關注數(shù)學抽象,落實核心素養(yǎng)
——從一個數(shù)學命題引發(fā)的爭議談起

重慶市第二十九中學校(400023) 陳露蕾

1 研究背景

《義務教育數(shù)學課程標準(2022 年版)》的出臺,新增了核心素養(yǎng)這個概念,包括: 數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這六大素養(yǎng).其中,數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學研究對象的思維過程.主要包括: 從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征.數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想,是形成理性思維的重要基礎,反映了數(shù)學的本質(zhì)特征,貫穿在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中.因此,在課堂教學中,如何充分培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力,便成為眾多一線教師當下亟待解決的問題.

韋達定理作為一元n次方程的根與系數(shù)關系定理,在中學階段,主要針對一元二次方程根與系數(shù)關系,可以實現(xiàn)含參二次方程在計算中的設而不求,讓代數(shù)運算得以大大簡化.但由于韋達定理的證明與使用需要學生具備較強的符號意識,對數(shù)學抽象能力要求較高,初中階段曾一度將韋達定理作為選學內(nèi)容.數(shù)學新課標(2022 版)的頒布,再次將韋達定理納入必修內(nèi)容,可見韋達定理在中學數(shù)學的教育價值不容忽視.

本文結(jié)合一個命題的解答,探究韋達定理的適用條件,并進一步思考實際教學中如何引導學生抽象概括出韋達定理并能正確加以運用.

2 韋達定理遭遇尷尬

命題關于x的多項式M=2x2-ax-2,a為任意實數(shù),若M=0 的兩個解分別為x1=t2,x2=2t-3,則實數(shù)a的最小值為-8.

解由韋達定理可知

矛盾的產(chǎn)生,讓我開始反思解法中存在的思維疏漏.運用韋達定理得到等式(1)顯然沒有錯誤,但等式(1)滿足的是2x2-ax+c=0 這一類方程,如何才能保證x1、x2恰是方程2x2-ax-2=0 的解呢? 回看初中階段一元二次方程根與系數(shù)關系,內(nèi)容如下:

性質(zhì)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解,且兩個根分別為x1、x2,則

反之,當(2) 成立時,能否得出x1、x2一定是方程ax2+bx+c=0 的解呢? 即韋達定理是否存在逆定理?答案當然是肯定的,不過考慮到學生的認知水平,人教版初中數(shù)學教材并未提及韋達定理逆定理,我開始嘗試證明:

解對于方程2x2-ax-2=0,顯然?=a2+16>0,由韋達定理,可得:

∵x1=t2,x2=2t-3,代入(3)

3 解題反思

韋達定理遭遇的尷尬雖已成功化解,但解題過程讓我產(chǎn)生了更多思考.作為中學代數(shù)的重要定理,韋達定理在具體應用時,原方程是否有解、根與系數(shù)關系在不同方程中如何表達、兩根之和與兩根之積是否進行了整體考慮,常常成為學生知識體系中最易出現(xiàn)紕漏的一環(huán).為此,我嘗試對韋達定理的教學內(nèi)容進行了一定意義上的重構(gòu).

3.1 創(chuàng)設情境,激發(fā)探究熱情

探究活動:

一個直角三角形的兩直角邊恰是方程6x2-29x+35=0 的兩根,求此直角三角形的斜邊長度.

設計意圖:

學生根據(jù)已有知識,較大可能性會選取求根公式或其他方法來求出方程的兩根.經(jīng)過一定運算后,解出進而由勾股定理得到斜邊長為但是解答過程中繁瑣的運算和分數(shù)的通分,會成為多數(shù)學生得出正確結(jié)果的障礙.設計此探究活動,旨在讓學生感受求根公式在實際應用中的局限性(運算量較大),引導學生從結(jié)果出發(fā),思考能否在不解方程的前提下,直接得出斜邊長度,進而逐步發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間關系.

探究活動的設計,從一個具體一元二次方程出發(fā),符合學生認知起點(學生已具備解一元二次方程的能力),但又故意在具體計算上設置難度,讓學生感受到引入其他方法的必要性,從而激發(fā)其主動思考的欲望.

3.2 探究新知,發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)關系

問: 運用求根公式時如果先不化簡,你能觀察出x1、x2在形式上有什么異同嗎? (只有±的差異,其余部分完全相同)

問:x1、x2的這種異同,適合將它們進行哪種運算,可以得出一個較簡潔漂亮的結(jié)果,并說說你為什么選擇這種運算? (引導學生發(fā)現(xiàn)x1+x2、x1x2存在的必要性)

問: 你發(fā)現(xiàn)的這種運算所得出的結(jié)果,對其他一元二次方程的兩根還適用嗎? 對所有一元二次方程都適用嗎?

一連串問題的設計,引導學生借助具體一元二次方程探索出兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間關系.學生循序漸進地操作、運算,在過程中體會發(fā)現(xiàn)新知的快樂,成就感也油然而生.最后一個問題的設計,從特殊到一般,促使學生不得不進行數(shù)學抽象,即用符號表示根與系數(shù)關系,進而得出更為一般的結(jié)果.

3.3 文化滲透,加深定理理解

數(shù)學活動: (以動畫或幻燈片的形式,呈現(xiàn)韋達定理產(chǎn)生的歷史背景及名字由來,讓學生知曉韋達定理的得出與證明遠遠早于一元二次方程求根公式)穿越到19 世紀,體驗蘇格蘭數(shù)學家華里斯的杰出工作,用韋達定理推演一元二次方程的求根公式.

活動的設計,除了讓學生了解定理產(chǎn)生的過程,知曉任何一個發(fā)現(xiàn)所要經(jīng)歷的付出與艱辛,更希望通過帶領學生完成從韋達定理到求根公式的推演,強化學生符號運算的能力,理解一元二次方程根與系數(shù)關系中兩根之和、兩根之積的不可分割性,為后續(xù)學習打下堅實基礎.

初中一元二次方程根與系數(shù)關系的學習,是學生進行數(shù)學抽象的一次有益嘗試,筆者在部分環(huán)節(jié)(用韋達定理推演求根公式)的重構(gòu),或許對初中學生存在一定難度,但在一次次的螺旋上升中,相信學生們能逐漸培養(yǎng)起對數(shù)學知識發(fā)自內(nèi)心的喜愛和遇到問題時從特殊到一般的思維方式,那今后的數(shù)學學習也就能有章可循、輕松應對了.