基于DQ的耙式干燥機攪拌軸動力響應分析

李祥宇,李俊林,謝秀峰

(太原科技大學 應用科學學院,太原 030024)

真空耙式干燥機工作時,被干燥物料在不斷轉(zhuǎn)動的耙齒的攪拌下進行間歇式干燥。攪拌軸是攪拌系統(tǒng)的關鍵部分,它從連接著的電機傳遞扭矩到耙齒,由于攪拌軸在攪拌過程中承受著較大的彎曲載荷,因此攪拌軸容易產(chǎn)生彎曲疲勞破壞[1]。 隨著我國建設資源節(jié)約型,環(huán)境友好型社會的發(fā)展,真空耙式干燥機憑借其高效節(jié)能,環(huán)保的特點表現(xiàn)出良好的應用前景,攪拌軸是攪拌系統(tǒng)的核心部件,它的設計直接影響干燥效率,干燥成本和經(jīng)濟效益。通常把攪拌軸當作簡支梁振動問題來研究。Ola Ragb研究了基于非線性彈性基礎的壓電復合材料板的自由振動問題。采用彈性力學和壓電力學的三維理論推導了運動控制方程。采用微擾法和迭代求積公式對所得到的方程進行了求解[2]。陳姍為了研究簡諧載荷作用下粘彈性梁振動的非線性動力學行為,建立了相應的粘彈性橫向振動非線性動力學模型[3]。K.Torabi提出來一種求解具有一般邊界條件的多裂紋非均勻Timoshenko梁橫向自由振動的微分求積法,利用微分求積模擬方法,導出了控制方程,損傷界面上的協(xié)調(diào)條件以及外部邊界條件的實現(xiàn)[4]。Maziar Janghorban研究了基于Timoshenko梁理論的矩形截面碳納米線的靜力和自由振動分析,采用微分求積法(DQM)求解控制方程[5]。人們對Timoshenko梁的力學特征進行研究時,主要研究了它處于自由振動[6]的力學情況,但處于受迫振動條件下的Timoshenko梁的研究工作做得還不是很多。DQM是一個強有力的求解科學與工程中出現(xiàn)的偏微分方程數(shù)值解的離散化方法,他們解決了具有不同邊界條件的梁和矩形板的彎曲和振動問題[7]。

真空耙式干燥機攪拌軸承受著復雜激勵,本文將周期激勵引入到干燥機攪拌系統(tǒng)中,把攪拌軸簡化地看作簡支梁,在兩端為簡支的條件下,研究攪拌軸受到周期激勵時的疲勞斷裂問題。首先運用Timoshenko梁彎曲理論[8]推導出梁的含有邊界條件的控制方程,運用微分求積法求出攪拌軸的撓度矩陣,給出攪拌軸中點撓度隨軸長度,半徑,密度,彈性模量的變化關系。

1 真空耙式干燥機攪拌軸振動模型

本文把真空耙式干燥機攪拌軸簡化為一個簡支梁模型,長度為L,兩端受到軸徑向力N,受到由一系列疊加的簡諧載荷Fi=(Q/2+2Q/π)[sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]構(gòu)成的隨時間和軸向位置變化的周期激勵p(x,t)=Fi·sinωit,攪拌軸微段受力與變形如圖1所示,考慮梁的剪切耦合彎曲,應用修正Timoshenko梁理論的平衡方程,得到攪拌軸撓度控制微分方程。

圖1 攪拌軸微受力與變形Fig.1 Micro force and deformation of stirring shaft

圖中dx:梁微段的長度;dv:梁微段的撓度;Q:梁上的內(nèi)力剪力;M:梁上的內(nèi)力彎矩;G:剪切模量;E:彈性模量;θ:截面轉(zhuǎn)角,由于梁微段的彎曲變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;γ:剪切轉(zhuǎn)角,由于梁微段的剪切變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;φ:梁中性軸的轉(zhuǎn)角;p(x,t):梁上的分布荷載;A:攪拌軸橫截面積;I:截面慣性矩;μ:剪切修正因子。

(1)

假設梁微段產(chǎn)生小變形,根據(jù)豎向力平衡,給出剪力平衡方程

(2)

彎矩平衡方程

(3)

剪切物理方程

(4)

彎曲物理方程[9]

(5)

將(4)(5)分帶入(2)(3)得,

(6)

(7)

化簡整理消去θ得:

