周延理論難題及其解決方案

張燕京 李邢睿

1 周延理論中存在的難題

傳統(tǒng)邏輯學(xué)家曾建立了一套用以判定直言推理是否有效的規(guī)則。雖然這些規(guī)則為判定詞項(xiàng)邏輯中不涉及負(fù)詞項(xiàng)的推理提供了充分必要的條件，但當(dāng)傳統(tǒng)邏輯學(xué)家在試圖將負(fù)詞項(xiàng)納入詞項(xiàng)邏輯理論時(shí)，這些規(guī)則就會(huì)產(chǎn)生一些不一致性。其中有些不一致性只需簡(jiǎn)單地更改規(guī)則，如直接刪除“兩個(gè)否定命題無法得出結(jié)論”這條規(guī)則就可以得到相應(yīng)地解決。但詞項(xiàng)邏輯面臨的真正難題在于，與周延理論有關(guān)的不一致性無法簡(jiǎn)單地通過刪除規(guī)則得到解決。

周延理論以周延性概念為核心，傳統(tǒng)邏輯學(xué)家利用周延性概念和對(duì)A、E、I、O 四種命題的分析，確定了命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定，即：全稱命題的主項(xiàng)周延；特稱命題的主項(xiàng)不周延；肯定命題的謂項(xiàng)不周延；否定命題的謂項(xiàng)周延，從而構(gòu)成了傳統(tǒng)邏輯中的周延律的基礎(chǔ)。周延律一般由兩條規(guī)則組成：（1）在前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延；（2）三段論的中項(xiàng)在前提中至少周延一次。雖然霍奇斯（W.Hodges）（[8]）、劉新文（[25]）等人從語(yǔ)義的角度論證了周延律的正確性，但他們都不允許三段論中的詞項(xiàng)與其負(fù)詞項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)。事實(shí)上，周延律僅在亞里士多德邏輯中有效，一旦傳統(tǒng)邏輯試圖接納亞氏邏輯不認(rèn)可的負(fù)詞項(xiàng)，例如承認(rèn)了換質(zhì)法的合法性，就會(huì)使得周延律與這種詞項(xiàng)邏輯產(chǎn)生不一致性。而這種與周延理論有關(guān)的不一致性之所以能夠成為詞項(xiàng)邏輯面臨的真正難題，是因?yàn)橐坏⒃~項(xiàng)的周延性界定為“命題是否斷定了詞項(xiàng)的全部外延”，那么詞項(xiàng)邏輯就不允許結(jié)論斷定的內(nèi)容比前提多，這就使得規(guī)則（1）成為了有效推理必須遵守的無法被刪除的規(guī)則。是一個(gè)著名的“難題”（[24]），該推理的每一步都是有效的，但前提中作為肯定命題謂項(xiàng)的不周延的P，在結(jié)論中作為否定命題的謂項(xiàng)卻周延了，從而違反了規(guī)則（1）。學(xué)界對(duì)這個(gè)難題的解決存在爭(zhēng)議，但一般都認(rèn)為這個(gè)難題是由于這個(gè)涉及由全稱命題推出特稱命題的環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題。

在現(xiàn)代經(jīng)典一階邏輯的觀點(diǎn)下，特稱命題的主聯(lián)結(jié)詞是一個(gè)存在量詞，斷定了命題中詞項(xiàng)的存在從而使命題具有了“存在含義”（existential import），但全稱命題并沒有斷定其中詞項(xiàng)的存在。所以有觀點(diǎn)認(rèn)為，如果的前提沒有這種“存在含義”，那么演繹邏輯的特點(diǎn)不會(huì)使其得出有“存在含義”的結(jié)論，因此，原推理由一個(gè)違反周延律的有效推理變?yōu)榱艘粋€(gè)違反周延律的無效推理。這種方案可以直接消解傳統(tǒng)邏輯中的難題，但即使是這種方案的支持者也認(rèn)為該方案需要付出很大的代價(jià)（[24]），因?yàn)閭鹘y(tǒng)邏輯中凡是涉及由全稱前提推出特稱結(jié)論的推理的有效性都失去了保證。與之相反，學(xué)界更加接受的方案是在的前提中增加“存在含義”。凱恩斯（J.N.Keynes）（[10]，第137-140 頁(yè)）較早地明確指出了周延理論中的難題并給出了解決方案。凱恩斯認(rèn)為，傳統(tǒng)邏輯假設(shè)了命題中詞項(xiàng)的外延是存在的，即S、P、、都不是空詞項(xiàng)。所以在構(gòu)成難題的前提中其實(shí)還假設(shè)了一個(gè)形如“有的x 不是P”的命題，該命題用以描述“存在”，即不是P 的東西，因此結(jié)論中P 的周延性實(shí)際上就來源于該假設(shè)中P 的周延性，但凱恩斯自己也承認(rèn)其方案并沒有完美地解決傳統(tǒng)邏輯中存在的問題。增加存在含義后，該推理的實(shí)質(zhì)為由“所有是”和“存在”推出“存在是”，此時(shí)傳統(tǒng)邏輯面臨的問題就轉(zhuǎn)移為了如何讓解釋為由“所有是”和“存在”推出“存在是”，而這個(gè)問題的關(guān)鍵在于如何處理“存在”。

有學(xué)者指出，在這種預(yù)設(shè)直言命題的主項(xiàng)非空的方案下，為了進(jìn)一步保證詞項(xiàng)邏輯中的其他推理的有效性，還需要預(yù)設(shè)直言命題的謂項(xiàng)、主項(xiàng)的相反詞項(xiàng)和謂項(xiàng)的相反詞項(xiàng)也都非空。（[24]）因此這種方案實(shí)際上是認(rèn)為直言命題中的詞項(xiàng)必須是非空非全的，這種方案可以使所有傳統(tǒng)邏輯的推理變得有效同時(shí)在一定程度上消解不一致性。在語(yǔ)義的觀點(diǎn)下，這種非空預(yù)設(shè)的要求實(shí)際上就是對(duì)形式系統(tǒng)的語(yǔ)義做了規(guī)定，使得在對(duì)直言命題中的詞項(xiàng)進(jìn)行解釋時(shí)，詞項(xiàng)只能代入為非空詞項(xiàng)。這就導(dǎo)致相對(duì)于沒有預(yù)設(shè)命題主項(xiàng)非空的現(xiàn)代經(jīng)典一階邏輯1現(xiàn)代經(jīng)典一階邏輯雖預(yù)設(shè)個(gè)體域非空，但并不預(yù)設(shè)命題主項(xiàng)非空。，刻畫傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯的形式系統(tǒng)在處理空詞項(xiàng)時(shí)具有一定的局限性。不僅傳統(tǒng)邏輯學(xué)家認(rèn)為周延性是語(yǔ)義層面的問題，現(xiàn)代邏輯學(xué)家也指出一個(gè)詞項(xiàng)的周延性取決于該詞項(xiàng)出現(xiàn)的正負(fù)性，而正負(fù)性反映的是命題在語(yǔ)義方面的某種單調(diào)性（[25]），因此傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯中與周延性有關(guān)的不一致性，也可以視為其在語(yǔ)義層面具有的不一致性。

在詞項(xiàng)非空預(yù)設(shè)下的傳統(tǒng)邏輯不僅在語(yǔ)義方面具有一定的局限性，而且與周延理論的不一致性并沒有被完全消除。以A 命題為例，如果規(guī)定SAP 中的P 是非全詞項(xiàng)，即是非空詞項(xiàng)，那么就意味著“存在”，即“存在x 是”，因此就得到了“存在x 不是P”，但此時(shí)SAP 中的P 就根據(jù)周延理論而成為了一個(gè)周延的詞項(xiàng)。在這種情況下，關(guān)于否定命題謂項(xiàng)周延的規(guī)定會(huì)使得肯定命題的謂項(xiàng)也變得周延了，而這與傳統(tǒng)邏輯中肯定命題謂項(xiàng)不周延的規(guī)定相沖突。實(shí)際上對(duì)于任何一個(gè)命題，如果其中的某個(gè)詞項(xiàng)X 是非空的，即“存在x 是X”，運(yùn)用傳統(tǒng)邏輯的換質(zhì)法就可以得出“存在x 不是”，此時(shí)如果接受傳統(tǒng)邏輯關(guān)于否定命題謂項(xiàng)周延性的規(guī)定，那么命題中的就是周延的。這意味著對(duì)于任何一個(gè)詞項(xiàng)，如果該詞項(xiàng)不是全詞項(xiàng)即其負(fù)詞項(xiàng)非空，那么該詞項(xiàng)就是周延的。因此如果直言命題中的所有詞項(xiàng)及其負(fù)詞項(xiàng)都是非空詞項(xiàng)，那么就會(huì)導(dǎo)致在直言命題中的任何詞項(xiàng)與該詞項(xiàng)的負(fù)詞項(xiàng)都是周延的，在這種意義下的傳統(tǒng)邏輯中就沒有了不周延的詞項(xiàng)。而如果所有詞項(xiàng)都周延，那么與周延性有關(guān)的規(guī)則，例如“前提中不周延的詞項(xiàng)在結(jié)論中不得周延”就都失去了意義，因?yàn)樗袀鹘y(tǒng)邏輯的推理中都不會(huì)出現(xiàn)前提中不周延的詞項(xiàng)了。

