經(jīng)歷猜想驗(yàn)證 培養(yǎng)推理意識
——以五年級下冊“長方體和正方體的體積”教學(xué)為例

浙江義烏市黎明湖小學(xué)（322000） 陳夢嬌

推理意識的形成不能單靠一節(jié)課或某一個教學(xué)環(huán)節(jié)，教師要始終關(guān)注學(xué)生推理意識的形成與發(fā)展，不管是在數(shù)與代數(shù)，還是在圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，推理意識的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，筆者就讓學(xué)生不斷經(jīng)歷猜想驗(yàn)證的過程，用豐富的推理得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

猜想與驗(yàn)證在推理意識的培養(yǎng)中具有至關(guān)重要的作用。教師需要策劃多樣的數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生能夠全面經(jīng)歷從猜想到驗(yàn)證的整個過程。這有助于激發(fā)學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比等方式提出猜想，并尋求方法來驗(yàn)證這些猜想。當(dāng)學(xué)生提出各種猜想后，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵他們進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證的方式多種多樣，包括使用多元表征、演繹推理、類比推理、歸納推理和反例判斷等方法。學(xué)生在“猜想—驗(yàn)證”的過程中，不僅發(fā)展了推理意識，也明白了猜想和驗(yàn)證是培養(yǎng)推理意識的關(guān)鍵。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，主要是通過豐富的推理路徑來培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。（如圖1）

圖1 推理路徑

一、借“事”說理，用多元表征驗(yàn)證

在推理過程中，多元表征驗(yàn)證發(fā)揮著重要作用。教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生以事實(shí)為依據(jù)，從分?jǐn)?shù)的含義出發(fā)，為學(xué)生提供充分的創(chuàng)造性空間，激發(fā)他們使用多種方式來驗(yàn)證猜想，并將抽象的思維以可見的方式展示，從而產(chǎn)生直觀的證據(jù)來驗(yàn)證猜想。通過這種方式，學(xué)生將更好地體驗(yàn)到從已知事實(shí)出發(fā)推斷出結(jié)論的過程。這不僅幫助學(xué)生理解推理的本質(zhì)，還培養(yǎng)了他們的分析能力。

【教學(xué)片段1】

生2（出示圖2）：我把圓片當(dāng)作餅，折一折、畫一畫后發(fā)現(xiàn)，他們?nèi)齻€人吃的都是整個餅的一半，所以

圖2

圖3

【思考：學(xué)生通過實(shí)物操作、畫圖操作等方法，將“數(shù)”與“形”結(jié)合，借圖示來證明這三個分?jǐn)?shù)是相等的。在這一過程中，學(xué)生從分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義出發(fā)，依據(jù)數(shù)形一一對應(yīng)的規(guī)則，證明了，體會到可以從一些事實(shí)出發(fā)推斷出結(jié)論，從而形成推理意識?！?/p>

二、借“法”說理，用演繹推理驗(yàn)證

演繹推理是一種基于法則、證明和邏輯計算的推理方式，它依賴明確的規(guī)則和已知事實(shí)。亞里士多德的三段式理論是演繹推理中最經(jīng)典和常見的方式。這里所說的“三段”指的是大前提、小前提和結(jié)論，它們構(gòu)成了一個演繹論證的基本框架，有助于學(xué)生理解邏輯思維的過程。

【教學(xué)片段2】

生4（出示圖4）：這三個分?jǐn)?shù)最終都算得0.5，所以這三個分?jǐn)?shù)的大小相等。

圖4

生5（出示圖5）：先把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)成除法，再用商不變的規(guī)律，把被除數(shù)和除數(shù)同時乘2，最后又把除法寫成分?jǐn)?shù)。

圖5

【思考：學(xué)生給出的兩種方法都屬于演繹推理，而且可以用典型的三段式推理來解釋。在圖4 中，大前提是“1÷2=2÷4=4÷8=0.5”，小前提是“根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，如=a÷b（b不等于0），發(fā)現(xiàn)=1÷2，在圖5中，大前提是“商不變的規(guī)律”，小前提是“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，結(jié)論是“分子或分母同時乘或除以一個不為零的數(shù)，商不變”。學(xué)生從一般到特殊，一步步推理出最終的結(jié)論。這樣的推理過程，能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)的推理習(xí)慣，對學(xué)生掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S方式、發(fā)展推理意識有重要幫助?！?/p>

三、借“知”說理，用類比推理驗(yàn)證

類比推理屬于一種合情推理。類比既可以是結(jié)論的類比，也可以是方法的類比。在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“商不變的規(guī)律”，已經(jīng)可以利用商不變的規(guī)律對分?jǐn)?shù)的性質(zhì)進(jìn)行大膽的猜測，推出相似的屬性。

