高等背景，初等解法

藍(lán)云波

2023年是繼續(xù)深化高考改革的一年，新高考數(shù)學(xué)全國卷試題的命制也體現(xiàn)了《中國高考評價體系》中提出的一核四層四翼的考查要求，突出地落實(shí)考查了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).特別是新高考Ⅱ卷的導(dǎo)數(shù)壓軸試題，主要考查了考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對考生具有較大的挑戰(zhàn)性.為幫助大家更加高效地進(jìn)行新一輪的高考備考，下面，我通過對2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題分析，談?wù)勗囶}賞析、解法探究、題源分析、高數(shù)背景揭示與教學(xué)反思，以期對廣大師生備考有所幫助.現(xiàn)分析如下，供大家參考．

2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題為：

【試題】（1）證明：當(dāng)0

（2）已知函數(shù)f（x）=cos ax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．

一、試題賞析

2023年全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)科第22題是一道典型的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸試題，試題敘述簡潔，整道試題易于入手而深入較難.試題的第一問源于課本而略高于課本難度，難度較為適中，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式這一核心考點(diǎn)，體現(xiàn)出高考重點(diǎn)問題重點(diǎn)考查的原則.第二問與三角函數(shù)進(jìn)行交匯，集中考查了函數(shù)的極值、不等式、函數(shù)的奇偶性等考點(diǎn)，較為深入地考查了考生的化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.試題難度較大，體現(xiàn)出高考壓軸題作為人才選拔的重要功能．

2023年新高考Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題是一道具有深刻高等數(shù)學(xué)背景的典型試題，縱觀近幾年全國卷高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)，涌現(xiàn)出越來越多的高觀點(diǎn)背景的試題.本題第一問以泰勒公式作為背景進(jìn)行試題的構(gòu)建，并為第二問的不等式的放縮奠定了基礎(chǔ)，第二問則以高等數(shù)學(xué)中的極值第二充分條件作為背景進(jìn)行試題的構(gòu)建，但解題的方法卻可以很初等，這體現(xiàn)出高考命題人高屋建瓴的命題藝術(shù)．

二、解法探究

1.第一問的解答

設(shè)F（x）=x-sin x，x∈（0，1），則f′（x）=1-cos x>0對x∈（0，1）恒成立，則F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得F（x）>F（0）=0，所以x>sin x，x∈（0，1）；

設(shè)G（x）=sin x-（x-x2）=x2-x+sin x，x∈（0，1），則G′（x）=2x-1+cos x，x∈（0，1），設(shè)g（x）=G′（x），x∈（0，1），則g′（x）=2-sin x>0對x∈（0，1）恒成立，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得g（x）>g（0）=0，即G′（x）>0對x∈（0，1）恒成立，

則G（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得G（x）>G（0）=0，所以sin x>x-x2，x∈（0，1）.

綜上，當(dāng)0

【點(diǎn)評】眾所周知，高考壓軸題是很多考生的夢魘，但并非一分都難于得到，只要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，一般來說，做對第一問，在大多數(shù)情形下是并不困難的.因此考生必須克服對壓軸題的恐懼心理，并預(yù)留一定的作答時間，是可以得到一定的分?jǐn)?shù)的.如本題第一問，只要直接移項(xiàng)并構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明不等式，即可獲得問題的求解，而這種方法也是十分常規(guī)的．

2.第一問的解答

（解法1）（放縮法）令1-x2>0，解得-1

因?yàn)閥=-lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，y=1-x2在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，則f（x）=-ln（1-x2）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，故x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意，所以a≠0．

②當(dāng)a≠0時，令b=a>0.

因?yàn)閒（x）=cos ax-ln（1-x2）=cos（ax）-ln（1-x2）=cos bx-ln（1-x2），且f（-x）=cos（-bx）-ln［1-（-x）2］=cos bx-ln（1-x2）=f（x），所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1，x∈（-1，1），（ⅰ）當(dāng)0-b2x-2x/x2-1=x（b2x2+2-b2）/1-x2，且b2x2>0，2-b2≥0，1-x2>0，所以f′（x）>x（b2x2+2-b2）/1-x2>0，即當(dāng)x∈（0，m）（0，1）時，f′（x）>0，則f（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：f（x）在（-m，0）上單調(diào)遞減，

所以x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意.