總之，在詞項(xiàng)邏輯中與周延理論有關(guān)的不一致性，是詞項(xiàng)邏輯有待解決且必須解決的難題。這些不一致性是由于傳統(tǒng)邏輯學(xué)家雖然引入了負(fù)詞項(xiàng)與涉及負(fù)詞項(xiàng)的相關(guān)推理，但并沒有對(duì)周延理論作出相應(yīng)地修改導(dǎo)致的。甚至傳統(tǒng)邏輯學(xué)家在三段論理論中又再一次取消了負(fù)詞項(xiàng)的合法地位，這導(dǎo)致傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯僅承認(rèn)256 個(gè)不含有負(fù)詞項(xiàng)的三段論，從而再次回退到了亞氏三段論邏輯。在對(duì)詞項(xiàng)邏輯進(jìn)行擴(kuò)展時(shí)需要重新研究并完善周延理論，分析如何解釋周延性的概念并在此基礎(chǔ)上建立一套判定接納負(fù)詞項(xiàng)的推理是否有效的規(guī)則，從而依據(jù)判定規(guī)則得出接納負(fù)詞項(xiàng)的詞項(xiàng)邏輯中共有多少三段論以及其中哪些三段論是有效的。

2 兩類可行的周延理論難題解決路徑

對(duì)周延理論難題解決方案的研究存在兩條路徑：要么在保留周延性概念的內(nèi)涵的前提下修改對(duì)命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定，要么從根源上修改或直接拋棄周延性概念的內(nèi)涵而單純研究判定推理有效性的規(guī)則。

2.1 保留周延性傳統(tǒng)內(nèi)涵的路徑

在保留周延性概念關(guān)于“斷定詞項(xiàng)全部外延”的內(nèi)涵的前提下修改命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定的解決路徑，以米勒（J.W.Miller）（[13]）提出的觀點(diǎn)為代表。米勒在分析傳統(tǒng)邏輯中的難題時(shí)指出，傳統(tǒng)邏輯中與周延性有關(guān)的不一致都與以下三個(gè)因素相關(guān)：（1）各種推理有效性的規(guī)定；（2）“前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中不得周延”的規(guī)定；（3）命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定。如果放棄（1），那么就必須認(rèn)為負(fù)詞項(xiàng)不能被適用于傳統(tǒng)邏輯，這是一種極端措施。如果放棄（2），那么會(huì)更加遺憾，因?yàn)檫@條體現(xiàn)了演繹邏輯特點(diǎn)的規(guī)定在傳統(tǒng)邏輯中起著基本的作用。米勒的觀點(diǎn)與國(guó)內(nèi)一些學(xué)者（[24]）的觀點(diǎn)類似，不同之處在于，米勒認(rèn)為（3）可以被取而代之的同時(shí)不對(duì)傳統(tǒng)邏輯產(chǎn)生任何損害。

傳統(tǒng)邏輯認(rèn)為，命題中的詞項(xiàng)是指命題的主項(xiàng)和謂項(xiàng)。米勒認(rèn)為，當(dāng)接納了負(fù)詞項(xiàng)后，傳統(tǒng)邏輯中命題的詞項(xiàng)應(yīng)該包括命題的主項(xiàng)、謂項(xiàng)、負(fù)主項(xiàng)、負(fù)謂項(xiàng)。在此基礎(chǔ)上，SAP 意味著“所有S 是P”并且“所有是”，因此人們自然會(huì)認(rèn)可S 與在SAP 中是周延的。但是，如果接受傳統(tǒng)邏輯中全稱命題推出特稱命題的推理形式，那么：（1）“所有S 是P”還意味著“一些P 是S”，即“一些P 不是”，因此作為否定命題的謂項(xiàng)也周延了；（2）“所有是”還意味著“一些是”，即“一些不是P”，因此P 也周延了。這種情況下得出了關(guān)于命題中詞項(xiàng)周延性的另一套規(guī)定：A 命題的主項(xiàng)、謂項(xiàng)、負(fù)主項(xiàng)、負(fù)謂項(xiàng)都周延，E 命題的主項(xiàng)、謂項(xiàng)、負(fù)主項(xiàng)、負(fù)謂項(xiàng)都周延，I 的負(fù)主項(xiàng)和負(fù)謂項(xiàng)周延，O 的負(fù)主項(xiàng)和謂項(xiàng)周延。如果接受了這樣的規(guī)定，傳統(tǒng)邏輯就不會(huì)產(chǎn)生“前提不周延而結(jié)論周延”的難題，因?yàn)檫@種規(guī)定把難題中推出特稱結(jié)論的全稱前提中的不周延的詞項(xiàng)都變?yōu)榱酥苎拥?，因此結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中卻不周延的情況就被排除了。

雖然采取這種新的規(guī)定可以解決難題，但會(huì)導(dǎo)致全稱命題中的四個(gè)詞項(xiàng)全都周延，損害了周延性概念的特殊效用，不符合人們對(duì)命題中詞項(xiàng)周延性的一般理解，并且與普遍接受的詞項(xiàng)與負(fù)詞項(xiàng)的周延性相反的觀點(diǎn)相矛盾。因此米勒對(duì)全稱命題中詞項(xiàng)的周延性進(jìn)一步細(xì)分為了強(qiáng)周延和弱周延：命題中某詞項(xiàng)是強(qiáng)周延的，當(dāng)且僅當(dāng)該命題斷定了這個(gè)詞項(xiàng)的全部外延被排除在該命題中的其他某個(gè)詞項(xiàng)的全部外延之外；命題中某詞項(xiàng)是弱周延的，當(dāng)且僅當(dāng)該命題斷定了這個(gè)詞項(xiàng)的全部外延被排除在該命題中的其他某個(gè)詞項(xiàng)的部分外延之外。根據(jù)定義可以得到下表：

國(guó)內(nèi)也有學(xué)者對(duì)周延性進(jìn)行了進(jìn)一步細(xì)分，如郭世銘（[23]）認(rèn)為，以往邏輯教材對(duì)周延性所下的定義不夠明確并且將兩種不同程度的周延性混為一談，因?yàn)镺 命題只是斷定謂項(xiàng)P 的全部外延都被排除在一個(gè)不確定的范圍之外，O 命題謂項(xiàng)的這種（弱）周延性顯然與A 命題主項(xiàng)的（強(qiáng)）周延性不同。沿著郭世銘的思路，可以得到與米勒一致的詞項(xiàng)周延性的結(jié)果，并且二者的觀點(diǎn)在一定程度上也符合吉奇（P.T.Geach）（[7]，第37-39 頁(yè)）對(duì)O 命題謂項(xiàng)周延性的質(zhì)疑。但郭世銘認(rèn)為，傳統(tǒng)邏輯難以有一個(gè)統(tǒng)一的、普遍適用的規(guī)則，所以并沒有像米勒一樣在新的周延性劃分的基礎(chǔ)上建立起一套判定傳統(tǒng)邏輯推理有效性的規(guī)則。王路（[26]，第103-105 頁(yè)）充分肯定了郭世銘關(guān)于傳統(tǒng)邏輯混淆了兩種不同程度的周延性的觀點(diǎn)，認(rèn)為根據(jù)傳統(tǒng)邏輯關(guān)于周延性的定義可以保證一部分推理的有效性，但是無法保證全部推理的有效性，即無法從整體上保證“必然地得出”。米勒也曾指出，建立三段論的規(guī)則僅從周延性的角度考慮命題并不充分，還要對(duì)命題質(zhì)的方面進(jìn)行研究。