【教學(xué)片段3】

師：先對比商不變的規(guī)律，再聯(lián)想今天所學(xué)的分?jǐn)?shù)知識，仔細(xì)觀察這三個分?jǐn)?shù)的分子和分母，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生6：從左往右看，分子和分母同時乘2或乘4，分?jǐn)?shù)的大小不變。

生7：從右往左看是同時除以2 或4，分?jǐn)?shù)的大小不變。

板書（如圖6）：

圖6

師：看到這個圖，你有沒有似曾相識的感覺？你有什么疑惑嗎？請大膽猜想一下。

生8：分子和分母同時乘或除以其他數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變？（猜想2）

生9：所有的分?jǐn)?shù)都有同樣的規(guī)律嗎？（猜想3）

生10：分子和分母同時加或減同一個數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小也不變？（猜想4）

師：為同學(xué)們的大膽猜想點(diǎn)贊！但這只是猜想，如果想知道猜想是否正確，還需要進(jìn)行驗(yàn)證。

【思考：在這一教學(xué)片段中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想商不變的規(guī)律與分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)之間的關(guān)系，讓學(xué)生體會同類屬性之間的推理過程，經(jīng)歷類比推理的過程和方法，感受類比推理在數(shù)學(xué)證明中的作用，發(fā)展推理意識?！?/p>

四、借“例”說理，用歸納推理驗(yàn)證

歸納推理包括完全歸納和不完全歸納，也屬于合情推理。完全歸納推理多適用于對象有限的這類推理，它的結(jié)論往往不會超出設(shè)想范圍。完全歸納推理是一種必然性推理。

【教學(xué)片段4】

師：請針對生8提出的猜想進(jìn)行討論。

圖7

師：同學(xué)們太棒了！你們用小數(shù)和分?jǐn)?shù)都證明成功了。

師：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以一個不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

【思考：在教學(xué)過程中，一些學(xué)生的推理能力較強(qiáng)，能根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行推理。教師鼓勵學(xué)生通過正向和逆向思維，考查所有對象，最終推出結(jié)論。在這個過程中，學(xué)生運(yùn)用極限思想，獲得了從特殊到一般的結(jié)論，經(jīng)歷了完全歸納推理的過程，明白推理的過程要做到言之有理、落筆有據(jù)?！?/p>

不完全歸納推理往往需要舉一些有代表性和可靠性的例子，相比演繹推理不算特別嚴(yán)謹(jǐn)。但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，更重要的是給學(xué)生機(jī)會去思考其中的過程是否有理有據(jù)，從而培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成有理有據(jù)的推理習(xí)慣，因此在教學(xué)中也要滲透不完全歸納推理。

【教學(xué)片段5】

師：請針對生9提出的猜想進(jìn)行討論。

學(xué)生匯報（如圖8）：

圖8

師：我看每個人舉的例子都不相同，例子舉得完嗎？通過這些例子，能不能證明生9 的猜想成立？

生14：例子舉不完。這種規(guī)律對其他分?jǐn)?shù)來說也成立。

生15：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都有這種規(guī)律，所以對任何分?jǐn)?shù)來說都成立。

師：這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，它適用于所有的分?jǐn)?shù)。

【思考：學(xué)生通過舉例可以發(fā)現(xiàn)這樣的例子舉不完，也選擇了具有代表性的真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)也存在相同規(guī)律。像這樣的推理過程，就是不完全歸納推理。經(jīng)過四年級運(yùn)算律、商不變的規(guī)律等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了不完全歸納推理的基礎(chǔ)，所以在這節(jié)課中，能自主應(yīng)用不完全歸納推理的方法進(jìn)行驗(yàn)證?！?/p>

五、借“據(jù)”說理，用反例判斷驗(yàn)證

反例指的是符合某個命題的條件，但不符合該結(jié)論的例子。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會通過舉反例來證明命題不成立。舉反例是一種特殊而又簡單的證明方式。

【教學(xué)片段6】

師：請針對生10提出的猜想進(jìn)行討論。

【思考：在這個教學(xué)片段中，學(xué)生能夠快速尋找反例來驗(yàn)證猜想不正確。這些極具說服力的反例能幫助學(xué)生厘清概念，把握概念本質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砹?xí)慣?！?/p>

著名數(shù)學(xué)家彭加勒說過：“推理始終應(yīng)是數(shù)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)的根本特性。”推理是通過理解知識的本質(zhì)，找到知識之間的聯(lián)系，遷移已有認(rèn)知或方法，最終歸納推出新的結(jié)論或命題。推理是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重要方法。推理意識的發(fā)展推動著學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用多元表征、演繹推理、類比推理、歸納推理、反例判斷等方法來證明猜想，推動學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

因此，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成“講道理、有條理”的思維習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，使學(xué)生形成獨(dú)立思考、勇于開拓的科學(xué)精神和求真務(wù)實(shí)、一絲不茍的科學(xué)態(tài)度。