郝壯壯 張慶春 胡云波 郭宜斌 王東華 李玩幽
摘要:以含變位的漸開線直齒輪副為研究對(duì)象,基于能量法建立了包含非線性赫茲接觸剛度、真實(shí)的齒廓型線和基體剛度耦合效應(yīng)的齒輪嚙合剛度計(jì)算模型??紤]齒輪變位的影響,修正了嚙合剛度計(jì)算中齒廓型線、基圓半角和齒根圓半角的計(jì)算公式;修正了考慮齒面摩擦?xí)r的基體耦合剛度模型;推導(dǎo)了考慮幾何偏心的齒輪嚙合點(diǎn)壓力角模型。研究了變位、齒面摩擦和幾何偏心對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律。結(jié)果表明,變位齒輪副的中心距、嚙合剛度幅值、重合度都有著較大變化;由于變位,一對(duì)相互嚙合的齒輪齒面摩擦力方向改變的時(shí)刻不再是發(fā)生在單齒嚙合區(qū)間,進(jìn)而影響齒輪嚙合剛度特征;幾何偏心會(huì)使嚙合剛度峰-峰值增大,同時(shí)嚙合剛度頻域中出現(xiàn)以轉(zhuǎn)頻為間隔的邊頻,當(dāng)主從動(dòng)輪都存在偏心時(shí)會(huì)出現(xiàn)以轉(zhuǎn)頻之差為間隔的邊頻;綜合考慮三種因素作用,可顯著影響齒輪嚙合剛度特性。研究結(jié)果為進(jìn)一步研究變位齒輪動(dòng)力學(xué)提供了參考。
關(guān)鍵詞:變位齒輪副;嚙合剛度;齒面摩擦;幾何偏心誤差
中圖分類號(hào):TH132.4
DOI:10.3969/j.issn.1004-132X.2023.23.005
開放科學(xué)(資源服務(wù))標(biāo)識(shí)碼(OSID):
Research on Influences of Tooth Friction and Geometric Eccentricity Errors
on Mesh Stiffness of Profile Shifted Spur Gear Pairs
HAO Zhuangzhuang1ZHANG Qingchun1HU Yunbo2GUO Yibin1WANG Donghua1
LI Wanyou1
1.College of Power and Energy Engineering,Harbin Engineering University,Harbin,150000
2.Marine Design & Research Institute of China,Shanghai,200011
Abstract:Taking the involute spur gear pairs with profile shift as the research object,the mesh stiffness calculation models including nonlinear Hertzian contact stiffness,tooth profile curve,fillet foundation stiffness with structure coupling effect were established based on the potential energy method. Considering the influences of gear profile shifts,the calculation formulas for tooth profile curve,half tooth angle of base circle and half tooth angle of dedendum circle in mesh stiffness calculation were revised. The fillet foundation stiffness models were revised by considering tooth surface frictions. The pressure angle models of gear mesh point were derived by considering geometric eccentricity errors. The effects of profile shifted,tooth surface frictions and geometric eccentricity errors on mesh stiffness were studied. The results show that the center distance,stiffness amplitude and contact ratio of the profile shifted gear pairs have great changes. Owing to the profile shift,the moment when the direction of frictional force changes on a pair of meshing gears no longer occurs within the single tooth meshing interval,thereby affecting the characteristics of the mesh stiffness. Geometric eccentricity increases the peak-to-peak values of the mesh stiffness,and at the same time,sideband frequencies with intervals corresponding to the rotational frequencies appear in the frequency domain of the meshing stiffness. In the presence of eccentricity errors in both the driving and driven gears,a new sideband frequency arises with an interval equal to the difference in rotation frequency. Considering the combined effects of three factors,the mesh stiffness characteristics may be significantly influenced. The research results provide the references for further researches of the dynamics of profile shifted gears.
