天然氣壓縮因子寬溫寬壓連續(xù)計(jì)算新模型

馬清杰 李 軍 吳春洪 湯朝紅 孫廣森

（1. 中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249；2. 中國石化西北油田分公司，新疆 烏魯木齊 830011；3. 中國石化縫洞型油藏提高采收率重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，新疆 烏魯木齊 830011；4. 中國石化江漢石油工程有限公司巴州塔里木測試分公司，新疆 庫爾勒 841000；5. 巴州康菲能源科技有限公司，新疆 庫爾勒 841000）

0 引 言

在對(duì)油氣藏模擬、動(dòng)態(tài)分析、油氣井測試、油氣井工程和管道輸送過程進(jìn)行模擬時(shí)，天然氣壓縮因子是非常重要的物性參數(shù)［1-3］。由于模擬計(jì)算過程中溫度和壓力是連續(xù)變化且相互影響的，要求壓縮因子必須是連續(xù)可微的，否則會(huì)因出現(xiàn)斷點(diǎn)，造成模擬或計(jì)算的死循環(huán)。在計(jì)算天然氣等溫壓縮系數(shù)、體積系數(shù)等熱力學(xué)參數(shù)時(shí)，要用到壓縮因子以及壓縮因子的一級(jí)或二級(jí)偏導(dǎo)數(shù)［4-6］，要求模型必須連續(xù)。隨著高溫高壓氣藏發(fā)現(xiàn)的越來越多，不少氣藏壓力和溫度達(dá)到100 MPa 和400 K 以上。天然氣壓縮因子的Standing-Katz 圖版［7］是計(jì)算壓縮因子的標(biāo)準(zhǔn)圖版，圖版由0.2≤ppr≤15.0 和1.05≤Tpr≤3.00 的低壓圖版、15.0≤ppr≤30.0 和1.4≤Tpr≤2.8 的高壓圖版2 部分組成［8］。但圖版使用不方便，工程上常用計(jì)算模型來求取壓縮因子，計(jì)算模型分為顯式計(jì)算模型和隱式計(jì)算模型，顯式計(jì)算模型是采用多元非線性擬合等手段，直接擬合Standing-Katz 圖版得到的經(jīng)驗(yàn)公式，而隱式計(jì)算模型是以氣體狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，通過擬合Standing-Katz 圖版，并賦予氣體方程不同的常數(shù)項(xiàng)得到的經(jīng)驗(yàn)公式。

顯式計(jì)算模型［9-11］的優(yōu)點(diǎn)是不需要迭代計(jì)算，計(jì)算便捷快速，不足是超出其擬合范圍，誤差不可預(yù)見。在現(xiàn)有的144 種以上的顯式模型中，除王藝晨等［12］和Y.C.Wang 等［13］外，尚無完全涵蓋0.2≤ppr≤30.0 和1.05≤Tpr≤3.00 范圍的計(jì)算模型；大多數(shù)顯式模型為了得到較好的擬合效果，采用分段擬合［14-17］，影響了計(jì)算模型的連續(xù)性。隱式計(jì)算模型［18-19］大都是在Standing-Katz 圖版低壓區(qū)進(jìn)行擬合的，對(duì)高溫高壓外推計(jì)算的精度是值得懷疑的［20］。隱式計(jì)算模型在低壓區(qū)的計(jì)算精度較高，高壓區(qū)的計(jì)算誤差較大，進(jìn)一步擴(kuò)大擬合范圍修正擬合常數(shù)后，低壓區(qū)的精度也會(huì)變差。隱式模型必須迭代計(jì)算，迭代計(jì)算會(huì)導(dǎo)致計(jì)算模型無解［21］。筆者試算了DAK1975 模型在Tpr＝1.50、ppr≥2.80 時(shí)和HTP1969 模型在Tpr＝1.25、ppr≥2.25 時(shí)，無論如何設(shè)置初始值，模型均無解。

本文采用一個(gè)新的函數(shù)形式，對(duì)Standing-Katz圖版的1.05≤Tpr≤3.00 和0.2≤ppr≤30.0 的數(shù)據(jù)，進(jìn)行連續(xù)非線性曲面擬合，建立一個(gè)顯式連續(xù)、簡單、準(zhǔn)確、溫度壓力范圍大、符合工程計(jì)算要求、連續(xù)可微的快速求解天然氣壓縮因子的新模型。

