）=-asinax+2x1-x2=-asinax+11-x-11+x，f ′（0）=0;

f ″（x）=-a2cosax+1（1-x）2+1（1+x）2，f ″（0）=2-a2;

f （x）=a3sinax+2（1-x）3-2（1+x）3，f （0）=0;

f（4）（x）=a4cosax+6（1-x）4+6（1+x）4，f（4）（0）=a4+12.

由定理可得：

若-20，0S；

若a>2或a<-2，則f ′（0）=0，f ″（0）<0，0∈S；

若a=±2，則f ′（0）=f ″（0）=f （0）=0，f（4）（0）>0，0S.

綜上，a的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）.

4 試題推廣

本題還可以作如下推廣 .

（1）證明：當(dāng)0

（2）已知函數(shù)f（x）=cosax-aln1-x2，若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍［2］.

解（1） 略.

（2）顯然f（x）的定義域是I=（-1，1）.易見x∈I時

f ′（x）=-asinax+a1-x-a1+x，f ′（0）=0;

f ″（x）=-a2cosax+a（1-x）2+a（1+x）2，

f ″（0）=2a-a2;

f （x）=a3sinax+2a（1-x）3-2a（1+x）3，

f （0）=0;

f（4）（x）=a4cosax+6a（1-x）4+6a（1+x）4，

f（4）（0）=a4+12a.

設(shè)S表示f（x） 的極大值點的集合.

由定理可得：

若00，0S；

若a<0或a>2，則f ′（0）=0，f ″（0）<0，0∈S；

若a=2，則f ′（0）=f ″（0）=f （0）=0，f（4）（0）>0，0S；

若a=0，則f（x）=1為常數(shù)，0S.

綜上，a的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）.

試題以三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為背景.三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點.試題巧妙地將三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相結(jié)合，討論函數(shù)的極值問題，具有一定的綜合性.試題的高等數(shù)學(xué)背景是極值的第三充分條件，起點高，但落點低，設(shè)計新穎，緊扣課程標(biāo)準.通過第（1）問鋪設(shè)好的不等式，給第（2）問的證明提高了思路，降低了思維強度.

參考文獻：

［1］?劉品德，李義仁.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2015（Z4）：10-11.

［責(zé)任編輯：李璟］