基于李雅普諾夫指數(shù)的混沌行為分析

安鴻宇 王云翔 周迪克

摘?要：文章探討了在新冠肺炎疫情前后，云南板塊指數(shù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的變化，并且通過計(jì)算混沌度量化云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。結(jié)果顯示，新冠肺炎疫情前后，云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的混沌度發(fā)生了顯著變化。不僅最大李雅普諾夫指數(shù)增加，極差也呈上升趨勢(shì)，這表明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性和不穩(wěn)定性有所增強(qiáng)，整體上系統(tǒng)的混沌度有所提高，反映了系統(tǒng)在特殊時(shí)期沖擊下的復(fù)雜響應(yīng)。這一研究不僅有助于深入理解云南板塊市場(chǎng)的行為特征，還為金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)控提供了新的視角和方法。此結(jié)果為構(gòu)建混沌時(shí)間序列模型和探索系統(tǒng)的非線性特性提供了支持，有助于更好地應(yīng)對(duì)金融市場(chǎng)的變化與挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：混沌時(shí)間序列；李雅普諾夫指數(shù)；混沌度；云南板塊

中圖分類號(hào)：F830.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1005-6432（2023）36-0042-04

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2023.36.042

1?引言

在新冠肺炎疫情的背景下，云南板塊指數(shù)凸顯出其作為評(píng)估云南上市企業(yè)表現(xiàn)的重要尺度。這一指數(shù)不僅展現(xiàn)了云南企業(yè)在市場(chǎng)上的價(jià)值和引導(dǎo)作用，更在特殊時(shí)期彰顯了其特殊意義。在這充滿不確定性的大背景下，云南板塊指數(shù)突顯了其代表云南上市企業(yè)的關(guān)鍵地位。

然而，僅僅基于線性時(shí)間序列來研究股指波動(dòng)性，難以充分考量系統(tǒng)本身的不規(guī)則性和復(fù)雜性[1]。為了更全面地揭示這些方面，提出了利用混沌系統(tǒng)的混沌度來解釋云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的不規(guī)則性和復(fù)雜性。

2?混沌檢驗(yàn)方法

現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)在研究股票市場(chǎng)中是否存在非線性和混沌行為所獲得的結(jié)果主要取決于每項(xiàng)研究中使用的數(shù)據(jù)和方法。在檢驗(yàn)方法上，現(xiàn)有文獻(xiàn)中存在大量檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)金融市場(chǎng)的混沌信號(hào)，如White?檢驗(yàn)、Teraesvirta?檢驗(yàn)、Keenan?檢驗(yàn)、Tsay?檢驗(yàn)、Engle?LM?檢驗(yàn)、BDS?檢驗(yàn)、李雅普諾夫指數(shù)和?0-1?檢驗(yàn)。從技術(shù)上講，李雅普諾夫指數(shù)被認(rèn)為是唯一明確設(shè)計(jì)用于檢驗(yàn)混沌信號(hào)，并測(cè)量系統(tǒng)信息丟失速率的一種方法，學(xué)者對(duì)李雅普諾夫指數(shù)檢驗(yàn)的研究也是較為豐富的[2-3]。相比于傳統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，也有學(xué)者用李雅普諾夫指數(shù)的衍生方法做過混沌信號(hào)檢驗(yàn)[4]。

可以看出現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中在對(duì)各國大盤或特定行業(yè)的金融市場(chǎng)進(jìn)行混沌信號(hào)研究。少數(shù)文獻(xiàn)關(guān)注了地方板塊的金融混沌信號(hào)，其中以云南板塊為例。云南板塊作為一個(gè)代表性地方性市場(chǎng)，在全球經(jīng)濟(jì)變動(dòng)和新冠肺炎疫情沖擊下的混沌信號(hào)研究相對(duì)較少。因此，對(duì)于地方性市場(chǎng)的金融混沌信號(hào)研究具有重要意義。

文章旨在填補(bǔ)這一研究空白，將焦點(diǎn)聚焦在云南板塊的金融混沌信號(hào)上。為了深入了解云南板塊市場(chǎng)的波動(dòng)性和復(fù)雜性，采用李雅普諾夫指數(shù)來進(jìn)行混沌信號(hào)檢驗(yàn)。

