基于預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)牟淮_定非線性系統(tǒng)魯棒滑模控制

蘭永紅,吳瑾怡 ,周宇璽

(1.湘潭大學(xué)自動(dòng)化與電子信息學(xué)院,湖南湘潭 411105;2.五凌電力有限公司,湖南長(zhǎng)沙 410000)

1 引言

近年來(lái),不確定非線性系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題受到國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)以及外部干擾具有良好的適應(yīng)性和較強(qiáng)魯棒性,是實(shí)現(xiàn)不確定非線性系統(tǒng)魯棒控制的有效方法之一[1–2],并成功運(yùn)用于電力系統(tǒng)[3]、機(jī)器人[4]等控制領(lǐng)域.為了在快速到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)的同時(shí)能消除滑模運(yùn)動(dòng)階段的抖振,文獻(xiàn)[5]提出了趨近律方法,其中,等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律存在一定程度的缺陷.因此,文獻(xiàn)[6]提出了一種快速收斂的雙冪次趨近律,綜合了指數(shù)趨近律和冪次趨近律的優(yōu)點(diǎn),該方法消除了抖振,加快了遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的趨近速度.

另一方面,在很多伺服系統(tǒng)中,未來(lái)一段時(shí)間的目標(biāo)參考或干擾信號(hào)是可預(yù)見(jiàn)的.預(yù)見(jiàn)控制正是一種利用系統(tǒng)已知參考目標(biāo)或干擾信號(hào)的未來(lái)信息,以改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)、抑制外界擾動(dòng)、提高系統(tǒng)跟蹤精度的控制方法[7–8],近年來(lái),預(yù)見(jiàn)控制已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自動(dòng)駕駛、航天飛行器、機(jī)器人等伺服領(lǐng)域[9–11].從實(shí)用角度來(lái)看,數(shù)字預(yù)見(jiàn)控制更易于實(shí)現(xiàn).考慮到連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件差異,對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的預(yù)見(jiàn)控制研究仍有必要.

連續(xù)系統(tǒng)的預(yù)見(jiàn)控制問(wèn)題是基于最優(yōu)控制,從而研究非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.基于預(yù)見(jiàn)控制思想,文獻(xiàn)[12]提出了基于線性連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng),并能在有限時(shí)間內(nèi)有界跟蹤的一類控制問(wèn)題.針對(duì)一類參數(shù)變化的線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[13]提出了一種基于降階估計(jì)的容錯(cuò)預(yù)見(jiàn)控制的設(shè)計(jì)方法.在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[14]基于重復(fù)控制的設(shè)計(jì)方法,通過(guò)構(gòu)造增廣系統(tǒng),設(shè)計(jì)了線性連續(xù)系統(tǒng)的基本型預(yù)見(jiàn)重復(fù)控制器.文獻(xiàn)[15]進(jìn)一步將結(jié)果推廣至線性連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng).

基于預(yù)見(jiàn)補(bǔ)償?shù)幕？刂撇坏苡行Э朔到y(tǒng)的不確定性,而且能提高控制系統(tǒng)跟蹤精度,具有較強(qiáng)的魯棒性.文獻(xiàn)[16]針對(duì)船舶自動(dòng)操縱系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模預(yù)見(jiàn)控制器,減小了傳統(tǒng)滑?？刂浦械臅簯B(tài)超調(diào),保持了不確定船舶動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制性能.對(duì)于智能電動(dòng)汽車的目標(biāo)路徑的精確跟蹤問(wèn)題,文獻(xiàn)[17]提出了一種基于滑模控制的預(yù)見(jiàn)控制器的設(shè)計(jì)方法,提高了識(shí)別精度,且可以更好的跟蹤所需軌跡.文獻(xiàn)[18]提出了最優(yōu)積分滑模預(yù)見(jiàn)控制器的設(shè)計(jì)方法,并采用積分滑?？刂茖?duì)最優(yōu)預(yù)見(jiàn)控制器進(jìn)行魯棒控制.文獻(xiàn)[19]針對(duì)一類連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了具有預(yù)見(jiàn)補(bǔ)償?shù)幕？刂破?保證了系統(tǒng)的魯棒性.需要指出的是,針對(duì)不確定非線性連續(xù)系統(tǒng)的預(yù)見(jiàn)控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題,其相關(guān)報(bào)道在國(guó)內(nèi)外都較少見(jiàn).

