彈性套圈壁厚對(duì)保持架動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和軸承振動(dòng)的影響

趙闖,楊思雨,吳敏,汪舟

(武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車(chē)零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430070)

角接觸球軸承是高速機(jī)床的基本支承結(jié)構(gòu),在工程實(shí)際中,軸承套圈的彈性變形會(huì)改變軸承系統(tǒng)的內(nèi)部載荷,進(jìn)而導(dǎo)致機(jī)床動(dòng)態(tài)性能下降,同時(shí)保持架是易出現(xiàn)問(wèn)題的軸承零件之一,保持架轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)顯著影響球軸承的動(dòng)態(tài)行為。因此,有必要建立一個(gè)考慮套圈彈性變形和保持架渦動(dòng)的球軸承動(dòng)力學(xué)模型來(lái)研究軸承各零件的動(dòng)態(tài)行為。

早期,文獻(xiàn)[1]提出溝道控制理論,建立球軸承的數(shù)學(xué)模型;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[2]提出了經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型,包括靜力學(xué)、擬靜力學(xué)和擬動(dòng)力學(xué)模型;后來(lái),文獻(xiàn)[3]又考慮球、溝道和潤(rùn)滑介質(zhì)之間的相互作用,建立了分析球打滑和運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型:這些模型被廣泛用于研究軸承內(nèi)部載荷分布、疲勞壽命等動(dòng)態(tài)性能。

文獻(xiàn)[4]采用控制軸承零件相互作用的微分方程研究球的運(yùn)動(dòng)和滑動(dòng)特性;文獻(xiàn)[5]通過(guò)使用接觸剛度和阻尼的等效參數(shù)建立五自由度軸承的動(dòng)力學(xué)模型分析球的動(dòng)態(tài)行為;文獻(xiàn)[6]考慮滾道波紋度建立了一個(gè)時(shí)變摩擦計(jì)算模型,并分析了波紋度振幅、軸速、徑向力和波紋度順序?qū)r(shí)變摩擦力的影響;文獻(xiàn)[7]考慮球與保持架兜孔之間的法向力、切向力以及球與溝道之間的牽引力和力矩等,分析了自潤(rùn)滑軸承保持架的穩(wěn)定性和打滑特性:上述研究未考慮保持架渦動(dòng),難以精確獲得軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。

目前,文獻(xiàn)[8]在保持架動(dòng)力學(xué)分析中引入了球與保持架兜孔的相互作用以及保持架與引導(dǎo)面之間的相互作用;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[9-11]分析了工況條件、裝配誤差和熱相關(guān)間隙(熱膨脹引起軸承的相關(guān)間隙變化)對(duì)球、保持架和套圈之間相互作用的影響;此外,文獻(xiàn)[12-13]建立了考慮彈性流體潤(rùn)滑和保持架渦動(dòng)的球軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型,研究保持架的結(jié)構(gòu)尺寸和材料對(duì)軸承動(dòng)態(tài)行為的影響以及保持架渦動(dòng)、球滑動(dòng)和軸承套圈振動(dòng)之間的相互作用機(jī)制。然而,這些非線性動(dòng)力學(xué)模型均基于軸承套圈剛性假設(shè),事實(shí)上套圈也會(huì)產(chǎn)生不均勻的徑向變形,進(jìn)而影響球軸承的動(dòng)態(tài)行為。

文獻(xiàn)[14]建立了考慮滾子、套圈和保持架柔性的數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行了深入的振動(dòng)分析;文獻(xiàn)[15]提出了一種擬動(dòng)力學(xué)模型研究軸承套圈變形對(duì)薄壁滾子軸承動(dòng)態(tài)行為的影響。這些數(shù)學(xué)模型中考慮了外圈柔性,但忽略了保持架渦動(dòng)、球滑動(dòng)和套圈振動(dòng)之間的相互作用。

因此,本文建立一個(gè)考慮套圈彈性變形和保持架渦動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證其有效性,并分析套圈壁厚對(duì)球軸承動(dòng)態(tài)行為的影響。

1 角接觸球軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型

在球軸承的設(shè)計(jì)階段,精確模擬球軸承的動(dòng)態(tài)行為以獲得最佳動(dòng)態(tài)性能至關(guān)重要。文獻(xiàn)[16]將球、保持架、套圈的動(dòng)力學(xué)模型以及彈流潤(rùn)滑模型整合到軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型中?；诖?本文以彈性套圈代替剛性套圈。

1.1 彈性套圈的變形

在高轉(zhuǎn)速下,內(nèi)圈受離心力作用而膨脹,變形量為[16]

(1)