在傳統(tǒng)邏輯中，不論命題中的詞項(xiàng)是否為負(fù)詞項(xiàng)，只要聯(lián)項(xiàng)是否定的，那么命題的質(zhì)就是否定的。米勒雖然保留了這種命題質(zhì)的方面的規(guī)定，將命題在形式上的質(zhì)稱為技術(shù)肯定（technically affirmative）和技術(shù)否定（technically negative）。但他進(jìn)一步指出，由于形式上不同的肯定命題“S 是”和否定命題“S 不是P”在邏輯上表達(dá)的涵義是相同的，因此需要進(jìn)一步從涵義的層面界定命題的質(zhì)。米勒（[13]）指出，命題中的技術(shù)否定元素和明確出現(xiàn)在命題形式中的負(fù)詞項(xiàng)為命題中的否定性元素，并根據(jù)命題中否定性元素的數(shù)量定義了命題在涵義上的質(zhì)（qualityin-sense）：一個(gè)命題是涵義否定的（negative-in-sense），當(dāng)且僅當(dāng)該命題包含奇數(shù)個(gè)否定性元素；一個(gè)命題是涵義肯定的（affirmative-in-sense），當(dāng)且僅當(dāng)該命題包含偶數(shù)個(gè)否定性元素。例如A是涵義肯定的，因?yàn)橛袃蓚€(gè)否定性元素；SAP 是涵義否定的，因?yàn)橛幸粋€(gè)否定性元素。

基于對(duì)詞項(xiàng)強(qiáng)弱周延性的劃分和對(duì)命題在涵義上的質(zhì)的界定，米勒制定了一套新的接納負(fù)詞項(xiàng)的檢驗(yàn)直接推理的規(guī)則：

1.如果結(jié)論是涵義肯定的，那么前提必須是涵義肯定的；如果結(jié)論是涵義否定的，那么前提必須是涵義否定的。

2.如果結(jié)論是全稱的，那么結(jié)論中強(qiáng)周延的詞項(xiàng)必須在前提中強(qiáng)周延；如果結(jié)論是特稱的，那么結(jié)論中周延的詞項(xiàng)必須在前提中周延。

（[13]，第108-109 頁(yè)）

米勒進(jìn)一步將多個(gè)命題在涵義上的質(zhì)定義為涵義共同否定（together-negativein-sense）和涵義共同肯定（together-affirmative-in-sense）。涵義共同否定是指，多個(gè)命題中共包含奇數(shù)個(gè)否定元素。涵義共同肯定是指，多個(gè)命題中共包含偶數(shù)個(gè)否定元素。基于詞項(xiàng)強(qiáng)弱周延性的劃分與對(duì)多個(gè)命題在涵義上的質(zhì)的界定，米勒制定了一套新的接納負(fù)詞項(xiàng)的檢驗(yàn)三段論的規(guī)則：

1.如果結(jié)論是涵義肯定的，那么前提必須是涵義共同肯定的；如果結(jié)論是涵義否定的，那么前提必須是涵義共同否定的。

2.如果結(jié)論是全稱的，那么結(jié)論中強(qiáng)周延的項(xiàng)必須在前提中強(qiáng)周延；如果結(jié)論是特稱的，那么結(jié)論中周延的必須在前提中周延，并且至少一個(gè)結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中強(qiáng)周延。

（[13]，第111 頁(yè)）

這兩套規(guī)則可以判定傳統(tǒng)邏輯中所有涉及負(fù)詞項(xiàng)的直接推理和三段論的有效性，有趣的是，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)判定直接推理和三段論推理時(shí)各需要兩條規(guī)則，而這兩條規(guī)則之間存在著一一對(duì)應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，并且判定三段論的有效性時(shí)不需要與中項(xiàng)有關(guān)的規(guī)則。值得注意的是，在新的周延性的規(guī)定中強(qiáng)周延的一定是弱周延的，因此所有周延的都是弱周延的，但弱周延與周延之間的區(qū)別并不重要，因?yàn)槊桌战⒌囊?guī)則僅僅需要明確周延與不周延之間、強(qiáng)周延與不周延之間的差異。

2.2 刪除或修改周延性傳統(tǒng)內(nèi)涵的路徑

與傳統(tǒng)路徑不同，現(xiàn)代學(xué)者往往選擇保留傳統(tǒng)邏輯對(duì)命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定，并在此基礎(chǔ)上建立判定傳統(tǒng)邏輯中推理有效性的規(guī)則。但正如米勒、吉奇等人所分析的，傳統(tǒng)的周延性概念與詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定之間存在著明顯的沖突，因此為了保留詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定，只能修改或拋棄周延性概念中關(guān)于“斷定命題中詞項(xiàng)的全部外延”的內(nèi)涵，使得對(duì)詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定并不是依據(jù)是否“斷定命題中詞項(xiàng)的全部外延”而得到的，從而避免了因周延性而產(chǎn)生的一系列的爭(zhēng)論。正如帕森斯（T.Parsons）（[14]）指出的，一旦明確了一個(gè)詞項(xiàng)是否周延后就很容易應(yīng)用周延規(guī)則，如果人們所關(guān)心的只是一個(gè)機(jī)械的測(cè)試，而不需要理解其中的原理，那么我們甚至可以通過列舉來指定一個(gè)詞項(xiàng)是否周延。因此在這種單純研究判定推理有效性方法的目的下，只要能夠利用詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定成功建立起判定有效性的規(guī)則，那么，這四條規(guī)定不論是根據(jù)詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)（[8]）或單調(diào)性（[5]）得到的，還是被直接作為某種規(guī)定（[20]）而給出的，都并不重要。

威廉姆森（C.Williamson）（[20]）指出，學(xué)習(xí)命題邏輯的學(xué)生有兩種測(cè)試推理有效性的方法：一種是構(gòu)造真值表，另一種涉及演繹技術(shù)。在盧卡西維茨（J.Lukasiewicz）（[11]）等人的努力下，傳統(tǒng)邏輯的公理化處理已經(jīng)得到了廣泛發(fā)展，但傳統(tǒng)邏輯還沒有為測(cè)試推理的有效性提供一種成熟的類似于命題邏輯真值表法的簡(jiǎn)單的判定技術(shù)，傳統(tǒng)邏輯有史以來最接近于這種簡(jiǎn)單的判定技術(shù)的是周延理論。威廉姆森為了模仿命題邏輯基于真值的真值表法，將命題中詞項(xiàng)的周延性稱為周延值（distribution-values）并直接沿用了傳統(tǒng)邏輯對(duì)命題中詞項(xiàng)周延性所作的規(guī)定：如果一個(gè)詞項(xiàng)是周延的，那么該詞項(xiàng)的周延值是1，否則該詞項(xiàng)的周延值是0；全稱命題的主項(xiàng)和否定命題的謂項(xiàng)的周延值是1，其余項(xiàng)的周延值為0。威廉姆森采用了盧卡西維茨對(duì)命題的表示方法，指出盧卡西維茨的命題否定算子“N”的作用是將一個(gè)命題中所有詞項(xiàng)的周延值進(jìn)行反轉(zhuǎn)，例如將O 命題與其中詞項(xiàng)的周延值表示為“Oab：a=0，b=1”，增加“N”后可以得到“NOab：a=1，b=0”，并隨時(shí)可以替換為與其等值的“Aab：a=1，b=0”。為了將盧卡西維茨（[11]）放棄的負(fù)詞項(xiàng)統(tǒng)一于理論中，威廉姆森（[20]）又增加了詞項(xiàng)否定算子“n”，作用是將一個(gè)詞項(xiàng)的周延值進(jìn)行反轉(zhuǎn)，如“Oanb：a=0，b=0”。但需要注意，負(fù)詞項(xiàng)“nb”只是在一個(gè)詞項(xiàng)“b”面前加了一個(gè)詞項(xiàng)否定算子“n”，而不是產(chǎn)生了一個(gè)新的詞項(xiàng)，所以一個(gè)命題中只存在兩個(gè)詞項(xiàng)而不是四個(gè)詞項(xiàng)。因此，由一個(gè)命題推出一個(gè)命題的直接推理中應(yīng)該只有兩個(gè)詞項(xiàng)；由兩個(gè)命題推出一個(gè)命題的三段論推理中應(yīng)該只有三個(gè)詞項(xiàng)，只在前提中出現(xiàn)的詞項(xiàng)稱為中項(xiàng)，剩下兩個(gè)稱為端項(xiàng)。根據(jù)這種理論，三段論中某詞項(xiàng)與其負(fù)詞項(xiàng)的同時(shí)存在，并不意味著傳統(tǒng)理論中所謂的“四詞項(xiàng)”錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