3?相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)可以將云南板塊指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)多維空間，幫助更好地理解云南板塊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。相空間重構(gòu)技術(shù)有兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：嵌入維數(shù)?m和延遲時(shí)間?τ。其核心思想是通過觀測(cè)值構(gòu)建出一組m維向量：

y（t）=［xt，xt+τ，xt+2τ，…，xt+（m-1）τ］∈Rm

按照?Takens?定理就可以恢復(fù)其動(dòng)力學(xué)特性。因此需要尋找一個(gè)合適的嵌入維數(shù)?m，使得?m≥2d+1（d是動(dòng)力系統(tǒng)維數(shù)），以及一個(gè)延遲時(shí)間使得原系統(tǒng)經(jīng)過時(shí)間延遲后可以作為獨(dú)立的坐標(biāo)來使用。

本研究所選用的數(shù)據(jù)范圍為自?2016?年?1?月?19?日至?2023?年?7?月?31?日，采集自東方財(cái)富網(wǎng)的云南板塊指數(shù)的日交易數(shù)據(jù)。針對(duì)新冠肺炎疫情這一時(shí)間節(jié)點(diǎn)，將數(shù)據(jù)序列分割成兩個(gè)子序列：其一為?2016?年?1?月?19?日至?2019?年?11?月?29?日，即特殊時(shí)期前；其二為?2019?年?12?月?2?日至?2023?年?7?月?31?日，即特殊時(shí)期后。

3.1?虛假臨近點(diǎn)法計(jì)算嵌入維數(shù)

將一維空間的云南板塊指數(shù)序列逐漸恢復(fù)到高維空間中，一維空間上有的時(shí)候相鄰的兩點(diǎn)也會(huì)被分離，這兩個(gè)在一維空間相鄰的點(diǎn)也就是虛假鄰近點(diǎn)。虛假鄰近點(diǎn)法的核心就是隨著嵌入維數(shù)的增大，混沌運(yùn)動(dòng)的軌道會(huì)被打開，偽鄰近點(diǎn)就會(huì)被逐漸剔除，從而整個(gè)混沌運(yùn)動(dòng)的軌跡得到恢復(fù)。對(duì)于?m維相空間的向量?y（t）存在?yNN（t）使得有一個(gè)歐幾里德距離的最鄰近點(diǎn)距離是：

Rm（t）=︳︳y（t）-yNN（t）︳︳

然后增加空間的維數(shù)為?m+1，?新的歐幾里德距離則變?yōu)?Rm+1（t）。令

ρ（t，m）=︳︳y（t+mτ）-yNN（t+mτ）︳︳Rm（t）

如果

ρ（t，m）＞Rτ（Rτ∈［10，50］）

那么?yNN（t）就是?y（t）的虛假鄰近點(diǎn)。對(duì)于云南板塊指數(shù)序列，計(jì)算中從嵌入維數(shù)的最小值?2?開始，計(jì)算虛假鄰近點(diǎn)的比例，然后逐漸增加維數(shù)直到虛假鄰近點(diǎn)的比例小于?5%?或者虛假鄰近點(diǎn)數(shù)量不再隨著維數(shù)的增加而減少時(shí)，可以認(rèn)為混沌吸引子已經(jīng)完全打開，此時(shí)的維數(shù)就是嵌入維數(shù)。

特殊時(shí)期前后的云南板塊指數(shù)的嵌入維數(shù)從?2?開始增加到?3?為一個(gè)頂峰，此時(shí)的維數(shù)為最佳嵌入維數(shù)3。

3.2?自相關(guān)系數(shù)法計(jì)算延遲時(shí)間

自相關(guān)系數(shù)可以用以下公式表示：

r（τ）=∑nt=τ+1（xt-x—）（xt-1-x—）∑nt=1（xt-x—）2

其中，r（τ）是延遲時(shí)間為?τ?時(shí)的自相關(guān)系數(shù)；x—是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平均值；n是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的總長度。

通過計(jì)算可得，新冠肺炎疫情前延遲時(shí)間?τ為?2，特殊時(shí)期后延遲時(shí)間τ為?1。

4?最大李雅普諾夫指數(shù)

最大李雅普諾夫指數(shù)是用于衡量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的混沌特性的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)。它通過測(cè)量在相空間中相鄰軌跡的指數(shù)分離率來判斷系統(tǒng)是否呈現(xiàn)出混沌行為。令最大李雅普諾夫指數(shù)為?λ，且