式中:ρi,Ei,νi分別為內(nèi)圈材料的密度、彈性模量和泊松比;ωi為內(nèi)圈角速度;d,D分別為軸承內(nèi)、外徑。

外圈與軸承座之間為間隙配合,球的載荷和軸承座支承反力引起的彎矩使外圈產(chǎn)生非均勻變形,如圖1所示。

(a) 外圈與軸承座間隙配合示意圖

外圈和軸承座孔表面形狀是連續(xù)的,外圈與軸承座孔之間的變形也是連續(xù)分布的,兩表面存在一個(gè)接觸區(qū)域,在外圈方位角φ處的接觸干涉量u(φ)為[15]

u(φ)=(Rh-Re)cosφ/cosβ-(Rh-Re)(1-cosφ)+δte(φ);-β<φ<β,

(2)

Kg(φ,φ)=K0+K1cos(φ-φ)+K2cos2(φ-φ),

式中:Rh為軸承座孔半徑;Re為外圈外徑面半徑;β為外圈與軸承座的接觸半角;δte(φ)為外圈的徑向彈性變形;Z為球數(shù);ψj為第j個(gè)鋼球的方位角;Qej為球與外圈的接觸載荷;P(φ)為軸承座與外圈的接觸壓力;φ為外圈與軸承座接觸區(qū)域內(nèi)的位置角;K0,K1,K2為剛度系數(shù)[17];R為外圈的平均半徑;Ee為外圈材料彈性模量;I為外圈材料彎曲模量;Гc為外圈壁厚;Kg(ψj,φ)為與方位角ψj處的作用力和方位角φ處的彈性變形有關(guān)的系數(shù)矩陣;Kg(φ,φ)為與方位角φ處的作用力和方位角φ處的彈性變形有關(guān)的系數(shù)矩陣。

接觸干涉量u(φ)與接觸壓力P(φ)之間的關(guān)系為

(3)

式中:Ehe為等效彈性模量。

在鋼球?qū)ν鉁系赖慕佑|載荷和軸承座對(duì)外圈的接觸壓力的共同作用下,外圈的平衡方程為

(4)

利用上述方程可以計(jì)算出不同方位角φ處外圈的彈性變形量以及內(nèi)圈的膨脹量,這些尺寸的變化必然顯著改變引導(dǎo)面直徑和內(nèi)、外圈溝底直徑,進(jìn)而影響保持架的渦動(dòng)和軸承各零件的動(dòng)態(tài)力。為方便描述,建立如圖2所示的4個(gè)坐標(biāo)系:

圖2 軸承系統(tǒng)的4個(gè)坐標(biāo)系

1)以軸承中心O為原點(diǎn)建立全局坐標(biāo)系Oxyz,在該坐標(biāo)系中內(nèi)圈繞y,z軸偏轉(zhuǎn),并沿x,y,z軸平移。

2)以鋼球中心Ob為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Obx′y′z′,球沿x軸旋轉(zhuǎn),在該坐標(biāo)系中球分別以角速度ωx′,ωy′,ωz′繞x′,y′,z′軸旋轉(zhuǎn)。

3)以保持架中心Oc為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Ocxcyczc,保持架沿xc軸旋轉(zhuǎn)并在ycOczc平面內(nèi)平移。

4)以接觸橢圓中心O″為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O″x″y″z″,x″軸沿接觸橢圓長(zhǎng)半軸方向,y″軸沿接觸橢圓短半軸方向,z″軸垂直于接觸面。

假定最初保持架中心位于外圈中心,鋼球中心位于保持架兜孔中心。

1.2 保持架與彈性引導(dǎo)面之間的相互作用

保持架與彈性引導(dǎo)面之間的相互作用如圖3所示,外圈彈性變形會(huì)引起引導(dǎo)面變形,從而改變引導(dǎo)間隙,進(jìn)而影響保持架的渦動(dòng),引導(dǎo)面變形后的引導(dǎo)間隙為

圖3 保持架與彈性引導(dǎo)面之間的相互作用示意圖

Cg(φ)=Cgy-0.5Dg+

(5)

保持架中心的偏移角為

(6)

式中:Δyc,Δzc為保持架中心的位移。

保持架的相對(duì)偏心率為

(7)

保持架穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí),保持架和彈性引導(dǎo)套圈在不同方位角的相互作用力近似于短滑動(dòng)軸承流體動(dòng)壓力理論[18],保持架不會(huì)與引導(dǎo)面發(fā)生碰撞,沖擊力為

(8)

式中:η0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的潤(rùn)滑油黏度;rg為引導(dǎo)面半徑;ωe為外圈角速度;ωc為保持架角速度;B為引導(dǎo)面寬度。