為了利用詞項(xiàng)的周延值來判定推理的有效性，威廉姆森定義了“單值”與“雙值”的詞項(xiàng)：一個(gè)推理中的某詞項(xiàng)是單值的，當(dāng)且僅當(dāng)在推理中該詞項(xiàng)的周延值不發(fā)生改變；一個(gè)推理中的某詞項(xiàng)是雙值的，當(dāng)且僅當(dāng)在推理中該詞項(xiàng)的周延值發(fā)生了改變。例如在“Aab→Iab”這個(gè)推理中，a 是雙值的因?yàn)槠渲苎又涤? 變?yōu)榱?，b 是單值的因?yàn)槠渲苎又狄恢北３譃?。

周延理論中的難題涉及了從全稱命題推出特稱命題的過程，因此威廉姆森將從一個(gè)全稱命題到一個(gè)特稱命題的推理稱為下降型（reductive）推理，使其與從一個(gè)全稱命題得到一個(gè)全稱命題或從一個(gè)特稱命題得到一個(gè)特稱命題的非下降型（non-reductive）推理區(qū)分開來2這兩類推理涵蓋了傳統(tǒng)邏輯中全部有效的直接推理。。當(dāng)在詞項(xiàng)邏輯中引入負(fù)詞項(xiàng)時(shí)，舊的周延律無法適用于下降型推理，甚至為非下降型推理也只能提供必要但不充分的條件。因此，威廉姆森基于其周延值理論制定了一套檢驗(yàn)接納了負(fù)詞項(xiàng)的直接推理的新規(guī)則：

1.非下降型直接推理是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，推理中的兩個(gè)詞項(xiàng)都是單值的。

2.下降型直接推理是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，推理中有且只有一個(gè)詞項(xiàng)是單值的。

（[20]，第738 頁(yè)）

類似地，威廉姆森將傳統(tǒng)邏輯學(xué)家所謂的基本三段論（三個(gè)命題都是全稱的或一個(gè)作為前提的命題是全稱的而另外兩個(gè)命題是特稱的）稱為非下降型三段論，而將由兩個(gè)全稱命題得出一個(gè)特稱命題的三段論稱為下降型三段論，從而制定了一套檢驗(yàn)三段論有效性的新規(guī)則：

1.非下降型三段論是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，推理中的所有端項(xiàng)是單值的而中項(xiàng)是雙值的。

2.下降型三段論是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，或者（a）推理中有且只有一個(gè)端項(xiàng)是單值的（即中項(xiàng)和另一個(gè)端項(xiàng)雙值），或者（b）推理中所有項(xiàng)都是單值的。

（[20]，第746 頁(yè)）

其中規(guī)則2 之所以分為（a）和（b）兩種情況，是因?yàn)榈贸鎏胤Q命題作為結(jié)論的下降型三段論可以被進(jìn)一步劃分為兩種性質(zhì)不同的三段論：一些三段論本可以得出全稱命題作為結(jié)論，而另一些只能得出特稱命題作為結(jié)論。前者已經(jīng)被傳統(tǒng)邏輯學(xué)家稱為弱化的（weakened）三段論，因此后者可以簡(jiǎn)單地被稱為非弱化的（non-weakened）三段論，為了與非下降型三段論相區(qū)分，這兩類下降型三段論也可以稱為下降型弱化（reductive weakened）三段論和下降型非弱化（reductive non-weakened）三段論。2（a）和2（b）不僅恰好分別對(duì)應(yīng)了這兩類三段論有效的充分必要條件，而且解釋了傳統(tǒng)邏輯中存在不一致的具體原因。

2（a）解釋了一些有效的三段論（如“Aba∧Acb→Inanc”）與傳統(tǒng)邏輯中“前提中不周延的詞項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延”這一規(guī)則相矛盾的原因。因?yàn)檫@類下降型弱化三段論有效的充分必要條件為：“有且只有一個(gè)端項(xiàng)的周延值不能發(fā)生改變”，因此有一個(gè)端項(xiàng)的周延值需要發(fā)生改變，但并沒有要求該詞項(xiàng)的周延值是由1 變?yōu)? 還是由0 變?yōu)?，這意味著這類三段論的詞項(xiàng)是可以在前提中不周延而在結(jié)論中周延的。

2（b）解釋了一些有效的三段論（如“Aba∧Acb→Oanc”）與傳統(tǒng)邏輯中“中項(xiàng)至少周延一次”這一規(guī)則相矛盾的原因。因?yàn)檫@類下降型非弱化三段論有效的充分必要條件僅是：“所有詞項(xiàng)的周延值不能發(fā)生改變”，但并沒有要求詞項(xiàng)的周延值是1 還是0，因此這類三段論的中項(xiàng)可以兩次都是0 即一次也不周延。

威廉姆森（[20]）與米勒（[13]）雖然以不同的方式建立了檢驗(yàn)接納負(fù)詞項(xiàng)的詞項(xiàng)邏輯推理有效性的規(guī)則，并解決了傳統(tǒng)邏輯中存在的難題，但卻同樣為直接推理與三段論分別制定了兩套雖有聯(lián)系但并不相同的判定規(guī)則。正如科雷亞（M.Correia）（[6]）指出的，傳統(tǒng)邏輯學(xué)家雖然試圖接納負(fù)詞項(xiàng)，但在教學(xué)的過程中卻將傳統(tǒng)邏輯分為了沒有一個(gè)共同理論框架的不同分支。因此阿爾瓦雷斯（E.Alvarez）與科雷亞（[2]）試圖找出接納負(fù)詞項(xiàng)后的傳統(tǒng)邏輯的各個(gè)推理理論之間是否存在共同需要遵守的公理或公理集。

阿爾瓦雷斯（[1]）指出，命題的量（propositional quantity）和詞項(xiàng)的量（quantity of the terms）是一個(gè)命題的內(nèi)在性質(zhì)，二者都可以被進(jìn)一步劃分為普遍的（universal）或特殊的（particular）。同威廉姆森（[20]）一樣，阿爾瓦雷斯與科雷亞（[2]）沿用了傳統(tǒng)邏輯中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定3阿爾瓦雷斯與科雷亞并沒有采用“周延”這一術(shù)語(yǔ)，為了表述上的統(tǒng)一，本文在表述時(shí)將繼續(xù)沿用以往的術(shù)語(yǔ)，將命題的量稱為全稱或特稱，將詞項(xiàng)的量稱為周延或不周延。，將以往教科書中判定推理有效性的經(jīng)典規(guī)則進(jìn)行了整合，并重構(gòu)為了三條公理：

? 數(shù)量公理（Axiom of Quantity）：否定命題的謂項(xiàng)是周延的，肯定命題的謂項(xiàng)是不周延的。

? 特稱公理（Axiom of Particularity）：三段論的結(jié)論是特稱的，當(dāng)且僅當(dāng)，一個(gè)前提是特稱的；僅以兩個(gè)特稱命題作為前提無法有效地得出結(jié)論。

? 聯(lián)合公理（Axiom of Linkage）：結(jié)論中兩個(gè)詞項(xiàng)的周延性必須與前提中保持一致，兩個(gè)前提中共同的詞項(xiàng)的周延性必須發(fā)生改變。