Key words:profile shifted gear pair; mesh stiffness; tooth surface friction; geometric eccentricity error
收稿日期:2023-04-18
0 引言
齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用范圍極為廣泛,齒輪嚙合剛度是研究齒輪動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要激勵(lì)參數(shù),齒輪又因單雙齒嚙合而產(chǎn)生時(shí)變嚙合剛度(time-varying mesh stiffness,TVMS),目前針對(duì)齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法有實(shí)驗(yàn)法、有限元法和能量法等。無論是實(shí)驗(yàn)法還是有限元法,都會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間,而基于材料力學(xué)和齒輪幾何原理的能量法則具有效率高的特點(diǎn),因此能量法一直是學(xué)者研究的熱點(diǎn)方向。YANG等[1]提出了計(jì)算嚙合剛度的勢能法,主要考慮彎曲剛度、軸向壓縮剛度和赫茲接觸剛度。TIAN[2]指出嚙合剛度應(yīng)考慮剪切能,并在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上提出了剪切剛度計(jì)算模型。CORNELL[3]基于赫茲理論提出適用于齒輪嚙合的非線性赫茲接觸剛度公式。SAINSOT等[4]基于Muskhelishvili理論,通過假設(shè)齒根圓處的線性和恒定應(yīng)力變化,提出了應(yīng)用于圓形彈性環(huán)的齒形撓度解析公式。WANG[5]利用有限元計(jì)算齒輪嚙合剛度時(shí)發(fā)現(xiàn),簡單地利用并聯(lián)方式計(jì)算雙齒嚙合剛度會(huì)使得計(jì)算結(jié)果比真實(shí)嚙合剛度大,這是因?yàn)檫@種方式忽略了相鄰齒的耦合效應(yīng)。XIE等[6]在文獻(xiàn)[4]的理論基礎(chǔ)上,考慮相鄰齒的耦合效應(yīng),提出了雙齒嚙合區(qū)間齒輪基體誘導(dǎo)變形的解析公式,解決了通過能量法計(jì)算雙齒嚙合區(qū)嚙合剛度偏大的問題。考慮到文獻(xiàn)[1-2]在計(jì)算彎曲剛度、軸向壓縮剛度和剪切剛度時(shí)基于的是基圓半徑,忽略了真實(shí)齒廓齒根過渡部分,MA等[7]對(duì)能量法計(jì)算嚙合剛度作了進(jìn)一步的改進(jìn),避開齒數(shù)的判斷,使能量法計(jì)算模型更加完善。
上述推導(dǎo)都是在齒面僅僅存在沿嚙合線方向嚙合力的條件下進(jìn)行的,然而齒輪嚙合時(shí)沿垂直嚙合線方向也存在摩擦力,它同樣會(huì)影響剛度計(jì)算公式。SAXENA等[8-9]研究了軸不對(duì)中和齒面摩擦對(duì)直齒輪副有效嚙合剛度的影響,推導(dǎo)了考慮齒面摩擦的彎曲剛度、軸向壓縮剛度和剪切剛度公式。LI等[10]研究了齒面時(shí)變摩擦因數(shù)和油膜剛度對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律,計(jì)算結(jié)果顯示高速和輕載情況下它們對(duì)嚙合剛度影響更為明顯。MA等[11]同時(shí)考慮齒根過渡曲線和漸開線齒廓、非線性赫茲接觸剛度,研究了齒面摩擦和齒頂修型對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律。張濤等[12]研究了時(shí)變摩擦因數(shù)下輪齒模數(shù)、齒寬、壓力角、粗糙度等參數(shù)對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律。
上述建立的嚙合剛度公式是針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒廓的。變位齒輪在齒輪傳動(dòng)有著廣泛應(yīng)用,考慮齒輪變位時(shí),相較于標(biāo)準(zhǔn)齒廓,正變位會(huì)使齒廓變厚,負(fù)變位會(huì)使齒廓變薄,這同樣會(huì)影響齒輪的嚙合剛度。MA等[13-14]分析了齒廓修形對(duì)外嚙合變位齒輪副時(shí)變嚙合剛度的影響,基于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型對(duì)含齒根裂紋的外嚙合變位齒輪副的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究。CHEN等[15]修正了內(nèi)嚙合齒輪副考慮變位時(shí)的齒輪結(jié)構(gòu)計(jì)算公式,結(jié)合能量法研究變位系數(shù)對(duì)內(nèi)嚙合直齒輪副的時(shí)變嚙合剛度的影響。