保持架不穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí),采用赫茲線接觸理論評(píng)估保持架與引導(dǎo)套圈之間的沖擊力

(9)

式中:μ為保持架與引導(dǎo)面之間的摩擦因數(shù);Lwe為滾子有效接觸長(zhǎng)度;νe為外圈材料的泊松比;νc為保持架材料的泊松比;Ec為保持架材料的彈性模量;δcy和δcz為保持架質(zhì)心在y,z方向的位移;eH為恢復(fù)系數(shù),取0.1。

將保持架坐標(biāo)系Ocxcyczc下的力和力矩轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系Oxyz,則

(10)

1.3 彈性套圈對(duì)球平衡位置的影響

軸承工作時(shí),內(nèi)、外圈與球的相對(duì)位置關(guān)系如圖4所示,套圈的彈性變形會(huì)明顯影響球的平衡位置,從而改變球、保持架和套圈之間的相互作用。當(dāng)套圈發(fā)生彈性變形時(shí),內(nèi)、外圈溝底直徑變?yōu)?/p>

(a) 外圈的徑向彈性變形

(11)

球組節(jié)圓直徑變?yōu)?/p>

(12)

內(nèi)、外圈溝曲率半徑變?yōu)?/p>

(13)

則內(nèi)、外圈溝曲率中心新的軸向、徑向距離為

(14)

式中:Di,De分別為原內(nèi)、外圈溝底直徑;fi,fe分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù);δx,δy,δz分別為內(nèi)圈沿x,y,z方向的位移;?y,?z分別為內(nèi)圈繞y,z方向的偏轉(zhuǎn)角。

根據(jù)勾股定理,新的球平衡位置(X1j,X2j)由下式求解

(15)

式中:δ為接觸變形;α為接觸角;下標(biāo)i,e分別代表內(nèi)、外圈。

1.4 保持架、鋼球和內(nèi)圈的平衡方程

基于上述分析,保持架的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(16)

式中:mc為保持架質(zhì)量;Ic為保持架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Fbc為保持架兜孔與鋼球之間的碰撞力;Fτbc為保持架兜孔與鋼球之間的摩擦力;Fm為保持架的不平衡質(zhì)量引起的不平衡力;Mc為潤(rùn)滑油對(duì)保持架的阻力矩。

鋼球的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(17)

式中:mb為鋼球質(zhì)量;Ib為鋼球自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Im為鋼球公轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Qi,Qe分別為內(nèi)、外圈接觸載荷;Ft為潤(rùn)滑油作用產(chǎn)生的拖曳牽引力;Fcen為鋼球離心力;Mt為潤(rùn)滑油作用產(chǎn)生的拖動(dòng)力矩;Me為潤(rùn)滑油對(duì)鋼球的阻力矩;Mg為鋼球的陀螺力矩;ωm為球公轉(zhuǎn)角速度;Fv為潤(rùn)滑油黏性引起的摩擦力。

內(nèi)圈的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程為

(18)

考慮套圈的彈性變形,將得到的變形代入球軸承動(dòng)力學(xué)模型中,通過(guò)四階龍格-庫(kù)塔算法對(duì)改進(jìn)的模型進(jìn)行求解,時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)定為0.03 ms。

2 模型驗(yàn)證

本文以B7008C角接觸球軸承為研究對(duì)象,采用Gupta的經(jīng)典算例驗(yàn)證本文模型的可靠性,軸承主要參數(shù)見(jiàn)表1。軸向力為2 224 N、內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為10 000 r/min時(shí),保持架質(zhì)心軌跡如圖5所示:本文模型求得的保持架質(zhì)心軌跡與Gupta模型計(jì)算結(jié)果[3]基本一致,說(shuō)明本文模型是可靠的,存在的差異主要是由于保持架材料和潤(rùn)滑油參數(shù)不同。

表1 B7008C角接觸球軸承和Gupta案例軸承的主要參數(shù)

(a) 本文模型

此外,還用保持架轉(zhuǎn)速進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型的可靠性。內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為10 000 r/min,軸向力Fx為0～500 N,徑向力Fz為0時(shí),本文模型軸向力為400 N時(shí)的ωc/ωi值如圖6a所示,保持架轉(zhuǎn)速在某一特定值附近波動(dòng),進(jìn)一步得到ωc/ωi值隨軸向力的變化如圖6b所示,本文模型的ωc/ωi值與文獻(xiàn)[19]試驗(yàn)結(jié)果的趨勢(shì)一致,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的可靠性,文獻(xiàn)[19]在軸向力為100,150 N附近的ωc/ωi值不符合工程實(shí)際,這是因?yàn)樵谛≥d荷下鋼球的滑動(dòng)比較明顯。