這三條公理為判定接納了負(fù)詞項(xiàng)的三段論的有效性提供了充分必要的條件，但與威廉姆森和米勒的方案不同，這里的有效三段論是指更符合現(xiàn)代邏輯觀點(diǎn)的嚴(yán)格有效的三段論，因?yàn)榘柾呃姿古c科雷亞認(rèn)為，涉及存在預(yù)設(shè)問題的三段論是非嚴(yán)格有效的，而不是嚴(yán)格有效的三段論。命題是否預(yù)設(shè)了詞項(xiàng)存在的問題，關(guān)系到傳統(tǒng)邏輯中由全稱命題推出特稱命題的推理的有效性。阿爾瓦雷斯與科雷亞在現(xiàn)代邏輯的觀點(diǎn)下認(rèn)為，A 與E 命題沒有存在含義，當(dāng)推理需要沒有存在含義的詞項(xiàng)存在時(shí)，那么應(yīng)該增加前提，用以表明該存在性不明確的詞項(xiàng)確實(shí)是存在的。因此如果詞項(xiàng)x 產(chǎn)生了存在預(yù)設(shè)問題，那么應(yīng)該假設(shè)“存在x”也是該推理的一個(gè)前提。又因?yàn)樵撉疤崾翘胤Q的，那么根據(jù)特稱公理，該三段論的結(jié)論必須也是特稱的。

阿爾瓦雷斯與科雷亞通過描述存在預(yù)設(shè)問題，定義了嚴(yán)格和非嚴(yán)格有效的三段論，使得其建立的公理集也可以適用于涉及存在預(yù)設(shè)問題的非嚴(yán)格有效的三段論。因?yàn)閮H僅從全稱命題推出特稱命題時(shí)會(huì)導(dǎo)致存在預(yù)設(shè)問題的產(chǎn)生，此時(shí)如果推理中有且只有一個(gè)詞項(xiàng)x 違反了聯(lián)合公理，那么此推理中涉及存在預(yù)設(shè)問題的詞項(xiàng)就是詞項(xiàng)x。4如果中詞或其負(fù)詞項(xiàng)有存在預(yù)設(shè)問題，那么該詞項(xiàng)在兩個(gè)前提中都是周延的或不周延的（該詞項(xiàng)的量在前提中是相同的）；如果端詞或其負(fù)詞項(xiàng)有存在預(yù)設(shè)問題，那么該詞項(xiàng)在前提中周延/不周延，卻在結(jié)論中不周延/周延（該詞項(xiàng)的量在前提與結(jié)論中不同）。在這種情況下，通過增加前提“存在x”就可以使得x 并不違反聯(lián)合公理，因此阿爾瓦雷斯與科雷亞通過描述存在預(yù)設(shè)問題，使得其建立的公理集可以判定所有嚴(yán)格和非嚴(yán)格有效的三段論。事實(shí)上，這三個(gè)公理不僅可以使整個(gè)傳統(tǒng)邏輯形成一個(gè)統(tǒng)一的理論，而且對(duì)其他形式系統(tǒng)也具有適用性。研究表明，這三個(gè)公理可以自然地應(yīng)用于一些簡(jiǎn)單的命題邏輯的推理，并提供一種分析任意命題邏輯推理有效性的框架。由此阿爾瓦雷斯與隆施特拉斯(T.Lungenstrass)提出了pouch method，該方法雖然效率較低，但是可以很有趣地替代命題邏輯中測(cè)試有效性的真值表法。（[3]）

刪除或修改周延性概念的內(nèi)涵以保留命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定的解決方案，不僅可以與現(xiàn)代邏輯的研究成果相結(jié)合，而且可以進(jìn)一步判定出接納負(fù)詞項(xiàng)的全部有效三段論，這種解決方案體現(xiàn)著現(xiàn)代周延理論最前沿的發(fā)展趨勢(shì)。

3 現(xiàn)代周延理論與現(xiàn)代量詞理論的結(jié)合

梅金森(D.Makinson)（[12]）指出，周延性這一概念雖然受到了吉奇等人的猛烈批判，但它也可以被刻畫得非常精確和有意義。在現(xiàn)代邏輯的觀點(diǎn)下，A、E、I、O 四種命題往往參照羅素的方法被表示為：?x(Sx→Px)、?x(Sx→?Px)、?x(Sx ∧Px)、?x(Sx ∧?Px)，但這種表示方法難以與傳統(tǒng)邏輯中的周延性產(chǎn)生聯(lián)系。因此梅金森提出了另外一種表示方法：

基于這種表示方法，梅金森給出了關(guān)于詞項(xiàng)周延性的一個(gè)更加嚴(yán)格的定義：

在這種形式的命題中，處于某詞項(xiàng)之下的變量如果被全稱量詞所約束，那么該詞項(xiàng)是周延的；如果被存在量詞所約束，那么就是不周延的。

（[12]，第104 頁(yè)）

由于詞項(xiàng)邏輯中所有命題和推理形式都能得到現(xiàn)代邏輯的刻畫，所以存在著在現(xiàn)代邏輯中作出詞項(xiàng)周延性的嚴(yán)格形式定義的可能性。我國(guó)學(xué)者陳慕澤（[22]）采用一階邏輯的方式為詞項(xiàng)的周延性給出了一個(gè)形式定義，并基于周延性的定義證明了四種命題中各詞項(xiàng)的周延性。有趣的是，陳慕澤在描述O 命題謂項(xiàng)的周延性時(shí)，運(yùn)用了被其稱為萊布尼茲律的“?x(Sx∧?Px)??y(Py→?x())”，而這恰好與梅金森（[12]）對(duì)周延性的刻畫方式相一致。

梅金森認(rèn)為，雖然周延性被用于制定判定有效推理的規(guī)則，但制定的判定規(guī)則的適用性似乎僅局限于傳統(tǒng)邏輯中的特殊推理形式，因?yàn)檫@些規(guī)則難以處理很多一階邏輯中的推理。以很簡(jiǎn)單的有效推理“?x(Sx ∧Px)→?x(Sx→Px)”為例，該推理前提中不周延的S 在結(jié)論中就周延了。顯然這種對(duì)周延性的刻畫方法過度依賴于量詞的作用。蘭伯特（Lambert of Auxerre）（[19]，第141 頁(yè)）指出，雖然使詞項(xiàng)周延的不是特稱量詞而是全稱量詞，但不僅全稱量詞具有使詞項(xiàng)周延的能力，否定符號(hào)也具有這種能力，尤其是在一個(gè)詞項(xiàng)前增加否定符號(hào)可以直接改變這個(gè)詞項(xiàng)的周延性。

因此有學(xué)者選擇從否定符號(hào)的角度研究詞項(xiàng)的周延性，認(rèn)為詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)取決于否定符號(hào)的作用，進(jìn)而將詞項(xiàng)的不周延和周延定義為詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)?；羝嫠梗╗8]）與威廉姆森討論后展示了這種方式?；羝嫠拐J(rèn)為，雖然在任意一個(gè)一階語(yǔ)句中定義詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)是比較復(fù)雜的，但利用任意一個(gè)一階語(yǔ)句都存在與其等值的而“→”和“?”不在其中出現(xiàn)的一階語(yǔ)句的這個(gè)事實(shí)，就可以使人們較為容易地定義詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)：

在一個(gè)其中從不出現(xiàn)“→”和“?”符號(hào)的一階句子φ中，如果一個(gè)詞項(xiàng)X出現(xiàn)在偶數(shù)個(gè)否定符號(hào)的作用范圍內(nèi)，則稱它在φ中正出現(xiàn)；如果X 出現(xiàn)在奇數(shù)個(gè)否定符號(hào)的作用范圍內(nèi)，則稱它在φ中負(fù)出現(xiàn)。在有了正負(fù)出現(xiàn)的定義之后，就可以定義詞項(xiàng)的周延性：

如果一個(gè)詞項(xiàng)X 在一個(gè)直言命題φ中出現(xiàn)并且存在一個(gè)與φ等值的一階語(yǔ)句φ′，在φ′中X 沒有正出現(xiàn)，那么X 在φ中是周延的。類似地，如果將定義中的“正出現(xiàn)”換成“負(fù)出現(xiàn)”，則X 在φ中是不周延的。

以直言命題“所有S 都是P”為例，一階邏輯一般將其表示為“?x(Sx→Px)”，但由于其中出現(xiàn)了“→”符號(hào)，導(dǎo)致需要將其轉(zhuǎn)化為與其等值的一階語(yǔ)句“?x(?Sx ∨Px)”，此時(shí)根據(jù)正負(fù)出現(xiàn)的定義，就可以直接得出S 是負(fù)出現(xiàn)的即周延的，并且P 是正出現(xiàn)的即不周延的。5如果僅看“?x(Sx→P x)”，就會(huì)使得其中S 似乎為正出現(xiàn)的。