(8)

p(x,t)=Fi·sinωit

(9)

Fi=(Q/2+2Q/π)

[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]

(10)

將真空耙式干燥機攪拌軸的撓度控制方程中的自變量離散區(qū)間無量綱化為[0,1],得到攪拌軸撓度控制方程無量綱化形式為:

(11)

2 微分求積法

微分求積法(Differential quadrature method)是Bellman等提出的一類微分方程數(shù)值求解的新方法[10]。微分求積法因其原理簡單,計算量小但計算精度較高而備受學者關注,被廣泛應用在結(jié)構(gòu)力學等領域[11]。

微分求積法的原理是將函數(shù)在各節(jié)點處的導數(shù)值近似為全域上離散化的所有點上的函數(shù)值的加權和[12]。采用微分求積法離散空間變量和時間變量的導數(shù),假設撓度函數(shù)v(x)在區(qū)間[x1,xNX]和[t1,tNτ]上是足夠光滑的,NX,Nτ代表不同的節(jié)點,

x1

(12)

t1

(13)

假設這些點上的函數(shù)值為:

(14)

根據(jù)DQM,每個節(jié)點上的導數(shù)由以下給出[13]:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

因此得出

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

影響微分求積法求解精度的關鍵因素之一是網(wǎng)格點的選擇[16]。一般采用切比雪夫多項式在[-1,1]區(qū)間的零點作為網(wǎng)格點[17]。本文采用非均勻間隔的DQM網(wǎng)格點,由以下方程給出:

(28)

(29)

因此運用微分求積法離散攪拌軸撓度控制方程得到:

(30)

可將撓度方程表示為矩陣形式:

[D]·{V}={F}

(31)

其中[D]為方程的系數(shù)矩陣,{V}為撓度矩陣,{F}隨時間和攪拌軸軸向位置變化的外部周期載荷。F=(Q/2+2Q/π)·[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)]·sin(ωit(i))是運用傅里葉變換表示為若干個正弦型簡諧激勵的疊加的情形,許多工程問題皆采用此類的外部周期激勵。

把真空耙式干燥機攪拌軸看作簡支梁計算,任一時間點在兩個支撐點x=0和x=L處梁的橫向位移和所受的彎矩為零,即:

(32)

這里運用節(jié)點替代法解決只含有兩個邊界條件的振動微分方程,利用與攪拌軸兩端相隔一個步長的點來代替邊界條件[18],即式(20)中(i=1,2,NX-1,NX)的方程,得到4Nτ個線性方程,運用matlab編程,求出線性方程組的數(shù)值解,即撓度矩陣。

3 算例分析

根據(jù)實驗研究,令在攪拌工況下的真空耙式干燥機攪拌軸長度L=7 m,軸直徑D=0.12 m,攪拌軸材料一般選用碳鋼,令軸密度ρ=7.83×103kg/m3,彈性模量E=2.07×1011Pa,攪拌軸轉(zhuǎn)速為8 r/min,依據(jù)流體力學知識,對攪拌軸的受力分析計算,令攪拌葉片對攪拌軸的徑向力Q=2 000 N,Fi=(Q/2+2Q/π)·[(sin4π·x(i)+1/3sin12πx(i)].求出攪拌軸在此外部激勵下外部載荷為Fi·sinωiτ,隨攪拌軸軸向位置及一個周期時間變化的撓度。圖2給出了攪拌工況下攪拌軸撓度控制方程的解,其中x軸為攪拌時間與周期之比,y軸為攪拌軸的軸向位置與攪拌軸長度之比,z軸為攪拌軸撓度。由圖2可以得出,攪拌軸撓度最大值發(fā)生在攪拌軸軸向位置與攪拌軸長度之比為0.5,即最大變形的位置在攪拌軸的中點,一個周期內(nèi)發(fā)生最大變形的時間是在攪拌時間與周期之比為0.9,即攪拌軸發(fā)生最大變形的時刻為0.9周期.攪拌軸在工況下受到物料的流體阻力,自身重力和軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力等作用,因此承受較大的彎曲載荷,容易產(chǎn)生疲勞破壞。由于最大變形的位置在攪拌軸的中點,攪拌軸中點撓度隨軸材料參數(shù)、軸長度、軸半徑、軸彈性模量、軸密度的變化而變化。