(a) 軸向力為400 N時(shí)的ωc/ωi

3 結(jié)果與討論

為研究彈性外圈壁厚Гc對(duì)球軸承動(dòng)態(tài)行為的影響,Гc分別取1.0,2.0,3.0,3.8 mm。軸向力Fx為400 N, 徑向力Fz為100 N(指向方位角0°方向),內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為10 000 r/min,采用外圈引導(dǎo)方式。以140MD44Y2.5電主軸為例,軸承座與外圈之間的間隙為10 μm,其他參數(shù)保持不變。

3.1 球的滑動(dòng)

不同彈性外圈壁厚時(shí)球在內(nèi)、外溝道上的滑動(dòng)速度如圖7所示(fi為內(nèi)圈頻率,fc為保持架頻率):1)對(duì)于剛性外圈,球在內(nèi)、外溝道上的滑動(dòng)產(chǎn)生了周期性波動(dòng);對(duì)于彈性外圈,滑動(dòng)的劇烈波動(dòng)隨著彈性外圈壁厚的減小而加劇,且波動(dòng)規(guī)律相對(duì)于剛性外圈發(fā)生了明顯變化。2)隨著彈性外圈壁厚的減小,低頻時(shí)外溝道上滑動(dòng)主峰逐漸減弱,內(nèi)溝道上的滑動(dòng)主峰先逐漸減弱后加強(qiáng),在高頻時(shí)滑動(dòng)主峰隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸減弱。這些現(xiàn)象與彈性外圈的徑向變形密切相關(guān)。

3.2 套圈的接觸特性

不同彈性外圈壁厚時(shí)套圈的接觸特性如圖8所示。由于軸承座與外圈之間存在間隙,軸承座移動(dòng)造成彈性外圈沿z方向的接觸應(yīng)力,如圖8a所示:接觸區(qū)隨著壁厚的減小而逐漸增大,同時(shí)最大接觸應(yīng)力減小。在非接觸區(qū),外溝道上的接觸載荷促進(jìn)了彈性外圈在90°, 270°附近的徑向變形(圖8b),導(dǎo)致在90°,270°附近出現(xiàn)了最小接觸載荷(圖8c、圖8d),這種變形被180°附近的球與外溝道的接觸所抑制,導(dǎo)致180°附近的接觸載荷被加強(qiáng)。上述分析說(shuō)明彈性外圈的非均勻變形改變了外圈溝底直徑,特別是在90°,270°附近的徑向變形隨著彈性外圈壁厚的增加而增大,與其他方位角的變形相比,這刺激了球的滑動(dòng)波動(dòng),引起球與溝道之間牽引力的變化。

(a) 軸承座與外圈之間的接觸應(yīng)力分布

3.3 球與溝道之間的牽引力

不同彈性外圈壁厚時(shí)球與溝道之間的牽引力如圖9所示:1)相對(duì)于剛性外圈,彈性外圈壁厚的減小會(huì)引起牽引力的特定波動(dòng)并逐漸加強(qiáng)。2)當(dāng)彈性外圈壁厚減小時(shí),低頻波動(dòng)逐漸增強(qiáng), 而高頻波動(dòng)的增加可以忽略不計(jì),此外,牽引力與滑動(dòng)速度的主頻率一致,表明滑動(dòng)會(huì)影響牽引力,進(jìn)而影響內(nèi)圈振動(dòng)。

(a) 外溝道牽引力Fte

3.4 內(nèi)圈加速度

不同彈性外圈壁厚時(shí)內(nèi)圈加速度的頻譜如圖10所示:1)隨著彈性外圈壁厚增加,低頻振動(dòng)逐漸加強(qiáng),當(dāng)彈性外圈壁厚最小(Гc為1.0 mm)時(shí),與剛性外圈相比低頻振動(dòng)非常強(qiáng)烈;盡管最小彈性外圈壁厚比剛性外圈壁厚小,但高頻振動(dòng)還是略有增加。2)球的滑動(dòng)、牽引力和內(nèi)圈振動(dòng)的主頻率明顯一致,表明球的滑動(dòng)和內(nèi)圈振動(dòng)之間存在相關(guān)性。這種動(dòng)態(tài)行為的關(guān)聯(lián)性預(yù)示著球的滑動(dòng)將影響保持架的相互作用力。

