基于最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力的水平井壓裂后生產(chǎn)指數(shù)預(yù)測新方法

紀國法 王曉燕 南晨陽 劉文濤 劉 進

（1. 長江大學(xué)非常規(guī)油氣省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430100；2. 長江大學(xué)油氣鉆采工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430100；3. 中國石油新疆油田公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000；4. 中國石油長慶油田公司第八采油廠，陜西 西安 710018）

0 引 言

非常規(guī)油氣的水平井分段壓裂改造技術(shù)的創(chuàng)新發(fā)展，助推了2021 年中國非常規(guī)油氣產(chǎn)量實現(xiàn)了8 700×104t 的油氣當(dāng)量，占油氣總產(chǎn)量的23%［1］。由于非常規(guī)油氣儲層具有超低孔、超低滲、非均質(zhì)性強的特點，其壓裂后產(chǎn)量遞減速率快、穩(wěn)產(chǎn)困難。目前非常規(guī)油氣壓裂后產(chǎn)能預(yù)測方法主要有經(jīng)驗法［2］、產(chǎn)量遞減分析法［3］、數(shù)值模擬法［4］、數(shù)據(jù)挖掘法［5］和水電模擬實驗法［6］等。但現(xiàn)有預(yù)測方法受地質(zhì)因素和工程因素的影響較為復(fù)雜［7］，需要考慮的因素多、預(yù)測效率低，因此如何找到快速實現(xiàn)非常規(guī)油氣水平井壓裂后產(chǎn)能準確預(yù)測的一種新方法，對經(jīng)濟評價和施工參數(shù)優(yōu)化都具有重要意義。

在實際生產(chǎn)過程中，裂縫導(dǎo)流能力由于受到各種因素的影響隨時間不斷發(fā)生變化［8］，這些因素在產(chǎn)能預(yù)測分析中不可忽略。P.Valko 等［9］通過優(yōu)化方法，認為低滲透儲層壓裂后最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力為1.2。J.Bellarby［10］研究認為垂直井在壓裂后的最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力是1.6。楊兆中等［11］認為，致密氣隨著裂縫導(dǎo)流能力的增加，累計產(chǎn)量增加的幅度很小，其最優(yōu)的裂縫導(dǎo)流能力為5 μm2·cm。

C.O.Bennett 等［12］、任勇等［13-15］基于裂縫導(dǎo)流能力隨時間的變化情況，推導(dǎo)出了垂直裂縫井產(chǎn)能的動態(tài)預(yù)測模型。李準等［16］利用裂縫導(dǎo)流能力隨時間變化的裂縫滲流模型，認為裂縫導(dǎo)流能力的時效性會降低壓裂井的產(chǎn)量，裂縫導(dǎo)流能力變異系數(shù)的變化對產(chǎn)量存在較為明顯的影響。韓珊等［17］以四川盆地威遠區(qū)塊為研究對象，基于主控因素分析基礎(chǔ)上，優(yōu)選出機器學(xué)習(xí)法作為研究區(qū)頁巖氣單井產(chǎn)量的預(yù)測方法。姜瑞忠等［18］、T.B.Mirza 等［19］、董鵬等［20］、孫召勃等［21］采用不同的方法或模型研究了壓裂水平井產(chǎn)能的變化規(guī)律，認為壓裂后產(chǎn)能受裂縫條數(shù)、裂縫半長、基質(zhì)滲透率、儲層厚度、水平段長度、井控區(qū)域等多重因素影響。為建立壓裂后產(chǎn)能預(yù)測模型，趙紅兵［22］利用灰色關(guān)聯(lián)法、多元線性回歸等方法建立了產(chǎn)能預(yù)測公式，預(yù)測結(jié)果誤差小于7.8%。馬亮亮［23］通過建立大慶油田某致密油藏水平井單井產(chǎn)能模型，對非均質(zhì)致密油藏的水平井產(chǎn)量進行了動態(tài)分析。