考慮齒輪安裝時(shí),幾何偏心誤差也是影響時(shí)變嚙合剛度的一個(gè)因素。LUO等[16]基于能量法研究具有確定時(shí)變中心距和齒輪局部輪齒故障對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律。薛震[17]研究了具有偏心誤差的兩級(jí)直齒輪系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律。CAO等[18]考慮了由齒輪偏心引起的時(shí)變中心距、壓力角、重合度和嚙合位置的變化,研究了齒輪偏心對(duì)行星齒輪動(dòng)態(tài)性能的影響。ZHAO等[19]研究了偏心誤差對(duì)斜齒輪嚙合剛度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。EL YOUSFI等[20]研究了含偏心誤差的電機(jī)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特點(diǎn)。
上述文獻(xiàn)無論是齒面摩擦還是幾何偏心都是針對(duì)無變位齒輪嚙合剛度的影響研究,而考慮變位齒輪時(shí)這兩個(gè)因素對(duì)嚙合剛度的影響研究還不多見,且少有文獻(xiàn)給出這兩個(gè)因素共同影響下的齒輪嚙合剛度計(jì)算模型。本文綜合考慮影響齒輪嚙合剛度的齒廓型線、基體剛度的耦合效應(yīng)、齒面摩擦、輪齒變位和幾何偏心等因素,修正了齒面摩擦對(duì)基體剛度的影響和齒輪變位對(duì)齒輪齒廓的影響,推導(dǎo)了考慮幾何偏心的壓力角計(jì)算公式,建立了可同時(shí)考慮多種因素的齒輪嚙合剛度計(jì)算模型,研究分析不同因素單獨(dú)變化和綜合作用對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律。本文的研究成果可以應(yīng)用到齒輪動(dòng)力學(xué)的參數(shù)計(jì)算中,進(jìn)而得到更加精確的傳動(dòng)軸系動(dòng)力學(xué)模型。
1 考慮齒面摩擦的嚙合剛度計(jì)算模型
1.1 單齒剛度
采用能量法計(jì)算齒輪時(shí)變嚙合剛度時(shí),其中儲(chǔ)存在單齒中的勢能包括赫茲能、彎曲勢能、徑向壓縮勢能和剪切勢能4個(gè)部分,分別用于計(jì)算赫茲剛度、彎曲剛度、徑向壓縮剛度和剪切剛度。
非線性赫茲接觸剛度kH計(jì)算公式如下:
式中,B為齒寬;Fm為嚙合點(diǎn)處嚙合力;E1、E2為兩個(gè)接觸齒輪的彈性模量。
考慮齒面摩擦力時(shí),齒面摩擦力的方向在齒輪節(jié)點(diǎn)發(fā)生改變[12,21],對(duì)于主動(dòng)輪,以節(jié)點(diǎn)為分界分別指向齒根和齒頂。在嚙合點(diǎn)處分別有沿嚙合線的嚙合力F和垂直于嚙合線的摩擦力μF,如圖1所示。為便于利用能量法計(jì)算嚙合剛度,將上述兩個(gè)力分解為徑向力Fr和切向力Ft,其中主動(dòng)輪受力表達(dá)式為
其中,β、θp分別對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)和齒輪副節(jié)點(diǎn)處的嚙合力與x軸夾角,同時(shí)考慮展成法加工的真實(shí)齒廓曲線和齒根過渡曲線,彎曲剛度kb需要修正為[11]
徑向壓縮剛度ka修正為
剪切剛度ks修正為
式中,各參數(shù)含義詳見文獻(xiàn)[7];符號(hào)<>、±、代表當(dāng)全取上邊或下邊時(shí)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的兩種情況。
需要說明的是,上述考慮摩擦的剛度修正公式是關(guān)于主動(dòng)輪輪齒的,從動(dòng)輪由于摩擦力方向與主動(dòng)輪相反,所以上式中摩擦因數(shù)前的正負(fù)號(hào)需要相應(yīng)相反。
研究發(fā)現(xiàn),齒輪基體的形變也會(huì)對(duì)齒輪嚙合剛度產(chǎn)生影響。SAINSOT等[4]基于彈性力學(xué)方法提出了用于計(jì)算齒輪基體嚙合剛度的解析公式。MA等[11]在雙齒嚙合區(qū)引入了齒輪基體剛度修正因子以解決多齒嚙合能量法計(jì)算嚙合剛度時(shí)值偏大的問題。XIE等[6]又進(jìn)一步考慮了相鄰齒之間的結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng),提出了新的基體剛度解析計(jì)算模型。然而上述文獻(xiàn)中均未考慮齒面摩擦力對(duì)切向力的影響,進(jìn)而忽略了摩擦力對(duì)基體剛度的影響?;诖?,考慮齒面摩擦力的基體剛度修正為
齒輪基體耦合效應(yīng)剛度修正為
式中,1/kf21為1號(hào)齒輪承載時(shí),2號(hào)齒的齒輪基體耦合誘導(dǎo)變形產(chǎn)生的剛度;1/kf12為2號(hào)齒輪承載時(shí),1號(hào)齒的齒輪基體耦合誘導(dǎo)變形產(chǎn)生的剛度;其他參數(shù)的含義和具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[6]。
加工齒輪時(shí),當(dāng)?shù)毒咭七h(yuǎn)或移近被加工齒輪中心時(shí),若采用齒條刀具加工,此時(shí)被加工齒輪的分度圓不再和刀具中線相切,這樣被加工出的齒輪為變位齒輪。