(a) 內(nèi)圈沿y軸的加速度aiy

3.5 保持架與球和外圈的相互作用力

不同彈性外圈壁厚時(shí)保持架的相互作用力如圖11所示:1)當(dāng)彈性外圈壁厚最小(Гc=1.0 mm)時(shí),保持架兜孔與球之間的相互作用力Fbc在0.051 5 N附近產(chǎn)生劇烈波動(dòng),表明保持架連續(xù)穩(wěn)定地驅(qū)動(dòng)球。低頻和高頻的主要峰值隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸增加,特別是保持架與鋼球的碰撞頻率與滑動(dòng)速度的頻率一致,表明Fbc與球的滑動(dòng)密切相關(guān)。2)保持架與外圈之間的相互作用力Fcg隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸減小,且低頻波動(dòng)逐漸增強(qiáng),高頻波動(dòng)逐漸減弱。Fbc,Fcg的高頻波動(dòng)差異可能是由外圈的徑向變形造成的,不同彈性外圈壁厚時(shí)外圈在90°,270°附近的巨大徑向變形導(dǎo)致引導(dǎo)間隙增加,從而減弱了高頻波動(dòng),且徑向變形越大高頻波動(dòng)越小。此外,頻譜分析證實(shí)了保持架、球與外圈之間的相互作用,鋼球所受拖動(dòng)力、外圈作用在鋼球上的接觸載荷以及保持架受到鋼球碰撞力的頻率的一致性,表明彈性外圈壁厚會(huì)影響保持架的渦動(dòng)。

(a) 保持架兜孔與球之間的相互作用力Fbc

3.6 保持架的渦動(dòng)特性

不同彈性外圈壁厚時(shí)保持架的渦動(dòng)特性如圖12所示:1)隨彈性外圈壁厚減小,主導(dǎo)高頻的主峰普遍增加,而在主導(dǎo)低頻時(shí)則相反。2)隨彈性外圈壁厚減小,保持架質(zhì)心軌跡半徑減小。3)彈性外圈壁厚Гc為1.0 mm時(shí)的非重復(fù)跳動(dòng)(Non-Repeatable Run-Out,NRRO)[20]明顯增加,最大分布范圍(Maximum Distribution Range,MDR)也增加。這些現(xiàn)象表明彈性外圈削弱了保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,也就是說(shuō)外圈壁厚越小,保持架動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性越差。

(a) 保持架加速度

3.7 小結(jié)

彈性外圈的非均勻變形由軸承座與外圈之間的間隙以及外溝道上的接觸載荷引起,這種非均勻變形加劇了球的滑動(dòng)波動(dòng),這種波動(dòng)相比于剛性外圈更劇烈,引起了與球的滑動(dòng)具有相同主頻率的劇烈波動(dòng)的牽引力。這些波動(dòng)的牽引力增加了內(nèi)圈的振動(dòng),特別是球的滑動(dòng)、牽引力和內(nèi)圈振動(dòng)的頻率的一致性,證實(shí)了球的滑動(dòng)與內(nèi)圈振動(dòng)密切相關(guān)。此外,彈性外圈的非均勻變形加劇了球與保持架兜孔之間相互作用力的波動(dòng),并進(jìn)一步增加了保持架與引導(dǎo)面之間的相互作用力,從而產(chǎn)生了一致的頻率。值得注意的是,由徑向變形引起的非均勻變形引導(dǎo)面導(dǎo)致相互作用力Fbc,Fcg在高頻下的波動(dòng)規(guī)律相反。這些變化的相互作用力顯著影響了保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和振動(dòng)。相關(guān)分析表明彈性外圈削弱了保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,當(dāng)彈性外圈壁厚明顯減小時(shí),保持架的渦動(dòng)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生小的渦動(dòng)半徑,而高頻振動(dòng)普遍增加,低頻振動(dòng)則減少。因此,厚的彈性外圈有利于提高保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,減小軸承系統(tǒng)的振動(dòng)。

4 結(jié)論

建立了考慮套圈彈性變形和保持架渦動(dòng)的角接觸球軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型,并通過(guò)保持架質(zhì)心軌跡以及保持架與內(nèi)圈轉(zhuǎn)速比驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性,在此基礎(chǔ)上分析了外圈壁厚對(duì)球滑動(dòng)、保持架渦動(dòng)和內(nèi)圈振動(dòng)的影響,得到以下結(jié)論:

1)內(nèi)圈振動(dòng)、牽引力、球滑動(dòng)和保持架的相互作用力主頻率的一致性,證實(shí)了保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性、軸承零件的相互作用力、球的滑動(dòng)和內(nèi)圈振動(dòng)之間的相關(guān)性。

2)當(dāng)彈性外圈壁厚減小時(shí),保持架的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性減弱,產(chǎn)生小的渦動(dòng)半徑,同時(shí)高頻振動(dòng)增加,低頻振動(dòng)減小。