現(xiàn)代邏輯學(xué)家以經(jīng)典量詞理論刻畫了周延性之后，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)與廣義量詞理論有著密切的聯(lián)系。單調(diào)性（Monotonicity）是廣義量詞最重要的語(yǔ)義性質(zhì)，量詞Q是向上單調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于論域內(nèi)的x、y，如果x ?y，那么Q(x)蘊(yùn)涵Q(y)。廣義量詞理論的這種思想來源于經(jīng)典量詞理論之父弗雷格（G.Frege）。弗雷格借用數(shù)學(xué)中的函數(shù)作為其邏輯分析的出發(fā)點(diǎn)，指出函數(shù)的本質(zhì)是它們的不飽和性。當(dāng)一個(gè)含有空位的函數(shù)“f()”被自變?cè)a(bǔ)充完整時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)值。弗雷格將函數(shù)值為真值的函數(shù)作為研究對(duì)象，用于分析改變句子的成分卻不會(huì)使句子的真值發(fā)生改變的各種情況。（[27]）廣義量詞理論遵循了弗雷格的函數(shù)-自變?cè)碚摰难芯糠椒?，又借用了?shù)學(xué)中的函數(shù)單調(diào)性的概念。在數(shù)學(xué)中一個(gè)函數(shù)f()是單調(diào)向上的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于論域內(nèi)的x、y，如果x ＜y，那么f(x)＜f(y)。類似地就可以定義弗雷格在邏輯研究中關(guān)注的函數(shù)值為真值的函數(shù)的單調(diào)性。邏輯中的函數(shù)f()是單調(diào)向上的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于論域內(nèi)的x、y，如果x ?y，那么f(x)蘊(yùn)涵f(y)，即以y替換f(x)中的x時(shí)，f(y)的值相對(duì)于f(x)不會(huì)由真變?yōu)榧?。在各種廣義量詞中被研究得最為充分的量詞是<1，1>類型的廣義量詞，<1，1>類型量詞具有四種比較常見的單調(diào)性：

? 一個(gè)<1，1>類型量詞Q是右單調(diào)遞增的（Mon↑），當(dāng)且僅當(dāng)，在論域E中，如果B ?C ?E，那么QE(A,B)蘊(yùn)涵QE(A,C)。

? 一個(gè)<1，1>類型量詞Q是右單調(diào)遞減的（Mon↓），當(dāng)且僅當(dāng)，在論域E中，如果C ?B ?E，那么QE(A,B)蘊(yùn)涵QE(A,C)。

? 一個(gè)<1，1>類型量詞Q是左單調(diào)遞增的（↑Mon），當(dāng)且僅當(dāng)，在論域E中，如果A ?C ?E，那么QE(A,B)蘊(yùn)涵QE(C,B)。

? 一個(gè)<1，1>類型量詞Q是左單調(diào)遞增的（↓Mon），當(dāng)且僅當(dāng)，在論域E中，如果C ?A ?E，那么QE(A,B)蘊(yùn)涵QE(C,B)。

現(xiàn)代邏輯往往將傳統(tǒng)邏輯中的四種命題處理為A、E、I、O 四個(gè)邏輯常項(xiàng)對(duì)兩個(gè)詞項(xiàng)變項(xiàng)的邏輯聯(lián)結(jié)，而廣義量詞理論中的<1，1>類型量詞恰好可以表示兩個(gè)論元各自代表的集合間的二元關(guān)系，因此A、E、I、O 這四個(gè)邏輯常項(xiàng)實(shí)際上就可以視為廣義量詞理論中的四個(gè)<1，1>類型的被稱為亞氏量詞的廣義量詞。需要注意的是，廣義量詞理論在分析直言命題時(shí)遵循了亞里士多德的方法，將后來傳統(tǒng)邏輯中的“聯(lián)項(xiàng)”對(duì)命題起到的作用重新移入回了“量項(xiàng)”中，使得四種命題在形式上僅存在量詞上的不同，此時(shí)四種直言命題的廣義量詞形式以及其標(biāo)準(zhǔn)集合論解釋就為（[15]，第28 頁(yè)）：

雖然沒有了對(duì)“聯(lián)項(xiàng)”的否定，但廣義量詞理論依然可以借用對(duì)當(dāng)方陣來直接描繪四種亞氏量詞之間存在著的外否定關(guān)系（?Q）、內(nèi)否定關(guān)系（Q?）和對(duì)偶否定關(guān)系（Qd,Qd=?(Q?)=?Q）。（[15]，第132 頁(yè)）更重要的是一個(gè)<1，1>類型的量詞可以同時(shí)體現(xiàn)出兩種單調(diào)性，范本特姆（J.van Benthem）認(rèn)為所有這些都體現(xiàn)在由四種亞氏量詞組成的以下對(duì)當(dāng)方陣中（[4]）：

顯然，傳統(tǒng)邏輯中詞項(xiàng)的周延性與廣義量詞的單調(diào)性之間呈現(xiàn)出了高度的一致，以詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)定義詞項(xiàng)周延性的方式也可以直接定義單調(diào)性：如果X 在φ中沒有正出現(xiàn)，那么它在φ中是向下單調(diào)的；如果X 在中沒有負(fù)出現(xiàn)，那么它在φ中是向上單調(diào)的（[8]）。也因此范本特姆（[5]，第111-112 頁(yè)）參考了薩默斯（F.Sommers）等人的思想后，指出通常被認(rèn)為是現(xiàn)代邏輯的發(fā)現(xiàn)的單調(diào)性這個(gè)概念，實(shí)際上正是傳統(tǒng)邏輯中三段論的核心。因?yàn)槟硞€(gè)表達(dá)式的向下單調(diào)性恰好對(duì)應(yīng)了傳統(tǒng)邏輯學(xué)家口中的詞項(xiàng)的周延出現(xiàn)，而向上單調(diào)性正反映了傳統(tǒng)邏輯中的Dictum de Omni即“Whatever is true of every X is true of what is X”，以現(xiàn)代邏輯的術(shù)語(yǔ)來說就是：如果所有X 都是Y，并且在一些陳述X 的語(yǔ)句“...X...”中X 處于單調(diào)向上的位置，那么就有關(guān)于Y 的同樣的陳述“...Y...”。后來薩默斯又給出了Dictum de Omni的周延版本，即“A term that applies to every X may replace any undistributed occurrence of X”，由此可以得出任何具有以下形式的推理都是有效的（[17]）：

總之，傳統(tǒng)邏輯學(xué)家眼中的周延性概念以及Dictum de Omni在現(xiàn)代邏輯的觀點(diǎn)下具有重要意義，薩默斯在代數(shù)意義上將這些內(nèi)容進(jìn)行了刻畫，并由此站在傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯的立場(chǎng)，以現(xiàn)代邏輯的形式化方法建立起了一個(gè)基于詞項(xiàng)的代數(shù)演算的演繹系統(tǒng)TFL（term functor logic）。薩默斯指出，TFL 對(duì)命題的表示方式可以與傳統(tǒng)邏輯中對(duì)詞項(xiàng)周延性的規(guī)定直接對(duì)應(yīng)，在TFL 中僅包含“+”、“-”兩個(gè)代數(shù)符號(hào)，而這兩個(gè)直接對(duì)應(yīng)其索引詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)的算子，可以使我們機(jī)械地通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)化簡(jiǎn)來確定表達(dá)式中任何詞項(xiàng)的正負(fù)性即周延性（[17]）。例如直言命題“所有都是P”，其代數(shù)形式為“-(-S)+P”，進(jìn)一步將其代數(shù)化簡(jiǎn)后很容易發(fā)現(xiàn)S 是正出現(xiàn)的，因此S 就是不周延的。當(dāng)根據(jù)詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)確定了體現(xiàn)詞項(xiàng)單調(diào)性的周延性后，就可以直接利用Dictum de Omni或其周延版本進(jìn)行推理。薩默斯將Dictum de Omni形式化為了TFL 中一條重要的推理規(guī)則（[18]，第184 頁(yè)）：

基于該規(guī)則，TFL 不僅刻畫了傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯中的推理，而且突破了傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯在單稱命題、關(guān)系命題和復(fù)合命題方面的局限，從而具有了不弱于現(xiàn)代經(jīng)典一階邏輯的推理能力?；羝嫠梗╗9]）也根據(jù)詞項(xiàng)正負(fù)出現(xiàn)的定義給出了體現(xiàn)單調(diào)性的推理規(guī)則，其假設(shè)A 在P(A)中是正出現(xiàn)的，B 在N(B)中是負(fù)出現(xiàn)的，那么：

