一個Lebesgue稠密定理在動力系統(tǒng)中的推廣

張俊杰，孫浩宇，王 威①

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.南通理工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，江蘇 南通 226002）

0 引言

Lebesgue微分定理是實變函數(shù)論［1-3］中的一個經(jīng)典結(jié)論，該定理指出：對于幾乎處處的點x∈Rn，有

其中f為Rn上的Lebesgue 可積函數(shù)，m為Rn上的Lebesgue 測度。稱滿足上述等式的點為Lebesgue稠密點［4］。該定理表明，對于幾乎處處的點，局部可積函數(shù)取值等于圍繞該點小球上的平均值在球半徑趨近于0 時的極限。Lebesgue 稠密定理是Lebesgue 微分定理的一種特殊情況。Lebesgue稠密定理指出，對Rn中任意具有正Lebesgue測度可測集E，對幾乎所有的點x∈E，有

作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)經(jīng)典分析工具，Lebesgue稠密定理在測度論、實分析、動力系統(tǒng)和調(diào)和分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域起到關(guān)鍵作用。在過去的幾十年，有學(xué)者［5-10］做關(guān)于Lebesgue 稠密定理的拓展研究。Khan［11］研究發(fā)現(xiàn)，勒貝格稠密定理在算法隨機性的最新發(fā)展中發(fā)揮至關(guān)重要作用，例如解決ML-covering和ML-cupping問題。隨后，Bingham 等［12］在拓?fù)淙荷涎芯砍砻芡負(fù)湎嚓P(guān)性質(zhì)，研究發(fā)現(xiàn)可以同時處理（Bair）類別情況和（Lebesgue 或Haar）測量情況，即在原始拓?fù)浜秃线m加細(xì)（稠密拓?fù)洌┲g切換。Andretta 等［13］在N2空間上研究測度代數(shù)，總結(jié)在此條件下稠密函數(shù)與Lebesgue稠密定理的基本結(jié)果。糜澤亞［4］證明在固定的收縮集下，離散動力系統(tǒng)生成的動力系統(tǒng)球族條件下勒貝格稠密定理的準(zhǔn)確性。Bienias 等［14］稠密點概念對理想收斂的推廣框架，并證明在此定義下關(guān)于稠密點的經(jīng)典性質(zhì)依然成立。此外，還構(gòu)造一族Cantor集合，證明Lebesgue稠密定理不能在此方向上成立。

若用其他收縮集族來代替Lebesgue稠密定理中經(jīng)典的歐幾里得球族，那么與該收縮集族對應(yīng)的Lebesgue稠密定理是否依然成立？因此，文章主要研究在一般收縮集下，通過動力系統(tǒng)迭代而得到的球族，并驗證它們對應(yīng)的Lebesgue稠密定理準(zhǔn)確性。

1 預(yù)備知識與主要結(jié)論

設(shè)f:Rn→Rn為微分同胚，d為Rn上的歐氏度量，m為Rn上的Lebesgue 測度。記Bn(x,r)=f-n(B(fn(x),r))，n∈N，稱Bn(x,r)為在x處半徑為r的動力系統(tǒng)球。糜澤亞［4］給出固定收縮集下的擴張集定義，文章在此基礎(chǔ)上，給出其他一般收縮集族下的擴張集定義。

定義2［4］設(shè)x∈Rn，稱一族可測集{ }Ui是關(guān)于點x是良收縮的，如果點x滿足存在常數(shù)c ＞0，數(shù)列ri→0，使得對任意i∈N 和Ui?B(x,ri)，都有m(Ui)≥cm(B(x,ri))。本文主要結(jié)論如下。

設(shè)可測集A為Rn中的n≥1擴張集，其中f:Rn→Rn為C2微分同胚。有如下引理和命題。

引理1 對任意x∈A和n∈N，有Bn(x,r)?B(x,λnr)。

證明 對任意n∈N，任取點y∈Bn(x,r)，根據(jù)擴張集，可得

因此y∈B(x,λnr)，即Bn(x,r)?B(x,λnr)。

下面均假設(shè)存在常數(shù)c ＞0，使得對任意成立。

引理2 對任意k,n∈N 和x∈A，存在常數(shù)Tk，有m(B(fn(x),r))≤Tkm(f-kB(fn+k(x),r))。

又因為f:Rn→Rn為C2的微分同胚，所以對任意i∈N，有λni為λn的子序列。因此，存在常數(shù)c0＞0，使得

當(dāng)α=exp(λ2rc0)，引理3即可得證。

命題1 對任意k,n∈N，x∈A，存在常數(shù)ck ＞0，滿足m(Bn(x,r))≤ckm(Bn+k(x,r))。

2 主要結(jié)果證明

基于上述討論，下面完成定理的證明。

證明 首先對任意θ∈(0,1)，令

事實上，只需證明對任意θ∈(0,1)，有m(Aθ)=0 即可。

對任意ε ＞0，不妨取開集U，使得Aθ?U，并滿足。定義Aθ的一個覆蓋

在W中取出一列不相交的集合?？紤]子族Wi1={Bi1(x,r)|Bi1(x,r)∈W,且對任意Bn(x,r)∈W,i1≤n}。任意

3 結(jié)語

Lebesgue稠密定理在實變函數(shù)論中扮演著重要角色，其推廣和應(yīng)用成為眾多學(xué)者研究焦點。對于經(jīng)典的Lebesgue微分定理和Lebesgue稠密定理，都是考察在規(guī)則的歐幾里得球條件下，研究歐幾里得球半徑趨向于0時的積分或者測度。本文首先給出擴張集和良收縮的定義，然后給出在一般收縮集下，通過動力系統(tǒng)迭代球族相關(guān)性質(zhì)，最后驗證這些球族所對應(yīng)的Lebesgue稠密定理仍然成立。這對Lebesgue稠密定理的拓展研究具有重要的影響。同時，它也在處理涉及測度迭代估計的動力學(xué)問題上具有重要理論意義。