（ⅱ）當(dāng)b2>2時，取x∈0，1/b（0，1），則bx∈（0，1），由（1）可得f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1<-b（bx-b2x2）-2x/x2-1=x/1-x2（-b3x3+b2x2+b3x+2-b2），設(shè)h（x）=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2，x∈0，1/b，

則h′（x）=-3b3x2+2b2x+b3，x∈0，1/b，

且h′（0）=b3>0，h′1/b=b3-b>0，則h′（x）>0對x∈0，1/b恒成立，可知h（x）在0，1/b上單調(diào)遞增，且h（0）=2-b2<0，h1/b=2>0，所以h（x）在0，1/b內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)n∈0，1/b，當(dāng)x∈（0，n）時，則h（x）<0，又因?yàn)閤>0，1-x2>0，所以f′（x）

綜上所述：b2>2，即a2>2，解得a>2或a<-2，

故a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

【點(diǎn)評】解法1通過換元b=a，避免了一部分情形的討論，當(dāng)然不進(jìn)行這樣的換元也是可以的，如后面的解法2.在解答過程中，如何進(jìn)行分類討論是解答的難點(diǎn)，可通過利用第一問的結(jié)果對f′（x）進(jìn)行放縮，并結(jié)合表達(dá)式的特點(diǎn)觀察得到.解題的關(guān)鍵在于當(dāng)02時，利用x-x2

（解法2）（直接法）因?yàn)閒（x）=cos ax-ln（1-x2）（-1

所以f′（x）=-asin ax+2x/1-x2（-1

①當(dāng)a=0時，當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，所以x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意．

②當(dāng)a>0時，令m=minπ/2a，1，則當(dāng)x∈（0，m）時，易知n′（x）>0，所以n（x）單調(diào)遞增，所以t′（x）=n（x）>n（0）=2-a2．

（?。┊?dāng)2-a2≥0，即00（0

所以t（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，所以f′（x）=t（x）>t（0）=0，所以f（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-m，0）上單調(diào)遞減．

所以x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意．

（ⅱ）當(dāng)2-a2<0，即a>2時，當(dāng)π/2a≤1，即a≥π/2時，因?yàn)閠′（0）<0，t′π/2a>0，所以x1∈（0，m），使得t′（x1）=0，當(dāng)x∈（0，x1）時，t′（x）<0，t（x）單調(diào)遞減，此時f′（x）=t（x）

所以f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-x1，0）上單調(diào)遞增．

所以x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，滿足題意．

當(dāng)π/2a>1，即20，所以x2∈（0，m），使得t′（x2）=0，當(dāng)x∈（0，x2）時，t′（x）<0，t（x）單調(diào)遞減，此時f′（x）=t（x）

所以f（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-x2，0）上單調(diào)遞增．

所以x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，滿足題意．

③當(dāng)a<0時，由偶函數(shù)f（x）的圖像的對稱性可得a<-2．

綜上，a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

【點(diǎn)評】解法1利用了第一問的不等式進(jìn)行放縮求解，解法2則直接多次求導(dǎo)進(jìn)行解答，對考生的能力要求更高.解題中分類討論的關(guān)鍵在于對t′（0）=n（0）=2-a2的符號的討論，這需要考生具有較強(qiáng)的邏輯推理與洞察問題能力.本題沒有通過換元b=a進(jìn)行求解，當(dāng)然利用這樣處理也是可以的，讀者不妨一試．

三、題源探究

2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題是一道具有較大難度的試題，對考生的能力要求較高.實(shí)際上，與這道導(dǎo)數(shù)壓軸題具有相同背景的試題在歷年的高考試題中也出現(xiàn)過，如2018年高考北京卷第19題，只不過相比北京卷高考題，難度更大，但考查的方式則是一致的．

【題源】（2018年北京卷文科數(shù)學(xué)第19題）設(shè)函數(shù)f（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex．