1.由“所有A 是B”和P(A)可以推出P(B)。

2.由“所有A 是B”和N(B)可以推出N(A)。

霍奇斯客觀地指出，識(shí)別句子中任意層次的詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)并不是我們固有的技能，這與自然語(yǔ)言邏輯目標(biāo)中的“自然”存在一定的差距。但無可否認(rèn)的是，建立在周延性概念基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)邏輯得到了經(jīng)典量詞理論和廣義量詞理論的進(jìn)一步解釋，最大程度發(fā)揮了Dictum de Omni推理能力的TFL，可以看成是把三段論理論發(fā)展為有關(guān)單調(diào)性推理的嘗試。范本特姆（[5]，第111-112 頁(yè)）認(rèn)為，運(yùn)用單調(diào)性進(jìn)行的單調(diào)性推理可以被視為傳統(tǒng)邏輯的一個(gè)核心。Dictum de Omni表明，推理規(guī)則可以是“全局”的，并且可以在語(yǔ)句級(jí)別運(yùn)行，而不預(yù)設(shè)任何邏輯推理理論的具體分析。范羅亦（R.van Rojii）（[16]）依據(jù)范本特姆與薩默斯等人的思想，進(jìn)一步展示出了傳統(tǒng)邏輯學(xué)家認(rèn)為的語(yǔ)義層面上的周延性怎樣被視為一種語(yǔ)法上的特征，從而展示出了以三段論邏輯擴(kuò)充到全部命題邏輯內(nèi)容的過程。

4 現(xiàn)代周延理論對(duì)有效三段論數(shù)量的重新判定

保留命題中詞項(xiàng)周延性四條規(guī)定的現(xiàn)代周延理論，不僅得到了現(xiàn)代邏輯研究成果的大量支持，而且可以進(jìn)一步判定出接納負(fù)詞項(xiàng)的全部有效三段論。眾所周知，亞氏邏輯中有256 種不含負(fù)詞項(xiàng)的三段論，但人們對(duì)接納負(fù)詞項(xiàng)后存在多少三段論的理論與認(rèn)知并不成熟。根據(jù)威廉姆森的周延值理論，在詞項(xiàng)邏輯引入了詞項(xiàng)的否定算子n 和命題的否定算子N 后，A、E、I、O 中的任何一個(gè)邏輯常項(xiàng)都可以構(gòu)造16 個(gè)形式不同的命題，以A 為例：

因此詞項(xiàng)邏輯中共存在4×16=64 個(gè)形式不同的命題，由于一個(gè)三段論由三個(gè)命題組成，因此理論上共存在64×64×64=262144 個(gè)形式不同的三段論。（[21]）但傳統(tǒng)理論由于忽略了對(duì)命題的否定和對(duì)詞項(xiàng)的否定等要素，使得僅存在256 個(gè)形式不同的三段論，并且一般認(rèn)為其中共有24 個(gè)是有效的（其中15 個(gè)是嚴(yán)格有效的），這導(dǎo)致傳統(tǒng)理論忽略了這24 個(gè)三段論之外存在著的有效三段論。雖然傳統(tǒng)理論中有一套用于判定256 個(gè)三段論的有效性的規(guī)則，但這套規(guī)則并不適用于這256 個(gè)之外的三段論。

從現(xiàn)代邏輯的觀點(diǎn)看，邏輯上等值的命題（如SIM 和MIS）只是表達(dá)同一個(gè)涵義的不同的命題形式，因此這些由形式上不同、邏輯上等值的命題所組成的三段論（如AII-1 即MAP∧SIM→SIP、AII-3 即MAP∧MIS→SIP）實(shí)際上只表達(dá)了同一種涵義的三段論。根據(jù)傳統(tǒng)理論的研究方法，僅僅從命題形式的角度分析這262144 個(gè)形式不同的三段論，不僅工作量巨大，而且很容易導(dǎo)致一些表達(dá)相同邏輯涵義的不同形式的三段論被重復(fù)計(jì)算。因此正確的做法是，從決定命題的邏輯涵義的因素出發(fā)，找出所有在邏輯涵義的特征上不同的三段論，最后再利用已找到的不同邏輯涵義特征的三段論確定出所有形式上不同的三段論。

在傳統(tǒng)邏輯中決定命題邏輯涵義的兩個(gè)因素為命題的量和詞項(xiàng)的量。根據(jù)威廉姆森（[20]）的周延值理論，構(gòu)成命題的兩個(gè)詞項(xiàng)的周延值被稱為命題的周延值。由于詞項(xiàng)的周延值要么是1，要么是0，所以任何命題的周延值只能是以下四個(gè)之一：11、10、01、00。因此，從周延值的角度考慮，三段論僅有4×4×4=64 種。又因?yàn)槿魏蚊}要么具有全稱的量（U），要么具有特稱的量（P），所以同時(shí)考慮命題的量和詞項(xiàng)的量時(shí)，共存在八種不同的命題：U11、U10、U01、U00、P11、P10、P01、P00。由此可以得出在邏輯涵義的特征上不同的三段論共有8×8×8=512 種，利用威廉姆森的周延值理論很容易得出這512 種三段論中共有多少是有效的。（[21]）

根據(jù)命題的量（U 或P）可以將三段論分為以下八種：

首先可以排除公認(rèn)的無法形成有效三段論的第二行中的四種命題的量的組合。然后考慮第一行中傳統(tǒng)邏輯學(xué)家所謂的基本三段論UUU、UPP、PUP（UUU也被稱為全稱三段論，UPP 和PUP 也被稱為特稱三段論）。根據(jù)周延值理論，基本三段論有效的充分必要條件是中項(xiàng)周延值的發(fā)生改變而大、小項(xiàng)的周延值均不發(fā)生改變，符合這一條件的周延值有以下八種組合情況6其中第一個(gè)前提是小前提，小前提的第一個(gè)項(xiàng)是小項(xiàng)即結(jié)論中的前項(xiàng)；第二個(gè)前提是大前提，大前提的第二個(gè)項(xiàng)是大項(xiàng)即結(jié)論中的后項(xiàng)；剩下的中間兩個(gè)項(xiàng)是中項(xiàng)。：

三類基本三段論只要滿足這八種情況之一就是有效的，因此共有8×3=24 類有效的基本三段論，其中8 個(gè)是UUU 型的，8 個(gè)是UPP 型的，8 個(gè)是PUP 型的。例如，傳統(tǒng)邏輯中著名的全稱三段論Barbara只是U10∧U10→U10 的一個(gè)特例，特稱三段論Ferio和Bocardo分別是P00∧U11→P01 和P01∧U01→P01的特例。

根據(jù)邏輯涵義的特征確定的這24 類基本的有效三段論，與傳統(tǒng)教科書中的24 個(gè)有效三段論有著根本的不同。前者是根據(jù)邏輯涵義的特征確定的，而任何邏輯涵義確定的命題如U10，在傳統(tǒng)教科書的意義上都有以下8 種邏輯等值的不同的命題形式7這8 種命題間的等價(jià)性很容易由傳統(tǒng)邏輯或現(xiàn)代邏輯得到證明。：

因此這24 類基本的有效三段論中任何一類都可以有8×8×8=512 種形式上不同的三段論，在教科書的意義上，這24 類基本的有效三段論實(shí)際上對(duì)應(yīng)著24×512=12288 種形式上不同的有效三段論。除了基本的有效三段論，還剩下可以被分為弱化和非弱化的UUP 型的三段論。

首先考慮弱化的UUP 型三段論。在傳統(tǒng)邏輯中任何全稱命題都可以推出兩個(gè)特稱命題（如SAP→SIP∧PIS），這兩個(gè)特稱命題與全稱命題有共同的詞項(xiàng)，并且有一個(gè)詞項(xiàng)的周延值發(fā)生了改變。因此，周延值不同的四種全稱命題中每個(gè)都有兩種滿足條件的變化情況：

威廉姆森指出，傳統(tǒng)邏輯中所謂的弱化三段論之所以是弱的，是因?yàn)檫@些三段論本可以得出一個(gè)更強(qiáng)的全稱命題，卻將由該全稱命題推出的特稱命題作為了結(jié)論。因此在前文已經(jīng)得出共有8 種UUU 型三段論的情況下，只需要將UUU型三段論的全稱結(jié)論以相應(yīng)的特稱命題替換即可得到弱化的三段論，因此共存在8×2=16 種弱化三段論。例如U11∧U01→P10 和U11∧U01→P01 都是U11∧U01→U11 的弱化版本。