雖然通過眾多學(xué)者的大量研究，目前的油井產(chǎn)能預(yù)測的精度越來越高，但依然存在著進一步優(yōu)化的空間，包括參數(shù)設(shè)計、簡化計算等方面均有待進一步提高。在前人已有研究成果基礎(chǔ)之上，基于統(tǒng)一壓裂設(shè)計理論的支撐劑指數(shù)法，本文構(gòu)建了水平井分段壓裂的無因次生產(chǎn)指數(shù)計算模型。通過計算推導(dǎo)求得無因次生產(chǎn)指數(shù)的影響因素，然后借用支撐裂縫流動效率優(yōu)化無因次裂縫導(dǎo)流能力及無因次生產(chǎn)指數(shù)，采用多元線性回歸方法建立最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力及最優(yōu)無因次生產(chǎn)指數(shù)與多重影響因素的關(guān)聯(lián)式，討論樣本集和非樣本集的關(guān)聯(lián)式預(yù)測值與計算值的相對誤差。研究成果對非常規(guī)油氣水平井壓裂后產(chǎn)能預(yù)測等參數(shù)優(yōu)化提供了一定的理論指導(dǎo)。

1 水平井壓裂后無因次生產(chǎn)指數(shù)計算模型

基于M.Economides 等［24］提出的統(tǒng)一壓裂設(shè)計理論（Unified Fracture Design），假設(shè)沿井的地層滲透率相同，水平井長度為L，裂縫半長為xf，矩形滲流區(qū)域長邊長度為xe，分段壓裂形成的裂縫條數(shù)為N（圖1），每條壓裂裂縫控制區(qū)域均一、相互之間不干擾（圖1 中由虛線區(qū)分開），則水平井壓裂后無因次生產(chǎn)指數(shù)JDH為N個人工裂縫控制的矩形滲流區(qū)域的無因次生產(chǎn)指數(shù)JD之和，其表達式為

圖1 致密油氣儲層水平井分段壓裂示意Fig. 1 Schematic diagram of staged fracturing of horizontal well in tight oil and gas reservoirs

式中：JDH——水平井分段壓裂后的無因次生產(chǎn)指數(shù)；

N——分段壓裂形成的裂縫條數(shù)；

JD——人工裂縫控制的矩形滲流區(qū)域的無因次生產(chǎn)指數(shù)。

將流體流動分為2 個階段：第1 階段是從儲層流入裂縫，為線性流動；第2 階段是在裂縫內(nèi)部的流動，為徑向收斂。這種流動的組合會導(dǎo)致額外的壓降，通過表皮系數(shù)（Sc）來解釋。另外，假設(shè)矩形滲流區(qū)域壓裂垂直井的無因次生產(chǎn)指數(shù)為JDV。因而可以得到考慮向井流效應(yīng)情況下人工裂縫控制矩形滲流區(qū)域的無因次生產(chǎn)指數(shù)JD，其表達式為［25-26］：

式中：Sc——向井流表皮系數(shù)；

h——儲層厚度，m；

xf——裂縫半長，m；

rw——井筒半徑，m；

CfD——無因次裂縫導(dǎo)流能力；

JDV——矩形滲流區(qū)域壓裂垂直井無因次生產(chǎn)指數(shù)。

由式（2）可知，JD由Sc和JDV決定。Sc受無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD、裂縫半長xf、儲層厚度h和井筒半徑rw影響，接下來討論JDV會受到哪些參數(shù)的影響。為了得到矩形滲流區(qū)域壓裂垂直井無因次生產(chǎn)指數(shù)JDV，需要考慮矩形滲流區(qū)域的支撐劑數(shù)Nprop，m。假設(shè)支撐劑支撐縫高等于儲層厚度h，根據(jù)支撐劑數(shù)定義，其表達式為：

式中：Nprop，m——矩形滲流區(qū)域的支撐劑數(shù)；

Kf——支撐裂縫滲透率，10-3μm2；

K——儲層基質(zhì)滲透率，10-3μm2；

Vr——水平井分段壓裂后裂縫控制的矩形滲流區(qū)域儲層體積，m3；

Vp——支撐劑體積，m3；

xe——矩形滲流區(qū)域長度，m；

ye——矩形滲流區(qū)域?qū)挾?，m；

Nprop——正方形滲流區(qū)域支撐劑數(shù)；

CA——矩形滲流區(qū)域形狀因子。

低滲透油氣藏采用水平井分段壓裂工藝進行增產(chǎn)改造，形狀因子滿足CA=xeye=NxeL＞1，經(jīng)過修正后的等效支撐劑數(shù)滿足Nprop，m=NpropCA＞0.1，則矩形滲流區(qū)域壓裂垂直井的無因次生產(chǎn)指數(shù)可表述為［27］