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文針對(duì)一類不確定非線性系統(tǒng),研究基于預(yù)見(jiàn)與比例–積分(proportional-integral,PI)補(bǔ)償?shù)聂敯艋？刂圃O(shè)計(jì)問(wèn)題.本文主要貢獻(xiàn)如下: 1)針對(duì)不確定非線性被控對(duì)象,提出了一種具有預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)幕？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu),并將控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一類增廣系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題;2)基于最優(yōu)控制理論,設(shè)計(jì)標(biāo)稱增廣系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI控制器.針對(duì)不確定增廣系統(tǒng),采用變結(jié)構(gòu)控制思想,設(shè)計(jì)了積分滑模預(yù)見(jiàn)控制器;3)通過(guò)選擇合適的PI控制器增益,所設(shè)計(jì)的集成控制器包含了已有文獻(xiàn)的結(jié)果.

2 問(wèn)題描述

考慮如下的非線性系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,y(t)∈Rq,d(x(t),t)∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入、系統(tǒng)輸出和外部干擾.A,B,C,D是具有合適維數(shù)的常數(shù)矩陣,?A和?B是不確定性矩陣.

對(duì)被控系統(tǒng)(1)及給定參考輸入信號(hào)r(t)作如下假設(shè).

假設(shè)1矩陣(A,B)可控,(A,C)可觀.

假設(shè)2參考輸入信號(hào)r(t)∈Rq是分段連續(xù)可微函數(shù),其可預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)為lr,即在t≤θ≤t+lr的任意時(shí)間θ,r(θ)已知.

假設(shè)3不確定性矩陣?A,?B和外部干擾d(x,t)滿足匹配條件

根據(jù)假設(shè)3,系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成

本文提出的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示,其中CR為PI控制器,NL(t)為預(yù)見(jiàn)控制器,CSMC為滑?？刂破?控制對(duì)象如系統(tǒng)(1)所示.本文的目的是設(shè)計(jì)一種具有預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)聂敯艋？刂破鱱(t),使閉環(huán)系統(tǒng)(1)的輸出y(t)在穩(wěn)定狀態(tài)下,無(wú)靜態(tài)誤差的跟蹤參考輸入r(t),即

圖1 具有預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)幕？刂葡到y(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of sliding mode control system with preview and PI compensation

且性能指標(biāo)函數(shù)(4)具有最小值,

其中:Qe∈Rq×q,R∈Rm×m為對(duì)稱正定矩陣.

注1類似文獻(xiàn)[20–21],控制系統(tǒng)前饋通道引入PI控制器以減小閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.此外,為進(jìn)一步提高系統(tǒng)的跟蹤性能,前饋通道還引入了預(yù)見(jiàn)補(bǔ)償.這是本文主要?jiǎng)?chuàng)新之一.

3 控制器設(shè)計(jì)

圖1中,PI控制器的時(shí)域形式為

其中kp,ki為PI控制器增益.

構(gòu)造如下增廣狀態(tài)向量z(t):

結(jié)合式(2)和式(5),可得

3.1 最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng),基于最優(yōu)控制原理,設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI控制器.為此,令(t)=0,系統(tǒng)(7)可簡(jiǎn)化為

針對(duì)系統(tǒng)(8),構(gòu)造如下性能指標(biāo)函數(shù):

為了得到控制系統(tǒng)最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI控制器存在的必要條件和系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù),給出如下引理.

且K=[KxKeKv]是如下代數(shù)黎卡提方程(algebraic riccati equation,ARE)的解:

證根據(jù)最優(yōu)控制理論,定義Hamilton函數(shù)

其中λ(t)是伴隨向量.由最優(yōu)控制極小值原理,有

由此可知系統(tǒng)的最優(yōu)控制律為

閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

其中K(t),g(t)滿足

對(duì)于線性定常系統(tǒng),λ(t)與z(t)之間滿足如下關(guān)系:

由式(14)–(17),可知

對(duì)于t∈[t,tα],對(duì)式(19)求解并積分,有

聯(lián)立式(13)(15)(20)可得

其中K=[KxKeKv].

在[-L,t](L>lr)上對(duì)式(21)積分,并注意到對(duì)于t≤0有x(t)=0,u(t)=0,r(t)=0,由此可得

證畢.