λ=limΔt→∞limΔx（0）→01ΔtlnΔx（Δt）Δx（0）

當(dāng)?Δt趨近于無窮大時(shí)，表示系統(tǒng)在相空間中的軌跡已經(jīng)發(fā)生了足夠的演化。Δx（0）是初始狀態(tài)下的微小差異，它在相空間中定義了軌跡之間的初始距離。Δx（Δt）是時(shí)間間隔Δt后，初始狀態(tài)下微小差異的演化距離。

由結(jié)果可知，特殊時(shí)期前后的云南板塊指數(shù)的最大李雅普諾夫指數(shù)均大于?0。結(jié)果還表明，在特殊時(shí)期之前和之后，云南板塊的李雅普諾夫指數(shù)均呈現(xiàn)出大于?0?的趨勢(shì)，說明隨著時(shí)間推移，云南板塊按指數(shù)形式分離。表明云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的高度敏感性和不可預(yù)測(cè)性。特殊時(shí)期可能對(duì)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及其他影響因素造成劇烈的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)中微小變化的非線性擴(kuò)散，進(jìn)而引發(fā)了混沌行為。

5?混沌度

設(shè)向量：

α=（λ，d，g）

表示云南板塊系統(tǒng)的混沌度向量，其中，?λ為該系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)，d為系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)維數(shù)，g為極差。

通過?G-P?算法估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維，對(duì)于每一對(duì)嵌入向量Xi和Xj計(jì)算它們之間的歐氏距離dij：

dij=∑mk=1（x（i+（k-1）τ）-x（j+（k-1）τ））2

對(duì)于給定的半徑?，計(jì)算出在該半徑范圍內(nèi)與每個(gè)點(diǎn)Xi關(guān)聯(lián)的點(diǎn)的數(shù)量Ni（），然后計(jì)算處所有點(diǎn)的平均關(guān)聯(lián)數(shù)〈N（）〉，即在給定半徑下的平均關(guān)聯(lián)數(shù)。

最終，通過計(jì)算對(duì)數(shù)關(guān)聯(lián)數(shù)和對(duì)數(shù)半徑之間的斜率來估計(jì)關(guān)聯(lián)維d：

d=lim→0ln〈N（）〉ln

α向量可以作為對(duì)云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)綜合度量。對(duì)于不同的序列，可能會(huì)有不同的向量?α。在特殊時(shí)期前，云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的混沌度為：

α（0.3123，4.4314，0.1326）

特殊時(shí)期后，云南板塊指數(shù)系統(tǒng)的混沌度為：

α′（1.3054，2.8506，0.1400）

除了關(guān)聯(lián)維數(shù)外，最大李雅普諾夫指數(shù)和極差都呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì)。最大李雅普諾夫指數(shù)從?0.3123?增加到?1.3054，極差從?0.1326?增加到?0.1400。這種變化暗示了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的混沌特性在特殊時(shí)期得到了增強(qiáng)。最大李雅普諾夫指數(shù)的增加意味著微小初始差異在時(shí)間演化中擴(kuò)散更快，而極差的增加可能反映了系統(tǒng)狀態(tài)的不穩(wěn)定性增加。雖然關(guān)聯(lián)維數(shù)在這個(gè)情況下保持不變，但在考慮最大李雅普諾夫指數(shù)和極差的增加時(shí)，整體上系統(tǒng)的混沌度有所提高。

6?結(jié)論

研究表明，特殊時(shí)期后，云南板塊指數(shù)的混沌度明顯增加，表明在特殊時(shí)期影響下，云南板塊的市場(chǎng)表現(xiàn)出更為復(fù)雜和不確定的動(dòng)態(tài)行為?；煦缍鹊脑黾右馕吨袌?chǎng)中的變動(dòng)更加不可預(yù)測(cè)，波動(dòng)性增強(qiáng)，投資者難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)市場(chǎng)走勢(shì)。

在特殊時(shí)期前，云南板塊指數(shù)可能表現(xiàn)出較為穩(wěn)定的市場(chǎng)趨勢(shì)。2019年12月后市場(chǎng)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)使市場(chǎng)變得更加復(fù)雜。

總之，云南板塊指數(shù)在特殊時(shí)期前后混沌度的增加表明了市場(chǎng)中更為復(fù)雜和不可預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)行為。這種趨勢(shì)提醒著投資者在不確定時(shí)期更加謹(jǐn)慎，需要采取適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)管理策略來應(yīng)對(duì)市場(chǎng)的波動(dòng)性增加。

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