式中：Nprop=Ix2CfD，其中，Ix為裂縫穿透比，表述為Ix= 2xfxe。

由以上可知，JDV是關(guān)于無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD、矩形滲流區(qū)域長度xe、矩形滲流區(qū)域?qū)挾葃e和裂縫半長xf的函數(shù)。因此，JD是由無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD和裂縫半長xf等幾個容易測得的參數(shù)共同決定的。因為JDH是N個JD的總和，故而JDH也受到以上因素的影響，其中，CfD是關(guān)鍵影響參數(shù)。

綜合式（1）—式（7），可得到水平井分段壓裂后的無因次生產(chǎn)指數(shù)JDH的表達式為

2 最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力確定方法

水平井壓裂后產(chǎn)能大小與無因次裂縫導(dǎo)流能力、裂縫半長、裂縫條數(shù)、井控邊界等因素有關(guān)。而在實際壓裂優(yōu)化過程中，無因次裂縫導(dǎo)流能力是關(guān)鍵的核心優(yōu)化參數(shù)。如何選擇最優(yōu)的導(dǎo)流能力非常重要，目前已有眾多學(xué)者對無因次裂縫的導(dǎo)流能力開展了優(yōu)化方法研究，但方法較復(fù)雜，不易推廣使用。借鑒D.Mao 等［28］采用裂縫流動效率確定最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力的思想，當(dāng)裂縫流動效率在50%左右時，對數(shù)正態(tài)導(dǎo)數(shù)dηd ln(CfD)達到最大，與此對應(yīng)的裂縫導(dǎo)流能力即為理論最優(yōu)值（圖2），30 a 后的最終采收率可達到無限導(dǎo)流能力下采收率的90%。裂縫流動效率η定義為裂縫具有有限導(dǎo)流能力的擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)產(chǎn)量q|finite與裂縫具有無限導(dǎo)流能力的擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)產(chǎn)量q|infinite的比值，即

圖2 裂縫流動效率及其導(dǎo)數(shù)隨水平井無因次裂縫導(dǎo)流能力的變化 [29]Fig. 2 Variation of fracture flow efficiency and its derivative with dimensionless fracture conductivity of horizontal well [29]

為了確定最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力，繪制了水平井壓裂后生產(chǎn)指數(shù)隨無因次裂縫導(dǎo)流能力變化的關(guān)系曲線（圖3），基礎(chǔ)輸入?yún)?shù)為：井控邊界xe=360 m，水平井長度L=1 500 m，基質(zhì)滲透率K=0.002×10-3μm2，井筒半徑rw=0.1 m，儲層厚度h=30 m，裂縫半長xf=150 m，裂縫條數(shù)N=100。采用公式（8）計算并繪制JDH及隨CfD的變化趨勢，以期說明最優(yōu)CfD及最優(yōu)JDH。

圖3 無因次生產(chǎn)指數(shù)隨無因次裂縫導(dǎo)流能力的變化Fig. 3 Variation of dimensionless productivity index with dimensionless fracture conductivity

從圖3 中曲線的變化趨勢可知，JDH隨CfD的增大而增大，隨CfD的變化曲線存在一個最高點且曲線在最高點左右兩側(cè)呈對稱分布。當(dāng)CfD≤0.1 時，CfD增加對JDH增大的貢獻較??；當(dāng)0.1 ＜CfD≤1.24 時，CfD增加對JDH增大的貢獻逐漸增大，直至增幅達到最高點；當(dāng)1.24 ＜CfD≤17.58 時，CfD的增加對JDH增大的貢獻依舊較大，但增幅逐漸變??；當(dāng)CfD＞17.58 時，CfD的增加對JDH增大的貢獻較小。

考慮到油氣田在實際生產(chǎn)過程中支撐裂縫的導(dǎo)流能力不斷降低［29-31］，裂縫導(dǎo)流能力達不到理論最佳值，因此需要進一步探討實際生產(chǎn)中的裂縫導(dǎo)流能力最佳值。在實際油氣開采過程中，裂縫導(dǎo)流能力隨著時間的增加一般呈對數(shù)或指數(shù)關(guān)系降低［32-35］。為了使支撐裂縫的導(dǎo)流能力能夠保持更長時間，本文借用潛油電泵工作特性曲線中的最佳排量范圍確定方法［36］，選取1.2 倍的無因次生產(chǎn)指數(shù)JDH和裂縫導(dǎo)流能力CfD的雙對數(shù)正態(tài)導(dǎo)數(shù)的最大值對應(yīng)的CfD和JDH為最優(yōu)值。