變位齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒輪相比,模數(shù)、壓力角、分度圓和基圓不變,齒根圓、齒頂圓和齒厚發(fā)生改變。根據(jù)變位齒輪幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn),單齒剛度計(jì)算解析式中一些參數(shù)需要根據(jù)變位系數(shù)進(jìn)行修正。刀頂圓角圓心到中線的距離修正為
式中,rρ為刀頂圓角半徑;x為變位系數(shù);m為模數(shù);α0為分度圓壓力角;h*a為齒頂高系數(shù),h*a=1;c*為頂隙系數(shù),c*=0.25。
齒條型刀具加工生成漸開線的起始點(diǎn)圓半徑修正為
式中,rb為齒輪基圓半徑。
齒輪基圓角半角修正為
齒根圓半角修正為
式中,Z為齒輪齒數(shù);r-c=rc/m,rc為齒條的齒根圓角半徑,其值為0.38m。
1.2 齒輪副嚙合剛度
齒輪副嚙合剛度隨著嚙合位置的變化而變化,即嚙合剛度為嚙合點(diǎn)壓力角的函數(shù)。漸開線直齒輪副的重合度大于1,本文分析重合度介于1、2之間的齒輪副嚙合剛度,根據(jù)齒輪嚙合時(shí)單雙齒交替,可以將齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算分為單齒區(qū)間和雙齒區(qū)間。
當(dāng)考慮一對(duì)齒輪時(shí),嚙合剛度為齒體剛度、基體剛度、赫茲接觸剛度的串聯(lián)結(jié)果,設(shè)一對(duì)齒輪剛度為
其中,下標(biāo)p、g分別表示主動(dòng)輪(pinion)和從動(dòng)輪(gear)。單齒區(qū)間時(shí),齒輪副嚙合剛度km=kt。雙齒區(qū)間時(shí),考慮上述式(7)、式(8)所描述的相鄰齒間的耦合效應(yīng),此時(shí)齒輪副嚙合剛度為
其中,F(xiàn)1、F2分別為雙齒嚙合時(shí)第一對(duì)齒輪和第二對(duì)齒輪的嚙合力;下標(biāo)1、2分別表示第一、第二對(duì)齒輪。變位齒輪根據(jù)總變位系數(shù)不同分為兩種:一種是高變位齒輪副(名義中心距等于標(biāo)準(zhǔn)中心距),兩齒輪的變位系數(shù)之和等于零;另一種是角變位齒輪副(名義中心距不等于標(biāo)準(zhǔn)中心距),兩齒輪的變位系數(shù)之和不等于零。
由于齒輪變位的影響,相比于無變位的齒輪,齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù),如齒高變位系數(shù)、變位齒輪副嚙合角、中心距變動(dòng)系數(shù)、齒輪變位安裝中心距、齒頂圓直徑和齒根圓直徑等計(jì)算公式需要修正[22]。
綜上所述,結(jié)合式(10)~式(13),將變位系數(shù)從-0.6到0.6取7等分,齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)取表1中主動(dòng)輪的參數(shù)值,得到的齒廓、齒厚一半變化圖2所示。
2 齒輪嚙合壓力角計(jì)算模型
2.1 單、雙齒嚙合動(dòng)態(tài)邊界條件
針對(duì)一對(duì)齒輪副,理想狀態(tài)下齒輪嚙合位置如圖3所示,主動(dòng)輪上一個(gè)輪齒從d點(diǎn)嚙入,經(jīng)過雙齒區(qū)間dc、單齒區(qū)間cb、雙齒區(qū)間ba,在a點(diǎn)脫離嚙合。其中d、a兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)從動(dòng)輪和主動(dòng)輪的齒頂圓,當(dāng)主齒輪的一個(gè)輪齒在d點(diǎn)進(jìn)入嚙合時(shí),主動(dòng)輪的前一個(gè)輪齒從單齒嚙合區(qū)b點(diǎn)進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)a點(diǎn)。根據(jù)幾何關(guān)系,有[23]
根據(jù)主動(dòng)輪嚙合點(diǎn)壓力角和中心距,可得此時(shí)從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)壓力角滿足關(guān)系式[23]:
式中,L(t)為瞬時(shí)中心距;α(t)為瞬時(shí)嚙合角,隨著瞬時(shí)中心距而變化。
任意時(shí)刻嚙合點(diǎn)壓力角可以根據(jù)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角和上一時(shí)刻嚙合點(diǎn)壓力角確定:
式中,w(T)為主動(dòng)輪角速度。
通過式(22)可以看出,齒輪轉(zhuǎn)過的角度和齒輪嚙合點(diǎn)壓力角并不是線性關(guān)系。嚙合點(diǎn)壓力角與嚙合力方向和切向夾角θb的幾何關(guān)系滿足:
β=tan(αp(t))-θb
2.2 考慮幾何偏心誤差的壓力角計(jì)算模型
當(dāng)齒輪的幾何中心和旋轉(zhuǎn)中心一致時(shí),此時(shí)沒有幾何偏心誤差,齒輪副嚙合點(diǎn)壓力角變化規(guī)律由式(20)決定,式中的嚙合角和中心距都是定值。
