二次函數(shù)背景下的特殊四邊形存在性問題解題策略

王新華

探究二次函數(shù)背景下的特殊四邊形存在性問題是中考壓軸題的熱點題型，其常見題型有“三定一動”和“兩定兩動”兩種類型. 下面舉例介紹其解題策略.

例 如圖1，拋物線[y=-12x2+92]交x軸于點A，B（A在B的左側(cè)），與直線[y=x+3]交于點C. 在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點P，使得以點A，B，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

“三定一動”平行四邊形解題策略.

“一畫”：以三條定線段中的兩條線段作為平行四邊形的鄰邊，分別過除兩鄰邊的公共點外的兩定點作這兩鄰邊的平行線，交點即為第四個頂點.

“二算”：分別求出拋物線[y=-12x2+92]與x軸的交點坐標A（ - 3，0），B（3，0），與直線y = x + 3聯(lián)立求出點C坐標（1，4）. 設(shè)P（m，n），求平行四邊形的動頂點坐標分三種情況：①如圖2，以AC，BC為鄰邊時，利用AC與BP平行且相等可得[m-（-3）=3-1，-n=4，]得P（ - 1，- 4）；②如圖3，以AB，AC為鄰邊時，可得[m-3=1-（-3），n=4，]得P（7，4）；③如圖4，以AB，BC為鄰邊時，可得[-3-m=3-1，n=4，]得P（- 5，4）. 綜上，滿足條件的點有P（-1， -4），（7，4），（-5，4）.

追問：在圖1中，拋物線上是否存在點P，在直線BC上是否存在點Q，使得以點O，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：采用“兩定兩動”平行四邊形探究策略.

“一畫”：如圖5，連接兩定點得到定線段OC. ①以定線段OC作為平行四邊形的邊，通過“平移線段法”將定線段OC平移到所給拋物線與直線BC所夾的兩個區(qū)域中，定線段兩端點O，C恰好落在這兩條圖象上的點即為兩個動頂點，如圖6、圖7；②以定線段OC作為平行四邊形的對角線，取線段OC的中點畫直線，直線與所給定的拋物線及直線BC相交，并且這兩個交點所連線段恰被定線段的中點平分，這兩個交點即為所確定的動頂點，這樣可確定平行四邊形，如圖8、圖9.

“二算”：假設(shè)存在點P在拋物線上，設(shè)點P坐標為[（m，-12m2+92）]，可得直線BC解析式為[y=-2x+6]，設(shè)點Q坐標為[（n，-2n+6）]. 當OC為邊時，如圖6、圖7，依據(jù)平行四邊形對邊PQ與OC平行且相等，可得[n-m=1 ，（-2n+6）--12m2+92=4，]解得[m=2+13，n=3+13]或[m=2-13，n=3-13，]所以點P坐標為（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）. 當OC為對角線時，如圖8、圖9，依據(jù)平行四邊形對邊OP與CQ平行且相等，可得[-m=n-1，4-（-2n+6）=-12m2+92，]解得[m=2+13，n=-1-13]或[m=2-13，n=-1+13，]所以點P坐標為（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）.

綜上，滿足條件的點P坐標為（[2-13，213-4]）或（[2+13，-213-4]）.