1 新模型的建立

1.1 數(shù)據(jù)來源

對(duì)Standing-Katz 圖版進(jìn)行擬合時(shí)，在0.2≤ppr≤15.0 和1.05≤Tpr≤3.00 的區(qū)域，選用Poettmann-Carpenter 數(shù)字化版本數(shù)據(jù)樣本5 940 組；在15.0≤ppr≤30.0 和1.4≤Tpr≤2.8 的區(qū)域，先把Standing-Katz 圖版進(jìn)行數(shù)字化，得到2 400 組數(shù)據(jù)高壓樣本，擬合過程共選用8 340 組的數(shù)據(jù)樣本，對(duì)0.2≤ppr≤30.0 和1.05≤Tpr≤3.00 的數(shù)據(jù)進(jìn)行連續(xù)擬合。

1.2 模型擬合

利用Origin2019 軟件曲面擬合工具，選用微分形式簡單的新函數(shù)，對(duì)Standing-Katz 圖版的8 340組數(shù)據(jù)以ppr、Tpr為自變量，以壓縮因子為因變量，用殘差卡方檢驗(yàn)來作為判定擬合的質(zhì)量準(zhǔn)則，進(jìn)行非線性曲面擬合。經(jīng)過10 次的迭代，使擬合卡方容差判別值收斂至1×10-9，擬合卡方殘差容差值（Reduced Chi-Sqr）為2.574 2×10-4，擬合Standing-Katz 圖版的數(shù)據(jù)與擬合平面的三維分布見圖1。

圖1 數(shù)據(jù)與擬合面的三維分布Fig. 1 3D distribution of data and fitting surface

擬合數(shù)據(jù)為8 340 組，擬合自由度為8 319 個(gè)，該模型的殘差平方和（RSSE）為2.142，相關(guān)系數(shù)為0.998 5，得到了連續(xù)的計(jì)算模型，該模型的函數(shù)式為

其中：

式中：Z——壓縮因子；ppr——對(duì)比壓力，天然氣壓力與臨界壓力的比值；Tpr——對(duì)比溫度，天然氣溫度與臨界溫度的比值；a—f——中間變量；A11—A61——擬合系數(shù)。

上述的式（1）—式（7）可以簡寫為

式中：i——擬合系數(shù)的行序號(hào)，取值范圍為1—6的自然數(shù)；j——擬合系數(shù)的列序號(hào)，取值范圍為1—6 的自然數(shù)；Aij——第i行第j列的擬合系數(shù)。

表1 給出了Standing-Katz 圖版在0.2≤ppr≤30.0和1.05≤Tpr≤3.00 范圍內(nèi)曲面擬合所得到的系數(shù)擬合數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)，系數(shù)擬合的標(biāo)準(zhǔn)誤差的平均值為0.934 00%，相關(guān)系數(shù)的平均值0.999 98。說明擬合系數(shù)具有較高可靠性與可信度。

表1 模型系數(shù)擬合數(shù)值和信度指標(biāo)Table 1 Model coefficients fitting values and reliability indicators

1.3 模型的微分形式

對(duì)式（8）求導(dǎo)，計(jì)算模型中壓縮因子對(duì)溫度、壓力的微分式為：

式中：p——絕對(duì)壓力，MPa；Tpc——臨界溫度，K；i和j——擬合系數(shù)的下標(biāo)，均為1—6 的自然數(shù)。

對(duì)氣體狀態(tài)方程p=ρZRT與臨界狀態(tài)連列后求導(dǎo)，可得到壓縮因子對(duì)密度的導(dǎo)數(shù)式為

式中：Zc——臨界壓縮因子；ρpr——對(duì)比密度。

D.Peng 等［19］給出天然氣的臨界壓縮因子Zc值為0.27，故式（13）也可以表達(dá)為

由式（9）—式（14）可知，壓縮因子對(duì)溫度、壓力和密度的偏微分形式是連續(xù)存在的，不存在斷點(diǎn)和突變，與Standing-Katz 圖版中的高壓圖版與低壓圖版的連續(xù)性一致。

2 結(jié)果與分析

2.1 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

用平均相對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)等5 種統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)，來驗(yàn)證新模型的相關(guān)性、準(zhǔn)確性和可靠性，使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算公式為：