當(dāng)齒輪的幾何中心和旋轉(zhuǎn)中心存在偏差時(shí),即存在幾何偏心時(shí),此時(shí)的幾何中心既存在自轉(zhuǎn)又存在公轉(zhuǎn),由于齒輪副嚙合點(diǎn)壓力角是依據(jù)嚙合點(diǎn)和齒輪幾何中心計(jì)算的,故考慮幾何中心自轉(zhuǎn)時(shí),嚙合點(diǎn)壓力角和齒輪旋轉(zhuǎn)由式(22)決定,考慮幾何中心公轉(zhuǎn)時(shí),中心距會(huì)隨著齒輪旋轉(zhuǎn)而變化[19],同時(shí)嚙合角也會(huì)瞬時(shí)變化,自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)共同影響下,齒輪副嚙合點(diǎn)壓力角變化規(guī)律由式(20)~式(22)以及中心距隨齒輪旋轉(zhuǎn)變化公式?jīng)Q定。中心距隨齒輪旋轉(zhuǎn)變化公式如下:
式中,aw為初始時(shí)刻中心距,即一對(duì)齒輪參數(shù)下的安裝中心距;wp、wg分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)角速度;e1、e2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的偏心量;θp、θg分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的初始偏心角,初始偏心角定義為幾何中心和旋轉(zhuǎn)中心與水平線的夾角,本文取零。
綜上所述,考慮幾何偏心和齒面摩擦?xí)r變位齒輪副時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算流程如圖4所示。
2.3 時(shí)變嚙合剛度模型驗(yàn)證
根據(jù)本文建立的齒輪時(shí)變嚙合剛度模型,采用文獻(xiàn)[6]中的pair2齒輪參數(shù),見表2,當(dāng)齒輪內(nèi)孔半徑分別為15 mm、25 mm、35 mm時(shí),將時(shí)變嚙合剛度結(jié)果與文獻(xiàn)基于有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖5所示。
由圖5可看出,本文方法與文獻(xiàn)[6]獲得的三種內(nèi)孔半徑下的有限元?jiǎng)偠惹€十分接近,最大誤差為6.41%,這初步說明了本文所提方法的準(zhǔn)確性。
3 變位參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響
為了綜合研究不同變位系數(shù)對(duì)齒輪副嚙合剛度的影響規(guī)律,選取主動(dòng)輪變位、從動(dòng)輪變位和主從動(dòng)輪同時(shí)變位的情況來研究角變位齒輪副和高變位齒輪副的時(shí)變嚙合剛度特征。仿真計(jì)算所需的齒輪副主要參數(shù)如表1所示。
在計(jì)算不同變位系數(shù)的齒輪副嚙合剛度時(shí),齒輪嚙合剛度計(jì)算起點(diǎn)為單齒嚙合區(qū)間起點(diǎn)(圖3中c點(diǎn)),即c點(diǎn)對(duì)應(yīng)齒輪轉(zhuǎn)角為0的時(shí)刻,等時(shí)間間隔采樣,每個(gè)嚙合周期計(jì)算20個(gè)點(diǎn)。
3.1 角變位齒輪副嚙合剛度變化規(guī)律
針對(duì)角變位齒輪副,分別對(duì)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪輪齒取不同變位系數(shù),具體變位情況和參數(shù)見表3、表4。表中,X1對(duì)應(yīng)主動(dòng)輪的變位系數(shù),X2對(duì)應(yīng)從動(dòng)輪的變位系數(shù)。
由表3可知,當(dāng)主動(dòng)輪變位從-1到+1時(shí),齒輪的中心距不斷增大,從128.3 mm增大到132.3 mm,相應(yīng)的齒輪副重合度從1.92減小到1.57。
根據(jù)表3變位系數(shù)計(jì)算的嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)角的變化和相應(yīng)主要諧次幅值的變化如圖6、圖7所示。由圖6可以看出,當(dāng)主動(dòng)輪變位從-1到+1時(shí),齒輪副在單齒區(qū)間和雙齒區(qū)間的嚙合剛度不斷增大,同時(shí)雙齒區(qū)間所占整個(gè)嚙合區(qū)間的比例下降,這是由于變位系數(shù)改變了齒厚和中心距,進(jìn)而影響齒輪嚙合剛度和重合度。在圖7中,時(shí)變嚙合剛度的1諧次幅值隨著變位系數(shù)增大而增大,從X1=-1處的1.47×107N/m增大到X1=1處的5.98×107N/m,2諧次呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢,即主動(dòng)輪變位使得2諧次剛度減小。
當(dāng)僅考慮從動(dòng)輪變位時(shí),具體齒輪變位參數(shù)如表4所示,此時(shí)齒輪副中心距和表3主動(dòng)輪變位的齒輪副中心距一致,均為從128.3 mm到132.3 mm,不同的是,此時(shí)的重合度都低于主動(dòng)輪變位的重合度??傮w來看,小齒輪(主動(dòng)輪)和大齒輪(從動(dòng)輪)有相同的變位系數(shù)時(shí),兩種情況對(duì)中心距的影響是相同的,小齒輪變位后的齒輪副重合度更高。