（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為0，求a；

（2）若f（x）在x=1處取得極小值，求a的取值范圍．

【解析】（1）因?yàn)閒（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex，所以f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex．

f′（2）=（2a-1）e2，由題設(shè)知f′（2）=0，即（2a-1）e2=0，解得a=1/2．

（2）由（1）得f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex=（ax-1）（x-1）ex．

①若a>1，則當(dāng)x∈1/a，1時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）>0.所以f（x）在x=1處取得極小值．

②若a≤1，則當(dāng)x∈（0，1）時，ax-1≤x-1<0，所以f′（x）>0.所以1不是f（x）的極小值點(diǎn)．

綜上可知，a的取值范圍是（1，+∞）．

【點(diǎn)評】本題的考查方式與2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題是一致的，只不過難度沒有那么大，但考查的內(nèi)核則是一致的．

四、高數(shù)背景揭示

通過對2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行解法探究與題源揭示，筆者發(fā)現(xiàn)，本題具有濃郁的高等數(shù)學(xué)知識背景，主要體現(xiàn)在兩方面，一是第一問的命題背景是正弦函數(shù)的泰勒公式，二是第二問的命題背景是極值的第二充分條件.如果能適當(dāng)了解一些高等數(shù)學(xué)知識背景，無疑對解題是具有極大的幫助的．

1.泰勒公式

sin x=x-x3/3！+x5/5！-…+（-1）n-1x2n-1/（2n-1）！+ο（x2n）（x→0）．

2.極值的第二充分條件

設(shè)函數(shù)y=f（x）在x=x0處二階可導(dǎo)，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，則當(dāng)f''（x0）<0時，f（x0）是函數(shù)y=f（x）的極大值；若f''（x0）>0，f（x0）是函數(shù)y=f（x）的極小值．

利用泰勒公式，可以得到2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題第一問的其他解題思路：可先構(gòu)造函數(shù)先證明sin x>x-x3/3！，即sin x>x-x3/6，又因?yàn)閤-x3/6>x-x2，所以sin x>x-x2．

利用極值第二充分條件，可以得到如下的2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題第二問的高等解法：

（解法3）（高等解法）因?yàn)閒（x）=cos ax-ln（1-x2），x∈（-1，1），

所以f'（x）=-asin ax--2x/1-x2=-asin ax+2x/1-x2，

滿足f'（0）=-asin 0+0=0．

f''（x）=-a2cos ax+2-2x2+4x2/（1-x2）2=-a2cos ax+2+2x2/（1-x2）2，所以f''（0）=-a2+2．

由極值的第二充分條件得f''（0）=-a2+2<0，解得a<-2或a>2．

所以a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題第二問的高數(shù)背景是極值第二充分條件，事實(shí)上，在高考中，以極值的第三充分條件為背景的試題也曾考過，如2018年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題．

3.極值的第三充分條件

設(shè)函數(shù)y=f（x）在x=x0處n（n≥2）階可導(dǎo)，滿足f′（x0）=f″（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，且f（n）（x0）≠0．

（1）若n為偶數(shù)，那么x0是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，且當(dāng)f（n）（x0）>0時，f（x0）是函數(shù)y=f（x）的極小值，當(dāng)f（n）（x0）<0時，f（x0）是函數(shù)y=f（x）的極大值；

（2）若n為奇數(shù)，那么x0不是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，但x0是函數(shù)y=f（x）的拐點(diǎn)．

【試題】（2018年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x．

（1）若a=0，證明：當(dāng)-10時，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a．

【解析】（1）當(dāng)a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x/1+x.

設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x/1+x，則g′（x）=x/（1+x）2.

當(dāng)-10時，g′（x）>0，故當(dāng)x>-1時，g（x）≥g（0）=0.

