從火熱的思考到冰冷的美麗
——2021 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試(A2 卷)第四題的詳細(xì)分析

江蘇省常州高級(jí)中學(xué)(213003) 李泊明

問(wèn)題將連續(xù)k個(gè)正整數(shù)從小至大依次寫(xiě)下后構(gòu)成一個(gè)正整數(shù),稱為k-連續(xù)數(shù).例如依次寫(xiě)下99,100,101 后得到99100101,是一個(gè)3-連續(xù)數(shù).證明: 對(duì)任意正整數(shù)N,k,存在一個(gè)k-連續(xù)數(shù)被N整除.

官方標(biāo)準(zhǔn)答案[1]簡(jiǎn)直拒人千里之外.

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式:“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)的思想,以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開(kāi)發(fā)表出來(lái).一個(gè)問(wèn)題被解決后,相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧,結(jié)果把求解過(guò)程丟在一邊,使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗.”

分析(1)設(shè)滿足條件的連續(xù)k個(gè)正整數(shù)依次為:x,x+1,x+2,…,x+k-1.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)它們都是m位數(shù).

評(píng)注1這當(dāng)然可以做到,只要m取得足夠大.

評(píng)注2關(guān)于x的不等式(*)要有解,還需要10m-1≤10m-k,即k≤9×10m-1.

(2)記這個(gè)k-連續(xù)數(shù)為f(x,m),則

下面我們來(lái)選擇合適的x,m,使得f(x,m)≡0(modN).

評(píng)注3為了在模N的意義下化簡(jiǎn)f(x,m),我們自然希望10m模N的余數(shù)很簡(jiǎn)單.這就聯(lián)想到歐拉定理: 若(10,N)=1,那么10φ(N)≡1(modN).但是未必有(10,N)=1 成立,于是我們需要將N如下分解.設(shè)N=2α5βN1,其中(10,N1)=1,這樣f(x,m)≡0(modN) 就拆分為以下兩個(gè)目標(biāo):f(x,m)≡0(mod2α5β)和f(x,m)≡0(modN1).

(3) 先看f(x,m)≡0(mod2α5β) 這個(gè)目標(biāo).只要取m≥max{α,β},就有f(x,m)≡x+k-1(mod2α5β).從而f(x,m)≡0(mod2α5β)?x≡1-k(mod2α5β).

(4) 再看f(x,m)≡0(modN1) 這個(gè)目標(biāo).因?yàn)?10,N1)=1,由歐拉定理,10φ(N1)≡1(modN1),只要取m滿足φ(N1)|m,就有

房地產(chǎn)金融風(fēng)險(xiǎn)是指銀行為房地產(chǎn)行業(yè)提供金融服務(wù)，例如籌集、融通資金，進(jìn)行資金清算服務(wù)的過(guò)程中，因?yàn)楦鞣N不能預(yù)料到的因素，影響銀行的實(shí)際收益，使其與銀行的預(yù)期收益相背離，從而發(fā)生經(jīng)濟(jì)損失的風(fēng)險(xiǎn)。其主要方面是房地產(chǎn)資金融通方面的風(fēng)險(xiǎn)。

從而

取x滿足2x+(k-1)≡0(modN1)?x≡-2-1(k-1)(modN1),因?yàn)?2,N1)=1,這里2-1是滿足2 · 2-1≡1(modN1)的整數(shù).因?yàn)?2α5β,N1)=1,所以由中國(guó)剩余定理,同余方程組

有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解x,且它們構(gòu)成以N為公差的等差數(shù)列.

(5)解決遺留問(wèn)題.

①在

的限制下,同余方程組(**) 一定有解嗎? 事實(shí)上,只要(10m-k)-10m-1≥N,即9×10m-1≥N+k即可.

②m一共要滿足哪些條件?m要滿足的所有條件如下:這樣的m當(dāng)然存在了.

新寫(xiě)設(shè)N=2α5βN1,其中α,β是自然數(shù),(10,N1)=1.由歐拉定理,10φ(N1)≡1(modN1).取充分大的正整數(shù)m滿足

設(shè)x,x+1,x+2,…,x+k-1 是連續(xù)k個(gè)m位數(shù),即

將x,x+1,x+2,…,x+k-1 依次寫(xiě)下后所得的k-連續(xù)數(shù)記作f(x,m),則

因?yàn)閙≥max{α,β},所以f(x,m)≡x+k-1(mod2α5β).因?yàn)?0φ(N1)≡1(modN1),φ(N1)|m,所以

因?yàn)?10,N1)=1,所以(2,N1)=1,記2-1為2 模N1的數(shù)論倒數(shù).因?yàn)?2α5β,N1)=1,所以由中國(guó)剩余定理,同余方程組有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解x,且它們構(gòu)成以N為公差的等差數(shù)列.因?yàn)?×10m-1≥N+k,即(10m-k)-10m-1≥N,所以我們可以取x滿足(***).因?yàn)閤≡1-k(mod2α5β),所以

因?yàn)閤≡-2-1(k-1)(modN1),所以2x+(k-1)≡0(modN1),所以2kx+k(k-1)≡0(modN1),因此

由(****)和(*****)即得N|f(x,m),證畢.

評(píng)注4(1)本題不難,但很好地考察了數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)和表達(dá);

(2)題目的分析過(guò)程中多次用到充分性解題,這是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重要思想方法,它常常能大刀闊斧地將解題過(guò)程化繁為簡(jiǎn).比如本題中我們?yōu)榱舜ǖ膋-連續(xù)數(shù)的表達(dá)式好寫(xiě),強(qiáng)行讓這連續(xù)的k個(gè)正整數(shù)都是m位數(shù)(其實(shí)并不需要這么強(qiáng)的條件);

(3)在數(shù)論題中,我們要習(xí)慣把條件寫(xiě)成同余式的形式,因?yàn)橥嘤刑喾奖愕倪\(yùn)算性質(zhì);

(4)在數(shù)論中看到含指數(shù)式的代數(shù)表達(dá)式,聯(lián)想到費(fèi)馬小定理、歐拉定理、階、升冪定理是常規(guī)的;

(5)中國(guó)剩余定理在數(shù)論構(gòu)造性問(wèn)題中作用很大,這里同余方程組解的具體結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)沒(méi)有解的存在性重要.