根據(jù)表4變位系數(shù)計(jì)算的嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)角的變化和相應(yīng)主要諧次幅值的變化如圖8、圖9所示。當(dāng)從動(dòng)輪變位從-1到+1時(shí),齒輪嚙合剛度有著和主動(dòng)輪變位一樣的規(guī)律,即正變位帶來更大的嚙合剛度和更小的重合度,原因同樣為齒輪變位影響了齒厚和中心距,同時(shí)1諧次剛度隨變位系數(shù)增大而增大,從X2=-1處的2.40×107N/m增大到X2=1處的5.69×107N/m,2諧次呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢,即從動(dòng)輪變位使得2諧次剛度減小。
3.2 高變位齒輪副嚙合剛度變化規(guī)律
針對(duì)高變位齒輪副,采用表5中變位系數(shù)情況進(jìn)行仿真計(jì)算。由表5可知,高變位齒輪副的中心距不變,主動(dòng)輪(小齒輪)采用正變位時(shí)的重合度高于從動(dòng)輪(大齒輪)采用正變位時(shí)的重合度(對(duì)比A3-F3、B3-E3、C3-D3)。
根據(jù)表5變位系數(shù)計(jì)算的嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)角的變化和相應(yīng)主要諧次幅值的變化如圖10、圖11所示。由圖10可知,主從動(dòng)輪變位系數(shù)數(shù)值相同時(shí),齒輪嚙合剛度幅值近似一致;當(dāng)采用數(shù)值大的變位系數(shù)時(shí)(情況數(shù)A3、F3),在雙齒嚙合區(qū)和單齒嚙合區(qū)的齒輪副嚙合剛度都小于采用數(shù)值小的變位系數(shù)(情況數(shù)C3、D3),采用數(shù)值大的變位系數(shù)情況的2、3諧次剛度幅值小于采用數(shù)值小的變位系數(shù)的情況,然而由圖11可知,采用數(shù)值大的變位系數(shù)情況的1諧次剛度幅值大于采用數(shù)值小的變位系數(shù)的情況。
4 齒面摩擦和幾何偏心對(duì)嚙合剛度的影響
4.1 考慮齒面摩擦的變位齒輪嚙合剛度變化規(guī)律
取摩擦因數(shù)為0.1,計(jì)算表4中變位系數(shù)的情況,嚙合剛度隨轉(zhuǎn)角的變化如圖12所示,考慮摩擦和不考慮摩擦的主要諧次剛度幅值如圖13所示,圖中實(shí)線為考慮摩擦的時(shí)變嚙合剛度,虛線為不考慮摩擦的情況。
對(duì)于單對(duì)齒輪嚙合,由于齒面摩擦的影響,嚙合剛度從主動(dòng)輪齒根到節(jié)點(diǎn)前增大,從節(jié)點(diǎn)到齒頂減小。在圖13中,考慮齒輪摩擦?xí)r,當(dāng)變位系數(shù)X2大于0時(shí),1~4諧次的剛度幅值小于未考慮摩擦的情況,X2小于0時(shí),1~4諧次的剛度幅值大于未考慮摩擦的情況,這是因?yàn)樨?fù)變位時(shí)齒面摩擦方向改變的點(diǎn)在雙齒嚙合區(qū)靠近主動(dòng)輪齒頂?shù)奈恢茫麄€(gè)嚙合周期中,主動(dòng)輪更多地處在嚙入階段,齒面摩擦更多地使嚙合剛度增大。
相比于不考慮齒面摩擦,由于摩擦力方向會(huì)在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生改變,相應(yīng)的嚙合剛度在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生變化,通過圖12的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),由于齒輪變位的影響,由齒面摩擦帶來的剛度變化位置從雙齒嚙合區(qū)變化到單齒嚙合區(qū)。為進(jìn)一步研究這一現(xiàn)象,計(jì)算表3~表5中變位情況下嚙合角和嚙合區(qū)間主動(dòng)輪壓力角的關(guān)系,結(jié)果如圖14~圖16所示。嚙合角也即齒輪在節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)的壓力角。
主動(dòng)輪變位時(shí)嚙合角和嚙合區(qū)間的關(guān)系如圖14所示,采用表3所示的變位情況計(jì)算得到,當(dāng)主動(dòng)輪的變位系數(shù)從-1變化到+1時(shí),嚙合角經(jīng)歷了雙齒區(qū)間-單齒區(qū)間-雙齒區(qū)間的變化,且嚙合角相對(duì)嚙合區(qū)間逐漸向主動(dòng)輪齒根靠近,同時(shí)通過圖中雙齒區(qū)間所占比例也驗(yàn)證了3.1節(jié)的關(guān)于重合度的結(jié)論。圖15、圖16也有著類似的現(xiàn)象,從動(dòng)輪變位時(shí)嚙合角和嚙合區(qū)間的關(guān)系如圖15所示,采用表4所示的變位情況計(jì)算得到,當(dāng)從動(dòng)輪的變位系數(shù)從-1變化到+1時(shí),嚙合角經(jīng)歷了雙齒區(qū)間-單齒區(qū)間-雙齒區(qū)間的變化,嚙合角相對(duì)嚙合區(qū)間逐漸向主動(dòng)輪齒頂靠近;高變位齒輪副嚙合角和嚙合區(qū)間的關(guān)系如圖16所示,采用表5所示的變位情況計(jì)算得到,當(dāng)主動(dòng)輪的變位系數(shù)從-1變化到+1時(shí),由于中心距不變,齒輪嚙合角數(shù)值不變,嚙合區(qū)間由于變位發(fā)生改變,嚙合角相對(duì)嚙合區(qū)間逐漸向主動(dòng)輪齒根靠近。