所以f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．

又f（0）=0，故當(dāng)-10時，f（x）>0．

（2）①若a≥0，由（1）知，當(dāng)x>0時，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點(diǎn)矛盾，不合題意；

②若a<0，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）/2+x+ax2=ln（1+x）-2x/2+x+ax2，由于當(dāng)｜x｜0，故h（x）與f（x）符號相同．

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn).又因?yàn)閔′（x）=1/x+1-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）/（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）/（x+1）（2+x+ax2）2，

（?。┤绻?a+1>0，則當(dāng)00，故x=0不是h（x）的極大值點(diǎn)，不合題意．

（ⅱ）如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當(dāng)x∈（x1，0），且｜x｜

（ⅲ）如果6a+1=0，則h′（x）=x3（x-24）/（x+1）（x2-6x-12）2，則當(dāng)x∈（-1，0）時，h′（x）>0；當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）<0．

所以x=0是h（x）的極大值點(diǎn)，從而x=0是f（x）的極大值點(diǎn)．

綜上，a=-1/6．

（解法2）（高等解法）因?yàn)閒′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2+x+ax2/1+x-2，且f′（0）=0，f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+4ax+x/（1+x）2，且f″（0）=0，

f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1/（1+x）3，且f（0）=6a+1．

由極值第三充分條件知f（0）=6a+1=0，即a=-1/6．

【點(diǎn)評】解法1是教育部考試院給出的官方解法，將x=0是f（x）的極大值點(diǎn)這一問題化歸為x=0是h（x）的極大值點(diǎn)問題是解答的一大難點(diǎn)，當(dāng)然直接對函數(shù)f（x）進(jìn)行多次求導(dǎo)進(jìn)行解答也是可以的，只不過解答過程更為復(fù)雜.解法2則使用了高等解法，極快地得到答案，雖然在考場中不能直接使用，但卻可以給解題帶來一定的思路引導(dǎo)，比如如何進(jìn)行分類討論也會變得相對較為明朗．

五、備考反思

1.克服對導(dǎo)數(shù)壓軸題的畏懼心理，爭取多拿幾分

一直以來，導(dǎo)數(shù)壓軸題都是考生極為畏懼的一大難題，不少考生對這一問題甚至達(dá)到了談之色變的程度.實(shí)際上，高考的導(dǎo)數(shù)壓軸題第一問大多數(shù)情況下都是比較基礎(chǔ)的，只要具有一定的基礎(chǔ)，拿下來并不是難事，只有極少的年份導(dǎo)數(shù)壓軸題的第一問是較為困難的.因此，在平時，我們要注重對導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)主干知識的重視，把握核心考點(diǎn).平時也要克服對導(dǎo)數(shù)壓軸題的畏懼心理，在拿下第一問的基礎(chǔ)上，爭取第二問盡可能多拿一些分?jǐn)?shù)．

2.注意研究歷年高考真題，并注重挖掘課本中有價值的材料

筆者認(rèn)為，高考真題是所有習(xí)題中質(zhì)量最高的試題，因此，在平時的備考中，我們要加強(qiáng)對高考真題的研究，特別是對較為經(jīng)典的問題，要做適當(dāng)?shù)氖崂砼c總結(jié)，并選取具有一定代表性的試題進(jìn)行分析、比較和總結(jié)，從而加強(qiáng)對歷年高考真題的演練與總結(jié).對課本中具有一定價值的材料，也要作一定的拓展，如2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的第一問的本質(zhì)是泰勒公式，實(shí)際上，在人教A版必修1課本中有相關(guān)的材料.因此，在平時的備考中，我們要特別注重挖掘教材中有價值的材料．

3.加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，要站在更高的角度審視問題

眾所周知，很多高考數(shù)學(xué)試題，往往具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景.如果能適當(dāng)掌握一些高等數(shù)學(xué)知識，對數(shù)學(xué)的解題與教學(xué)具有很強(qiáng)的指向性與指導(dǎo)性.如上述所探討的2023年新高考全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)解答題即是基于高等數(shù)學(xué)中的泰勒公式與極值第二充分條件而命制的一道典型問題.這就對我們高等數(shù)學(xué)的掌握提出了一定的要求，通過掌握一定的高等數(shù)學(xué)知識，就能抓住問題的本質(zhì)，從而能更好應(yīng)對高考，并最終實(shí)現(xiàn)笑傲高考考場的目標(biāo)．

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)