圖2 攪拌軸撓度Fig.2 Deflection of stirring shaft

令攪拌工況下的攪拌軸直徑D=0.12 m,軸長度L=7 m軸彈性模量,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸徑向力從1 000 N增加到5 000 N時,圖3表明在攪拌軸中點撓度隨軸徑向力是成比例增大的,t=4/7周期時刻,隨著軸徑向力的增加攪拌軸中點撓度增大得較快。

圖3 攪拌軸中點撓度隨軸徑向力的變化關系Fig.3 Relationship between point deflection of stirring shaft and axial/radial force

令攪拌工況下的軸直徑D=0.16 m,軸彈性模量E=2.07×1011Pa,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸徑向力Q=2 000 N,軸長L從6 m增大到8 m時,圖4表明當在t=4/15周期時刻,軸長為7.76 m攪拌軸中點撓度出現(xiàn)最大值;在t=6/15周期時刻,軸長為7.7 m攪拌軸中點撓度出現(xiàn)最大值;在t=8/15周期時刻,軸長大于7.45 m時攪拌軸中點撓度出現(xiàn)開始出現(xiàn)較大值;圖4表明其余長度位置撓度平穩(wěn)波動。攪拌軸其他參數(shù)不變時,攪拌軸中點撓度最大值出現(xiàn)在軸長度較大的位置。

圖4 攪拌軸中點撓度隨軸長度的變化關系Fig.4 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft length

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力為Q=2 000 N,軸密度為ρ=7.83×103kg/m3,彈性模量為E=2.07×1011Pa,軸直徑從0.08 m增大到0.16 m,圖5表明在t=4/15周期,t=6/15周期,t=8/15周期,在軸半徑較小時,攪拌軸中點撓度值較大,并且波動較大,隨著軸半徑越大,攪拌軸中點撓度而后平穩(wěn)波動,最終趨向于0.

圖5 攪拌軸中點撓度隨軸半徑的變化關系Fig.5 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft radius

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力為Q=2 000 N,軸直徑D=0.12 m,彈性模量為E=2.065×1011Pa,軸密度從7.81×103kg/m3增大到7.85×103kg/m3,圖6表明在軸密度在(7.836×103～7.837×103)kg/m3這個小范圍內(nèi)攪拌軸中點撓度容易出現(xiàn)較大值。

圖6 攪拌軸中點撓度隨軸密度的變化關系Fig.6 Relationship between point deflection of stirring shaft and shaft density

令攪拌工況下的攪拌軸長度L=7 m,軸徑向力Q=2 000 N,軸直徑為D=0.12 m,軸密度ρ=7.83×103kg/m3,軸彈性模量從2.0×1011Pa增大到2.1×1011Pa,圖7表明在t=8/15周期,軸彈性模量在(2.027×1011～2.029×1011)Pa的范圍時,攪拌軸中點撓度值出現(xiàn)較大波動,其余位置平穩(wěn)波動。

圖7 攪拌軸中點撓度隨軸彈性模量的變化關系Fig.7 Relationship between point deflection of stirring shaft and elastic modulus of shaft

4 結(jié)論

本文采用微分求積法離散周期激勵下的真空耙式干燥機攪拌軸的撓度控制方程,因為攪拌軸中點位置發(fā)生的彎曲變形最大,研究分析了工況條件下,攪拌軸中點撓度隨軸半徑、軸長度、軸密度、軸彈性模量的變化關系,得出以下結(jié)論:在軸半徑較小時,攪拌軸中點撓度值較大,并且波動較大,隨著軸半徑越大,攪拌軸中點撓度而后平穩(wěn)波動,最終趨向于0;攪拌軸其他參數(shù)不變時,攪拌軸中點撓度最大值出現(xiàn)在軸長度較大的位置;軸密度值在(7.836×103～7.837×103)kg/m3的小范圍時,攪拌軸中點撓度容易出現(xiàn)較大值;在軸彈性模量為(2.027×1011～2.029×1011)Pa的范圍時,攪拌軸中點撓度值出現(xiàn)較大波動,其余位置平穩(wěn)波動。本文對周期激勵條件下真空耙式干燥機攪拌軸進行振動響應分析,采用微分求積法研究不同軸材料參數(shù)和幾何特性對攪拌軸中點撓度的影響,從而優(yōu)化攪拌軸參數(shù),使其滿足實際工程中攪拌軸的設計需要,提高干燥效率,降低生產(chǎn)和工作成本。