最后考慮非弱化的UUP 型三段論（如Darapti、Felapton、Fesapo），這類三段論有效的規(guī)則為所有詞項(xiàng)都是單值的。例如Darapti（Aba∧Abc→Iac：a=0，b=1，c=0），符合該條件的三段論僅有以下八種：

綜上所述，根據(jù)威廉姆森的周延值理論可以得到8×3+8×2+8=48 類不同邏輯涵義的三段論，又因?yàn)槊款惾握摱加?12 種不同的形式，因此共有48×512=24576 種形式不同的有效三段論。

威廉姆森的周延值理論基于對(duì)命題的量和詞項(xiàng)的量的分析，計(jì)算出了所有48類不同邏輯涵義的三段論。但威廉姆森的分析方法過于抽象，無法直觀地體現(xiàn)出與命題的內(nèi)容相關(guān)的詞項(xiàng)因素，這使得其計(jì)算出48 類不同邏輯涵義的三段論的過程既不直觀也不完整。考慮到詞項(xiàng)的周延性在現(xiàn)代邏輯中可以由詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)定義，因此，結(jié)合經(jīng)典量詞理論對(duì)周延理論的刻畫，可以用詞項(xiàng)的正負(fù)出現(xiàn)直接表示詞項(xiàng)的量，進(jìn)而將詞項(xiàng)與詞項(xiàng)的量同時(shí)用符號(hào)表示出來。例如邏輯涵義特征為U00 的命題?x(?A(x)→B(x))可以轉(zhuǎn)化為“→”不出現(xiàn)的命題?x(Ax ∨Bx)，并進(jìn)一步直接表示為Uab，其中U 代表命題的量，a 和b 分別代表詞項(xiàng)變?cè)狝 和B，a 和b 的正出現(xiàn)直接對(duì)應(yīng)著a 和b 不周延的量。在這種表示方法中，a 和b 的順序并不影響命題的涵義，即Uab 和Uba 沒有任何區(qū)別。因此威廉姆森所描述的八種不同邏輯涵義的命題可以表示為：

阿爾瓦雷斯（[1]）利用這種表示方法，并結(jié)合阿爾瓦雷斯與科雷亞所提出的公理集得到了所有有效三段論。遵循阿爾瓦雷斯的方式，也可以將威廉姆森得出48 類不同邏輯涵義的三段論的完整過程具體地展示出來。設(shè)三段論的中項(xiàng)、小項(xiàng)和大項(xiàng)分別為m、s 和p，小項(xiàng)所在的前提為小前提，大項(xiàng)所在的前提為大前提。

首先分析現(xiàn)代邏輯視角下嚴(yán)格有效的三段論。如果大前提命題的量為U，那么大前提可以為Ump、。當(dāng)大前提為Ump 時(shí)，由于其中m 不周延，所以根據(jù)聯(lián)合公理在小前提中m 必須周延，因此小前提可以是以下四種m負(fù)出現(xiàn)在其中的命題

最后考慮涉及存在預(yù)設(shè)問題即非嚴(yán)格有效的三段論，這類三段論即為威廉姆森所謂的UUP 型三段論，兩個(gè)前提的量都是U 并且由于存在預(yù)設(shè)問題與特稱公理使得結(jié)論的量只能為P。所以大前提只能為Ump、當(dāng)大前提為Ump 時(shí)，若m 有存在預(yù)設(shè)問題，則意味著m 在小前提中的正負(fù)性與大前提中的正負(fù)性保持一致，因此小前提可以為Ums、Ums：

1.小前提為Ums 時(shí)，根據(jù)聯(lián)合公理，結(jié)論中詞項(xiàng)的量應(yīng)該與前提中保持一致，因此Ump 和Ums 的結(jié)論為Psp。

若s 有存在預(yù)設(shè)問題，則m 沒有存在預(yù)設(shè)問題，即m 在小前提中的正負(fù)性與大前提中的正負(fù)性相反，因此小前提可以為

若p 有存在預(yù)設(shè)問題，則m 沒有存在預(yù)設(shè)問題，即m 在小前提中的正負(fù)性與大前提中的正負(fù)性相反，因此小前提可以為

總之，利用同時(shí)體現(xiàn)詞項(xiàng)與詞項(xiàng)的量與命題的量的表示方法，根據(jù)阿爾瓦雷斯與科雷亞所提出的公理集，可以得到計(jì)算出24 ＋24=48 類有效三段論的具體過程。在威廉姆森的觀點(diǎn)下，表達(dá)任何一種邏輯涵義的命題都可以由8 個(gè)不同的形式表示，這使得每類三段論都可以有8×8×8=512 個(gè)不同的形式，因此共有512×48=24576 個(gè)不同形式的有效三段論；而阿爾瓦雷斯與科雷亞沒有像威廉姆森一樣引入命題的否定算子，因此表達(dá)任何一種邏輯涵義的命題都僅有4個(gè)不同的邏輯形式，這使得每類三段論只有4×4×4=64 個(gè)不同的形式，因此共有64×48=3072 個(gè)不同形式的有效三段論。但不論是什么樣的觀點(diǎn)，當(dāng)三段論接納負(fù)詞項(xiàng)后，都存在邏輯涵義不同的48 類有效三段論，每一類有效三段論都存在多個(gè)不同的邏輯形式，這使得傳統(tǒng)理論中的Darii和Datisi都只是以不同形式重復(fù)出現(xiàn)的的特例。根據(jù)同時(shí)體現(xiàn)詞項(xiàng)與詞項(xiàng)的量與命題的量的表示方法，上述48 類有效三段論如下：

5 結(jié)語(yǔ)

在保證詞項(xiàng)邏輯中負(fù)詞項(xiàng)合法地位的前提下，對(duì)周延理論進(jìn)行怎樣的修改才能使詞項(xiàng)邏輯恢復(fù)一致并判定出全部有效三段論，是詞項(xiàng)邏輯面臨的有待解決且必須解決的難題。全面預(yù)設(shè)詞項(xiàng)邏輯中的詞項(xiàng)為非空詞項(xiàng)的解決方案，不僅會(huì)在語(yǔ)義方面限制詞項(xiàng)邏輯，而且無法徹底消解周延理論中存在的不一致性。周延理論難題在現(xiàn)代存在兩類可行的解決方案：要么在保留周延性概念的內(nèi)涵的情況下修改傳統(tǒng)邏輯對(duì)命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定，要么刪除或修改周延性概念的內(nèi)涵以保留命題中詞項(xiàng)周延性的四條規(guī)定。第一種方案使得命題中詞項(xiàng)的周延性得到了更加精細(xì)的劃分，但這也導(dǎo)致這種較為復(fù)雜的周延性規(guī)定難以與現(xiàn)代邏輯中的研究成果相結(jié)合。相比之下，第二種方案得到了大量現(xiàn)代邏輯學(xué)家的支持，因?yàn)槠洳粌H可以與經(jīng)典量詞理論和廣義量詞理論等現(xiàn)代邏輯的研究成果相結(jié)合，而且可以為接納負(fù)詞項(xiàng)的詞項(xiàng)邏輯推理的有效性提供一種簡(jiǎn)單的判定技術(shù)，并由此確定出512×48=24576 或64×48=3072 種形式不同的有效三段論，甚至將其與形式化的Dictum de Omni結(jié)合，還可以用于構(gòu)造現(xiàn)代詞項(xiàng)邏輯的形式系統(tǒng)。這種方案體現(xiàn)著詞項(xiàng)邏輯中周延理論最前沿的發(fā)展趨勢(shì)。詞項(xiàng)邏輯是一種由亞里士多德以及后來眾多學(xué)者經(jīng)過兩千多年發(fā)展起來的邏輯理論，結(jié)合現(xiàn)代邏輯完善周延理論，不僅對(duì)邏輯學(xué)科有重要的意義，而且有利于在現(xiàn)實(shí)中充分發(fā)揮詞項(xiàng)邏輯在培養(yǎng)一般大眾和邏輯初學(xué)者邏輯思維的過程中發(fā)揮的基礎(chǔ)性作用。