平均相對(duì)誤差表達(dá)式為

式中：——i點(diǎn)的預(yù)測壓縮因子；——i點(diǎn)的實(shí)測或圖版的壓縮因子；N——樣本數(shù)量。

平均絕對(duì)誤差表達(dá)式為

均方根誤差表達(dá)式為

標(biāo)準(zhǔn)誤差表達(dá)式為

相關(guān)系數(shù)表達(dá)式為

2.2 模型擬合性能

圖2 為新模型計(jì)算壓縮因子的平均絕對(duì)誤差的分布云圖。圖2（a）在0.2≤ppr≤15.0 和1.05≤Tpr≤3.0，圖2（b）在15.0≤ppr≤30.0 和1.4≤Tpr≤3.0 時(shí)，分別反映了公式（1）在0.2≤ppr≤30.0時(shí)的擬合效果。

圖2 壓縮因子計(jì)算的平均絕對(duì)誤差分布Fig. 2 RAARE distribution calculated by compressibility factor

在圖2（a）所示的低壓區(qū)內(nèi)，最大平均絕對(duì)誤差區(qū)域?yàn)榈蜏氐蛪簠^(qū)，即Tpr≤1.25 和ppr≤4 所圍成的區(qū)域，其余的平均絕對(duì)誤差均小于2%。低溫低壓區(qū)的較大平均絕對(duì)誤差是Standing-Katz 圖版在低壓區(qū)中，壓縮因子曲線段出現(xiàn)了嚴(yán)重的扭曲，無論采用非線性擬合（MNR）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）和基因編輯（GP）等手段，這部分與高溫高壓區(qū)相比，擬合精度都普遍較低。在圖2（b）的高壓區(qū)內(nèi)，平均絕對(duì)誤差均小于1%，擬合精度較高。

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)擬合效果，對(duì)Standing-Katz 圖版中的20 個(gè)不同對(duì)比溫度分別進(jìn)行擬合（表2）。由表2 可知，本模型的每個(gè)擬合溫度的平均相對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)分別為0.17%、1.26%、0.015%、0.34% 和0.996。在20 條溫度線里，除了Tpr為1.05 的第一條線的平均相對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)分別為1.91%、6.24%、0.016%、0.77%和0.989，其他溫度下的平均絕對(duì)誤差均滿足工程計(jì)算要求。本次擬合Standing-Katz圖版的范圍大、函數(shù)結(jié)構(gòu)合理，數(shù)據(jù)吻合度較高，擬合效果良好。

表2 不同對(duì)比溫度的擬合效果Table 2 Fitting effects of different reduced temperatures

2.3 與經(jīng)典模型的比較

為了更加客觀精準(zhǔn)評(píng)價(jià)新模型的擬合性能，避免因?qū)嶋H氣體的混合與校正規(guī)則對(duì)天然氣臨界壓力和臨界溫度計(jì)算造成的影響，直接采用Standing-Katz圖版的數(shù)據(jù)，在0.2≤ppr≤30.0、1.05≤Tpr≤3.00 范圍內(nèi)，本模型與Papay1968［22］、Latonov-Gurevichi 1969［22］、Beggs-Brill 1973［22］、Shell oil Co.2004［22］、Heidaryan 2010a［22］、Mahmoud 2014［22］、Kamari 2016［22］、Ekeechkwu 2019［11］、Wang 2021［12］、Wang 2022［13］等10 個(gè)計(jì)算模型比較，對(duì)計(jì)算結(jié)果所產(chǎn)生0～10%平均絕對(duì)誤差范圍內(nèi)的累計(jì)頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制出平均絕對(duì)誤差與累計(jì)頻率關(guān)系分布圖（圖3）。

圖3 不同計(jì)算模型的平均絕對(duì)誤差與累計(jì)頻率分布Fig. 3 RAARE and cumulative frequency distribution of different calculation models

在平均絕對(duì)誤差小于5%的模型中，只有本模型與Wang2021、Wang2022 等3 個(gè)模型的累計(jì)頻率超過了95%。本模型在平均絕對(duì)誤差低于5%的區(qū)域，明顯優(yōu)于Wang2021、Wang2022 等2 個(gè)模型，其他模型的誤差累計(jì)頻率均低于80%。