綜上,齒輪變位影響了齒輪嚙合角在嚙合區(qū)間的位置,嚙合角根據(jù)齒輪副變位系數(shù)的不同會(huì)處在不同的嚙合區(qū)間,又由于摩擦力方向會(huì)在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生改變,所以改變了齒面摩擦對(duì)含變位齒輪副的時(shí)變嚙合剛度特征。
通過對(duì)上述嚙合角和嚙合區(qū)間壓力角的對(duì)比發(fā)現(xiàn),相比于無變位的齒輪副(嚙合角位于單齒嚙合區(qū)間),變位齒輪副使得嚙合角處在雙齒區(qū)間。這又分為兩種情況,一種是處在主動(dòng)輪靠近齒頂,即圖14對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X1為-1、圖15對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X2為1、圖16對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X1為-1的情況;另一種是處在主動(dòng)輪靠近齒根,即圖14對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X1為1、圖15對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X2為-1、圖16對(duì)應(yīng)變位系數(shù)X1為1的情況。
分別選取變位情況A2、F2計(jì)算考慮和不考慮齒面摩擦的單齒嚙合剛度和時(shí)變嚙合剛度,其中摩擦因數(shù)為0.05、0.1,結(jié)果如圖17、圖18所示。這兩種變位情況分別代表嚙合角位置靠近主動(dòng)輪齒根和齒頂。
由圖17、圖18可知,由于齒面摩擦的影響,相比于無齒面摩擦,單齒嚙合剛度會(huì)先增大,在節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的壓力角處轉(zhuǎn)變?yōu)闇p小。在圖17中,隨著摩擦因數(shù)的增大,齒輪時(shí)變嚙合剛度會(huì)在雙齒嚙合區(qū)和單齒嚙合區(qū)減小增多,其原因?yàn)榇藭r(shí)齒面摩擦給單齒嚙合剛度帶來更大比例減小的影響。在圖18中,隨著摩擦因數(shù)的增大,齒輪時(shí)變嚙合剛度會(huì)在單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)增大,其原因?yàn)榇藭r(shí)齒面摩擦給單齒嚙合剛度帶來更大比例增大的影響。
4.2 考慮幾何偏心的齒輪嚙合剛度變化規(guī)律
首先不考慮齒輪變位,即X1=X2=0,分別計(jì)算無偏心、主動(dòng)輪存在0.1 mm偏心(e1=0.1 mm)、從動(dòng)輪存在0.1 mm偏心(e2=0.1 mm)、主從動(dòng)輪都存在0.1 mm偏心(e1=0.1 mm,e2=0.1 mm)情況下的時(shí)變嚙合剛度,結(jié)果如圖19所示。在圖19中,不同的偏心情況會(huì)使時(shí)變嚙合剛度呈現(xiàn)不同形式的周期波動(dòng),當(dāng)齒輪副嚙合存在幾何偏心時(shí),時(shí)變嚙合剛度幅值波動(dòng)增大,并且主從動(dòng)輪都存在偏心時(shí),時(shí)變嚙合剛度相比于無偏心時(shí)幅值波動(dòng)增大更多。
為進(jìn)一步探究當(dāng)齒輪存在變位時(shí)幾何偏心對(duì)時(shí)變嚙合剛度幅值波動(dòng)的影響規(guī)律,計(jì)算變位情況為A3~F3的齒輪副在含不同幾何偏心情況下的齒輪時(shí)變嚙合剛度,通過不同變位情況的時(shí)變嚙合剛度幅值峰-峰值來表征齒輪時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)劇烈程度,結(jié)果如圖20所示。
由圖20可知,無論是無變位還是存在變位,當(dāng)齒輪副嚙合存在偏心時(shí),時(shí)變嚙合剛度峰-峰值會(huì)增大,并且時(shí)變嚙合剛度峰-峰值隨著主從動(dòng)輪幾何偏心增大而增大。
對(duì)上述圖19得到的時(shí)變嚙合剛度時(shí)域曲線作傅里葉變換得到圖21、圖22。由圖21可知,當(dāng)齒輪分別存在主動(dòng)輪偏心e1、從動(dòng)輪偏心e2時(shí),嚙合頻率處幅值減小,頻域圖中出現(xiàn)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻,同時(shí)在嚙合頻率及其諧波兩側(cè)出現(xiàn)以對(duì)應(yīng)偏心齒輪轉(zhuǎn)頻為間隔的邊頻,這是因?yàn)槠恼`差的存在影響了齒輪中心距,進(jìn)而影響了齒輪嚙合點(diǎn)壓力角,從而改變了時(shí)變嚙合剛度的頻域特征。
由圖22可知,當(dāng)主從動(dòng)輪的偏心誤差同時(shí)存在時(shí),對(duì)應(yīng)的頻域圖中出現(xiàn)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻,同時(shí)在嚙合頻率及其諧波兩側(cè)出現(xiàn)了以兩齒輪轉(zhuǎn)頻為間隔的邊頻和以兩齒輪轉(zhuǎn)頻之差Δfpg為間隔的邊頻fm±Δfpg,這是因?yàn)橹鲝膭?dòng)輪的偏心共同影響了齒輪嚙合時(shí)的中心距,進(jìn)而改變了齒輪時(shí)變嚙合剛度的頻率特征。