注2注意到預(yù)見(jiàn)項(xiàng)f(t)中,矩陣Hurwitz穩(wěn)定,從而f(t)單調(diào)遞減.可見(jiàn),隨著預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)的增加預(yù)見(jiàn)信息逐步減弱.對(duì)于預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)的選取,可通過(guò)性能指標(biāo)函數(shù)值J的衰減變化閾值得到控制器合適的預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)[21].此外,性能指標(biāo)中的權(quán)重矩陣主要通過(guò)試湊法進(jìn)行選取.在最近的研究中,已經(jīng)提出了各種優(yōu)化算法,來(lái)解決線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)問(wèn)題權(quán)重矩陣的選擇這個(gè)問(wèn)題.例如基于動(dòng)態(tài)矩陣控制算法的LQR[22]和基于粒子群算法的LQR[23].

3.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)不確定系統(tǒng)(1),引入積分滑模面,設(shè)計(jì)一種具有魯棒性能的預(yù)見(jiàn)控制器.

針對(duì)增廣系統(tǒng)(7),構(gòu)造如下積分滑模面:

其中:u0如式(22)所示,為常數(shù)矩陣且滿足條件G非奇異.

注3類似文獻(xiàn)[24],滑模面(25)包含了控制輸入的導(dǎo)數(shù).該滑模面獲得的等效控制輸入一方面可補(bǔ)償匹配的不確定性;另一方面,可確保穩(wěn)定狀態(tài).因此,該滑模面是最優(yōu)的.

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后,滿足s(t)=0,(t)=0.因此

由式(24)可得滑模等效控制律為

將式(25)代入增廣系統(tǒng)(7),并利用式(14),可得滑動(dòng)模態(tài)方程為

對(duì)比系統(tǒng)(26)和系統(tǒng)(15)可以看出,不確定系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)方程和標(biāo)稱系統(tǒng)的最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程完全一致.因此,系統(tǒng)(26)所描述的滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,且滑模面(23)對(duì)系統(tǒng)不確定性和外界干擾具有魯棒性,是魯棒最優(yōu)滑模面.

本文考慮如下雙冪次滑模趨近律[25],通過(guò)調(diào)整趨近律的參數(shù),來(lái)減弱抖振:

式中:α>1,0<β<1,ε1>ω>0,ε2>0.

在雙冪次趨近律(27)中,當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑動(dòng)模態(tài)時(shí),-ε1|s(t)|αsgns(t)起到主要作用;當(dāng)系統(tǒng)靠近滑動(dòng)模態(tài)時(shí),-ε2|s(t)|βsgns(t)起到主要作用.因此,雙冪次趨近律不僅可以有效的消除抖振,而且具有較快的收斂速度.

定理1對(duì)于不確定系統(tǒng)(1),對(duì)給定的PI控制增益,圖1所示的控制系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI滑?？刂破鳛?/p>

Fx,Fe,Fv由引理3給出,

證選擇李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)滑?？蛇_(dá)性,結(jié)合趨近律(27),可知

由此可得

因此,滑動(dòng)模態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)能到達(dá)平衡零點(diǎn).

滑?？刂破鞯木€性部分如式(10)所示.對(duì)于積分滑模面(23)和雙冪次趨近律(27),可得控制器中非線性部分

綜合式(10)和式(31),即可得最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI滑?？刂破?28).證畢.

注4具有預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)聂敯艋？刂破?30)由5部分組成: 第1部分是狀態(tài)反饋控制器,用來(lái)提高每個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;第2部分是PI控制器,用來(lái)改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能;第3部分是誤差積分補(bǔ)償器,用于消除靜態(tài)誤差;第4部分是預(yù)見(jiàn)補(bǔ)償控制器,以提高閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能.第5部分是滑?？刂破?用來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的魯棒性.

另一方,根據(jù)帕德近似[26],易知

為方便計(jì)算,取近似值

近似等效[27–28].式(36)的時(shí)域形式為

其中:e(t)為控制系統(tǒng)的跟蹤誤差;L為時(shí)滯環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間,其周期與參考輸入信號(hào)r(t)一致[28].

由上述分析并結(jié)合定理1,有如下推論.

推論1對(duì)于不確定系統(tǒng)(1),圖2所示的控制系統(tǒng)在最優(yōu)滑模預(yù)見(jiàn)重復(fù)控制器

圖2 滑模預(yù)見(jiàn)重復(fù)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of sliding mode preview repetitive control system

的作用下,跟蹤誤差魯棒漸近穩(wěn)定,其中:

Fx,Fe,Fv,f(t),u1(t)由引理3給出,v(t)如式(37)所示.