3 誤差分析

從公式（8）可知，水平井分段壓裂后無因次生產(chǎn)指數(shù)JDH的大小取決于無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD、水平井長度L、裂縫半長xf、裂縫條數(shù)N、井控邊界xe、儲層厚度h等參數(shù)。為了得到最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力CfD、最優(yōu)無因次生產(chǎn)指數(shù)JDH與水平井長度L、裂縫半長xf、裂縫條數(shù)N、井控邊界xe、儲層厚度h等參數(shù)的關(guān)聯(lián)性，分別選取不同參數(shù)下1.2 倍所對應(yīng)的CfD和JDH為目標(biāo)，采用正交設(shè)計方法和多元線性回歸方法（置信區(qū)間95%）可以獲取其關(guān)聯(lián)式。

正交設(shè)計基礎(chǔ)參數(shù)及計算結(jié)果見表1，多元線性回歸參數(shù)表見表2，基于樣本參數(shù)的預(yù)測結(jié)果誤差分析見圖4。

表1 正交設(shè)計基礎(chǔ)參數(shù)及計算結(jié)果Table 1 Basic parameters and calculation results of orthogonal design

表2 多元線性回歸參數(shù)Table 2 Multi-linear regression parameters

圖4 無因次生產(chǎn)指數(shù)和導(dǎo)流能力樣本預(yù)測誤差Fig. 4 Sample prediction error of dimensionless productivity index and flow conductivity

綜合表1、表2 和圖4 可知，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力、最優(yōu)無因次生產(chǎn)指數(shù)與水平井長度L、裂縫半長xf、裂縫條數(shù)N、井控邊界xe、儲層厚度h等參數(shù)具有很好的關(guān)聯(lián)性，決定系數(shù)R2分別為0.933、0.980，通過回歸得到線性關(guān)系式：

式（10）和式（11）中系數(shù)前面的加減號代表各項參數(shù)與JDH、CfD分別呈正相關(guān)或負相關(guān)，系數(shù)絕對值越大，相關(guān)性越強。以式（10）和式（11）對JDH和CfD進行預(yù)測，預(yù)測值與計算值的平均相對誤差為2.01%和-1.67%，滿足精度要求。

為進一步驗證回歸關(guān)聯(lián)式的準確性，對16 組非回歸樣本進行預(yù)測，預(yù)測和計算結(jié)果、相對誤差分析見表3 和圖5。

表3 非樣本預(yù)測誤差分析結(jié)果Table 3 Non-sample prediction error analysis results

圖5 無因次生產(chǎn)指數(shù)和無因次導(dǎo)流能力的非樣本預(yù)測誤差Fig. 5 Non-sample prediction error of dimensionless productivity index and dimensionless flow conductivity

從表3 和圖5 可知，最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力相對誤差范圍-2.30%～6.53%，平均相對誤差1.83%，最優(yōu)無因次生產(chǎn)指數(shù)相對誤差-3.77%～9.80%，平均相對誤差4.29%，說明基于最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力的水平井壓裂后生產(chǎn)指數(shù)預(yù)測新方法具有很好的適用性。

4 結(jié) 論

（1）基于統(tǒng)一壓裂設(shè)計理論，考慮人工裂縫的向井流效應(yīng)，建立了水平井壓裂后無因次生產(chǎn)指數(shù)計算模型，無因次生產(chǎn)指數(shù)大小與無因次導(dǎo)流能力、水平井長度、裂縫半長、裂縫條數(shù)、井控邊界、儲層厚度等參數(shù)有關(guān)，影響因素值容易獲取，便于計算。

（2）綜合考慮裂縫流動效率和油氣生產(chǎn)過程中裂縫導(dǎo)流能力出現(xiàn)的下降趨勢，確定了1.2 倍所對應(yīng)的CfD為最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力，且此時對應(yīng)的JDH亦為最優(yōu)值。

（3）建立了基于最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力的水平井壓裂后生產(chǎn)指數(shù)預(yù)測新方法，對最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD及對應(yīng)生產(chǎn)指數(shù)JDH進行多元線性回歸，得到了最優(yōu)無因次裂縫導(dǎo)流能力CfD及對應(yīng)生產(chǎn)指數(shù)JDH的預(yù)測表達式，決定系數(shù)R2分別為0.933、0.980；預(yù)測值與計算值的平均相對誤差分別為-1.67%、2.01%，對16 組非回歸樣本進行預(yù)測，預(yù)測值與計算值的平均相對誤差分別為4.29%、1.83%，滿足精度要求，新方法具有很好的適用性。