3 臨界參數(shù)和實(shí)例驗(yàn)證

3.1 臨界參數(shù)

Standing-Katz 圖版采用的混合規(guī)則［6］，是Kay1936 基于甲烷、乙烷、丙烷、丁烷以及少量的氮?dú)獾亩旌蠚怏w繪制的，沒有一種混合氣體的相對(duì)分子質(zhì)量超過40。礦場上的天然氣成分復(fù)雜，直接利用Kay 混合規(guī)則計(jì)算臨界壓力和臨界溫度，來預(yù)測天然氣壓縮因子是不準(zhǔn)確，必須結(jié)合天然氣的組分，對(duì)臨界參數(shù)選用合適的混合規(guī)則與校正規(guī)則，才能滿足計(jì)算要求。

對(duì)于重?zé)N摩爾分?jǐn)?shù)小于1%、相對(duì)密度低于0.8、酸性氣體（CO2+H2S）或惰性氣體（N2、He）摩爾分?jǐn)?shù)之和小于7%的天然氣，有天然氣全組分的采用Kay 混合規(guī)則計(jì)算臨界壓力與臨界溫度，對(duì)于組分不全的推薦采用Standing1981［23］密度法混合規(guī)則或Ahmed1989［24］的密度法混合規(guī)則計(jì)算臨界壓力和臨界溫度。對(duì)于重?zé)N摩爾分?jǐn)?shù)大于1%或者酸性氣體和惰性氣體摩爾分?jǐn)?shù)之和大于7%的天然氣，有天然氣全組分的推薦采用SBV1959 混合規(guī)則計(jì)算臨界壓力和臨界溫度，對(duì)組分不全的，相對(duì)密度大于0.8 的推薦選用Sutton1985［23］或Elsharkawy2004［24］的密度法混合規(guī)則來確定天然氣的臨界壓力和臨界溫度。天然氣中CO2摩爾分?jǐn)?shù)大于5%或H2S 摩爾分?jǐn)?shù)大于3%，或CO2、H2S 和惰性氣體摩爾分?jǐn)?shù)之和大于7%，也或重?zé)N摩爾分?jǐn)?shù)大于5%的，利用相應(yīng)的混合規(guī)則確定臨界壓力和臨界溫度后，必須對(duì)臨界壓力和臨界溫度進(jìn)行校正。

校正原則：對(duì)于酸性氣體和惰性氣體的臨界壓力和臨界溫度校正，推薦采用Wichert-Aziz1972［25］校正規(guī)則進(jìn)行非烴校正，對(duì)于重?zé)N的臨界壓力和臨界溫度校正，推薦采用Sutton1985 校正規(guī)則進(jìn)行校正，重?zé)N與酸性氣體和惰性氣體都超過規(guī)定值，應(yīng)先進(jìn)行WA 校正，再進(jìn)行Sutton1985 重?zé)N校正。

3.2 驗(yàn)證實(shí)例

3.2.1 干氣

利用文獻(xiàn)［26］提供的四川新場氣田ST1 井的數(shù)據(jù)，該井天然氣中丙烷以上的含量為0，是典型的干氣。表3 給出了ST1 井的天然氣從136.7、146.7 和156.7 ℃的3 個(gè)溫度下從73.00 MPa 到122.88 MPa 的11 個(gè)壓力，共33 組壓縮因子的測試數(shù)據(jù)（表3）。

表3 ST1井天然氣實(shí)測壓縮因子Table 3 Measured compressibility factors of natural gas in Well ST1

圖4 為9個(gè)模型預(yù)測干氣壓縮因子時(shí)的平均絕對(duì)誤差，本模型的平均絕對(duì)誤差為0.527%，Wang 2022和ZGD 2005 的平均絕對(duì)誤差分別為0.549% 和1.515%，最差是HY 1973計(jì)算模型，誤差為8.453%。表明本模型預(yù)測干氣的壓縮因子是準(zhǔn)確的。