4 數(shù)值仿真

設(shè)線性不確定系統(tǒng)(1)具有以下參數(shù):

外部非線性干擾信號(hào)和參考輸入信號(hào)r(t)為

經(jīng)過(guò)反復(fù)對(duì)比測(cè)試,性能指標(biāo)函數(shù)(9)的權(quán)重矩陣取為

時(shí),系統(tǒng)輸出響應(yīng)具有較小的超調(diào)量和較快的響應(yīng)速度.

應(yīng)用定理1,利用MATLAB求解,可求得如下控制器增益:

參考輸入信號(hào)r(t)的周期L=10,因此,令PI控制器的增益為

通過(guò)二次型性能指標(biāo)最優(yōu)法[5],積分滑模面參數(shù)可設(shè)計(jì)為

為了說(shuō)明預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響,系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖3–4所示.不同的預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)下的閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的最大峰值如表1所示.不同預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)時(shí),y(t)都能精準(zhǔn)的跟蹤r(t),當(dāng)預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)變長(zhǎng),超調(diào)量減小,此時(shí),y(t)能更精準(zhǔn)的跟蹤r(t).值得注意的是,在預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)達(dá)到某個(gè)閾值后,預(yù)見(jiàn)補(bǔ)償影響甚微.這與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論一致.

表1 系統(tǒng)跟蹤誤差Table 1 System tracking error

圖3 不同預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)下系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.3 System output responses with different preview steps

圖4 不同預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)下跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors with different preview steps

為說(shuō)明本文所提控制方法的有效性,將其與文獻(xiàn)[20]提的基于PI+等價(jià)輸入干擾(equivalent-input-disturbance,EID)控制方法進(jìn)行對(duì)比.仿真結(jié)果如圖5–6所示,系統(tǒng)跟蹤誤差的最大峰值如表1所示.由仿真結(jié)果可見(jiàn),本文所提控制方法具有更優(yōu)的跟蹤性能.

圖5 不同控制方法下系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.5 System output responses with different control methods

圖6 不同控制方法下跟蹤誤差Fig.6 Tracking errors with different control methods

為了說(shuō)明不同滑模趨近律對(duì)系統(tǒng)的影響,給定預(yù)見(jiàn)步長(zhǎng)lr=0.15,分別對(duì)以下3種不同的趨近律:

所設(shè)計(jì)的預(yù)見(jiàn)滑模控制器進(jìn)行對(duì)比.仿真結(jié)果如圖7–8所示.系統(tǒng)跟蹤誤差的最大峰值如表2所示.

表2 不同滑模趨近律下的系統(tǒng)跟蹤誤差Table 2 Tracking errors with different sliding mode

圖7 同滑模趨近律下系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.7 System output responses with different sliding mode reaching laws

由圖7–8可知: 指數(shù)趨近律由于含有常數(shù)項(xiàng),在遠(yuǎn)離滑動(dòng)模態(tài)階段收斂速度過(guò)小,導(dǎo)致收斂時(shí)間過(guò)長(zhǎng);冪次趨近律盡管收斂速度高于指數(shù)趨近律,但效果不明顯;雙冪次趨近律收斂速度明顯高于指數(shù)趨近律和冪次趨近律,具有更好的運(yùn)動(dòng)品質(zhì).圖8為跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)收斂過(guò)程,表明滑模變結(jié)構(gòu)控制可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性、魯棒性.

圖8 不同滑模趨近律下跟蹤誤差Fig.8 Tracking errors with different sliding mode reaching laws

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類匹配不確定非線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),研究了一種基于預(yù)見(jiàn)與PI補(bǔ)償?shù)聂敯艋？刂圃O(shè)計(jì)方法.通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包含可預(yù)見(jiàn)的目標(biāo)信號(hào)的不確定增廣系統(tǒng),根據(jù)最優(yōu)控制理論和積分滑?？刂坪妥顑?yōu)預(yù)見(jiàn)PI控制方法,設(shè)計(jì)不確定增廣系統(tǒng)的基于積分滑模控制和最優(yōu)預(yù)見(jiàn)PI 控制的集成控制器.如何進(jìn)一步優(yōu)化控制器參數(shù),并對(duì)于不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種基于高階滑模的預(yù)見(jiàn)控制器,將是進(jìn)一步研究的難點(diǎn).