4.3 綜合考慮多種因素的齒輪嚙合剛度變化規(guī)律
本節(jié)研究齒面摩擦、幾何偏心和齒輪變位因素對(duì)齒輪嚙合剛度的影響??紤]到主動(dòng)輪為小齒輪,采用正變位系數(shù)可以增大齒厚進(jìn)而提高抗彎強(qiáng)度,這種情況在工程應(yīng)用中更為常見,因此采用情況數(shù)F3所列的變位系數(shù)來計(jì)算綜合因素下的齒輪嚙合剛度變化特性。根據(jù)圖4所示的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算流程,計(jì)算得到此時(shí)變位系數(shù)下的時(shí)變嚙合剛度,其中齒面摩擦因數(shù)和偏心誤差幅值和前文一致,計(jì)算結(jié)果如圖23所示,為便于分析此時(shí)時(shí)變嚙合剛度特征產(chǎn)生的原因,將齒輪發(fā)生嚙合時(shí)主動(dòng)輪對(duì)應(yīng)的壓力角和瞬時(shí)嚙合角相應(yīng)地展示出來。
由圖23可知,由于齒輪變位,使得嚙合角處在雙齒嚙合區(qū)靠近主動(dòng)輪齒根部分;由于幾何偏心,使得齒輪中心距周期性波動(dòng)進(jìn)而影響瞬時(shí)嚙合角,同時(shí)使得時(shí)變嚙合剛度有一個(gè)周期波動(dòng)的趨勢(類似圖19);由于齒面摩擦?xí)邶X輪通過節(jié)點(diǎn)時(shí)改變方向,使得時(shí)變嚙合剛度相應(yīng)的有個(gè)突變(圖23主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角0.05 rad處)。在齒輪變位和幾何偏心的共同影響下,齒輪嚙合區(qū)間完全發(fā)生在節(jié)點(diǎn)后(圖23主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角1.65 rad處),此時(shí)齒面摩擦力相對(duì)于齒面始終朝一個(gè)方向,由于摩擦力方向變化而給齒輪時(shí)變嚙合剛度帶來的影響不再出現(xiàn)。
5 結(jié)論
(1)研究分析了齒輪變位對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律:針對(duì)角變位齒輪副,當(dāng)僅考慮一個(gè)輪齒變位時(shí),隨著輪齒從負(fù)變位到正變位,齒輪嚙合剛度不斷增大,與此同時(shí)輪齒中心距變大,重合度降低,雙齒嚙合區(qū)間占整個(gè)嚙合區(qū)間比重下降;針對(duì)高變位齒輪副,輪齒中心距不變,主從齒輪變位系數(shù)數(shù)值相反時(shí),嚙合剛度幅值接近,數(shù)值大的變位系數(shù)使齒輪副的嚙合剛度小于數(shù)值小的變位系數(shù)齒輪副的嚙合剛度,小齒輪采取正變位會(huì)降低重合度。合理選擇變位系數(shù)能改變齒輪副嚙合剛度,進(jìn)而影響齒輪的傳動(dòng)特性。
(2)考慮齒面摩擦對(duì)變位齒輪嚙合剛度的影響時(shí),輪齒變位會(huì)改變齒面摩擦力方向在嚙合區(qū)間的位置。針對(duì)角變位齒輪副,隨著輪齒從負(fù)變位到正變位,嚙合角增大,嚙合角位置經(jīng)歷了雙齒區(qū)間-單齒區(qū)間-雙齒區(qū)間的變化;針對(duì)高變位齒輪副,嚙合角不變,嚙合角位置同樣隨著變位系數(shù)的變化在不同的嚙合區(qū)間。嚙合角位置靠近主動(dòng)輪齒根時(shí),齒面摩擦使嚙合剛度減??;嚙合角位置靠近主動(dòng)輪齒頂時(shí),齒面摩擦使嚙合剛度增大。
(3)幾何偏心使得無論是否含變位的齒輪副時(shí)變嚙合剛度的峰-峰值增大,同時(shí)偏心程度越大,峰-峰值越大。由于幾何偏心誤差的存在,使得齒輪時(shí)變嚙合剛度在主要諧次周圍出現(xiàn)以軸頻為間隔的邊頻。當(dāng)主從動(dòng)輪都存在偏心誤差時(shí),時(shí)變嚙合剛度的主要諧次兩側(cè)還會(huì)出現(xiàn)以兩齒輪軸頻之差為間隔的邊頻。
(4)當(dāng)同時(shí)考慮齒面摩擦、幾何偏心和齒輪變位時(shí),齒面摩擦?xí)軒缀纹暮妥兾挥绊?,使得齒輪嚙合區(qū)間有可能完全發(fā)生在節(jié)點(diǎn)后,齒面摩擦力方向不再發(fā)生改變,從而顯著影響齒輪時(shí)變嚙合剛度特性。
本文的研究成果可以應(yīng)用到齒輪動(dòng)力學(xué)建模分析工作中,為得到更為精確的傳動(dòng)軸系動(dòng)力學(xué)模型提供有效支撐。
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(編輯 袁興玲)
作者簡介:郝壯壯,男,1999年生,博士研究生。研究方向?yàn)辇X輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。E-mail:haozhuangzhuang@hrbeu.edu.cn。王東華(通信作者),男,1981年生,博士、副教授。研究方向?yàn)閯?dòng)力裝置減振降噪及故障診斷。E-mail:wangdonghua@hrbeu.edu.cn。