圖4 不同模型的平均絕對(duì)誤差分布Fig. 4 RAARE distribution of different models

3.2.2 凝析氣

塔里木盆地XX-2 氣田是異常高壓凝析氣藏，XX202 井為XX-2 氣田的早期開發(fā)井，表4 是XX202 井天然氣組分。對(duì)XX202 井在132.7、100.0、70.0 和40.0 ℃的溫度下，壓力從9 MPa 到110 MPa 進(jìn)行了壓縮因子測試，利用SSBV 等混合校正規(guī)則，確定的臨界壓力和臨界溫度是4.565 MPa 和212.631 K；本模型計(jì)算的平均絕對(duì)誤差為0.809%。

表4 XX202井天然氣組分及其摩爾分?jǐn)?shù)Table 4 Natural gas components and their mole fractions of Well XX202

圖5 是本模型與Papay1968、Beggs-Brill1973、Shell oil Co. 2004、 Heidaryan2010、 Kareem2016、Kamari2016、Ekechewu2019、Wang2022 等模型在不同壓力與溫度下預(yù)測壓縮因子與實(shí)測壓縮因子的偏差，本模型與零誤差線的偏差最小，且偏差不隨溫度變化而變化，穩(wěn)定性最好。

圖5 不同模型的壓縮因子計(jì)算值與實(shí)測值對(duì)比Fig. 5 Comparison between calculation values and measured values distribution of compressibility factors of different models

3.2.3 酸氣

利用參考文獻(xiàn)［27］提供的10 個(gè)樣品，選擇CO2和H2S 的摩爾分?jǐn)?shù)之和低于55%的8 個(gè)樣品做樣本。表5 給出了8 個(gè)樣本的天然氣組分及其含量，樣品中H2S 摩爾分?jǐn)?shù)最高為51.37%，最低為6.80%；CO2摩爾分?jǐn)?shù)最高為8.66%，最低為0.96%；C7+摩爾分?jǐn)?shù)最高為6.79%，最低為0.04%；天然氣相對(duì)密度最大為1.009 2，最小為0.786 4，是典型的高含酸凝析天然氣。

表5 不同樣品的天然氣組分及摩爾分?jǐn)?shù)Table 5 Natural gas components of samples

表6 給出了本模型、DPR 1974、HY 1973、DAK 1975、SAREM 1961、HTP 1969 和BB 1973 共7 個(gè)模型，先采用Kay 混合規(guī)確定臨界參數(shù)，則再對(duì)臨界參數(shù)進(jìn)行WA 非烴校正，天然氣壓縮因子的預(yù)測值與實(shí)測值的對(duì)比情況。樣品的實(shí)測壓縮因子的平均值為0.901，本模型計(jì)算平均絕對(duì)誤差為0.110 9%，與本模型相近的是DPR 1974 和DAK 1975 這2 個(gè)模型，平均絕對(duì)誤差分別為0.332 9%和0.998 9%，其他模型的計(jì)算誤差都比較大，最差的預(yù)測模型為BB 1973 模型，其平均絕對(duì)誤差4.444 0%。表6 表明本模型的預(yù)測值與實(shí)測值最為接近，預(yù)測效果最好。

表6 Kay-WA校正的壓縮系數(shù)對(duì)比Table 6 Comparison of compressibility factors calibrated by Kay-WA

4 結(jié) 論

（1）新模型的函數(shù)形式簡單，擬合系數(shù)單一，連續(xù)可微性能優(yōu)良，無需迭代計(jì)算，計(jì)算精度和效率高，適用溫度和壓力范圍大，為礦場實(shí)踐中快速準(zhǔn)確預(yù)測天然氣壓縮因子提供了一個(gè)新手段，特別適用于油氣藏、油氣井和地面系統(tǒng)的連續(xù)模擬和計(jì)算。

（2）新模型給出了壓縮因子對(duì)壓力、溫度和密度的微分式，新模型的微分式連續(xù)存在，特別適用于壓縮系數(shù)、體積系數(shù)和焦耳湯姆遜系數(shù)等熱力學(xué)參數(shù)的計(jì)算。

（3）新模型經(jīng)過對(duì)干氣、凝析氣和酸性天然氣的實(shí)例驗(yàn)證，以及與十多個(gè)經(jīng)典計(jì)算模型對(duì)比，其對(duì)干氣、凝析氣和酸性天然氣3 類天然氣壓縮因子預(yù)測的平均絕對(duì)誤差分別為0.527%、0.809%和0.110 9%，是所有參與對(duì)比模型中精度最高的計(jì)算模型。