構(gòu)建一題一課,彰顯幾何直觀
——記“線段垂直平分線的性質(zhì)”的教學(xué)與反思

廣東省東莞市可園中學(xué)(523000) 李偉尚

“一題一課”就是指一節(jié)課只用一道習(xí)題,教師圍繞一道習(xí)題來展開整節(jié)課的教學(xué).它通過題目的變式,向?qū)W生展示數(shù)學(xué)問題的演變,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律和方法,培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移和發(fā)散的能力,讓不同層次的學(xué)生各有所得,收到舉一反三的效果,提高學(xué)生的應(yīng)變能力和核心素養(yǎng).筆者結(jié)合自己近期的教學(xué)實(shí)踐,以“線段垂直平分線的性質(zhì)”為例,在此談?wù)剬Ρ竟?jié)內(nèi)容“一題一課”教學(xué)方式的構(gòu)建和教學(xué)反思.

1 教材分析與教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課選自人教版八年級上冊第十三章第一節(jié)《線段的垂直平分線的性質(zhì)》.在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形,并對軸對稱的性質(zhì)有了深刻的認(rèn)識,這為本節(jié)課打下了學(xué)習(xí)基礎(chǔ);線段垂直平分線的性質(zhì)為證明線段相等和直線互相垂直提供了方向,因此,它在教材中起著承上啟下的作用.

綜上所述,筆者確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為: (1)知識與技能: 理解并掌握線段垂直平分線的性質(zhì);能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解題.(2)過程與方法: 經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質(zhì)探索和證明的過程,提高學(xué)生邏輯推理能力.(3)情感態(tài)度和價(jià)值觀: 通過教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探究,增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 復(fù)習(xí)回顧,理清概念從數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)上看,“概念、性質(zhì)、判定、應(yīng)用”是探究平面圖形的四個方面,概念是整個探究的始端,也是基礎(chǔ),更是探究圖形性質(zhì)、判定的“基石”[1].我們立足學(xué)情,從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),采用“搶答”的形式,回顧線段垂直平分線的概念.

問題1線段的垂直平分線的定義

經(jīng)過線段____并且____于這條線段的____,叫做這條線段的垂直平分線.

問題2如圖1,直線l是線段AB的垂直平分線,則____=____,____⊥____.

圖1

2.2 新知探究,類比學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出: 教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的問題思維,學(xué)生只知道結(jié)果,不求過程的錯誤思想應(yīng)該完全摒棄[2].因此,筆者在新知探究中采取“明確探究要素→度量長度,發(fā)現(xiàn)結(jié)論→提出猜想→證明猜想”的方式.

在“明確探究要素”這一環(huán)節(jié)中,筆者先給學(xué)生拋出以下幾個問題: ①探究線段垂直平分線的性質(zhì)是探究什么? ②探究線段垂直平分線的性質(zhì)的起點(diǎn)在哪里? ③如何證明線段垂直平分線的性質(zhì)?

對于第一個問題,教師引導(dǎo)學(xué)生明確探究對象的構(gòu)成要素后,再去探究這些構(gòu)成要素所具有的共同屬性;學(xué)生要根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比,學(xué)生在此之前已經(jīng)經(jīng)歷了全等三角形的性質(zhì)的探究過程.由點(diǎn)動成線,容易確定本節(jié)課探究對象的構(gòu)成要素為線段垂直平分線上的點(diǎn).因此,探究線段垂直平分線的性質(zhì)就是探究線段垂直平分線的點(diǎn)的共同屬性.

對于第二個問題,學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)回顧了線段垂直平分線的概念,掌握了線段垂直平分線的特征“CA=CB,l⊥AB”.這是后續(xù)證明性質(zhì)定理的重要依據(jù),也是探究性質(zhì)的起點(diǎn).在明確探究起點(diǎn)之后,筆者設(shè)計(jì)了接下來的數(shù)學(xué)活動,引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

如圖2,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3…是l上的點(diǎn),分別量一量P1,P2,P3…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?

圖2

P1A=____cm,P1B=____cm;

P2A=____cm,P2B=____cm;

P3A=____cm,P3B=____cm;

猜想: 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離____.

驗(yàn)證猜想: 如圖3,已知直線l⊥AB,垂足為C,CA=CB,點(diǎn)P在直線l上,求證:PA=PB.

圖3

結(jié)論: 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離____.

幾何語言: ∵PC垂直平分AB

∴____=____.

第三個問題,學(xué)生都能想到利用?ACP∽=?BCP證明PA=PB.此時(shí),筆者拋出一個問題:“直線l上有無數(shù)個點(diǎn),為什么只取一個點(diǎn)P就能代表直線l上其他所有的點(diǎn)?”筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),雖然直線l上有無數(shù)個點(diǎn),但是這些點(diǎn)滿足的條件沒有變,即“PC=PC”,所以結(jié)論一定成立.筆者告知學(xué)生,這種方法叫做枚舉歸納法,將“無限個點(diǎn)”的特征轉(zhuǎn)化成“有限個點(diǎn)”的特征來證明.在變化的過程中存在著不變,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力.

2.3 鞏固新知,一題多變

上海市德育實(shí)訓(xùn)基地導(dǎo)師、數(shù)學(xué)特級教師孫琪斌老師曾提出:“德,見一題一課;育,在一言一行”[3].數(shù)學(xué)變式問題思維含量豐富,題目之間有聯(lián)系與發(fā)展,又有辯證統(tǒng)一,好的變式問題是培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)習(xí)態(tài)度的有效載體[4].因此,筆者在鞏固新知環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了以下變式.

例1如圖4,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線,∠C=50?.

圖4

(1)直線DE是?____的對稱軸;

(2)圖中相等的線段有________;

(3)∠DEA=____?,∠DAC=____?.

變式訓(xùn)練1如圖5,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線,AB=10cm,BC=21cm,求?ABD的周長.

圖5

變式訓(xùn)練2如圖6,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=6cm,?ABD的周長為15cm,求?ABC的周長.

圖6

變式訓(xùn)練3如圖7,在?ABC中,E是AC的中點(diǎn),DE⊥AC,BC=14cm,?ABD的周長為24cm,則AB=____.

圖7

例1 與變式訓(xùn)練旨在通過利用線段垂直平分線的性質(zhì)對線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用“已知表示待求”.例1、變式訓(xùn)練1 和2是利用已知的線段垂直平分線;變式訓(xùn)練3 利用隱含的線段垂直平分線.在變式訓(xùn)練1 的教學(xué)實(shí)施過程中,筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生是通過證明三角形全等,推出AD=DC,從而計(jì)算出?ABD的周長.數(shù)學(xué)講究的是精簡,我們不僅要做到答案正確,還要尋找最優(yōu)的解法.變式訓(xùn)練1 如果采用三角形全等的方法,就顯得較為繁瑣,但用線段垂直平分線的性質(zhì)很快就能獲得結(jié)論,學(xué)生也感悟到利用線段垂直平分線的性質(zhì)的便捷性.通過一系列的變式,向?qū)W生展示數(shù)學(xué)問題的演變,學(xué)生的知識遷移和發(fā)散的能力也得到了發(fā)展.

2.4 拓展提升,舉一反三

舉一反三能力的培養(yǎng)并非一蹴而就,需要厚積薄發(fā).邏輯思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)品質(zhì)的核心,理性精神也是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的集中體現(xiàn)[4].線段垂直平分線的性質(zhì)是證明線段相等的重要依據(jù),對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和理性精神具有重要作用.因此,筆者在提升環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了如下例題和變式.

例2如圖8,AM是?ABC的角平分線,MF是線段BC的垂直平分線,MD⊥AB于D,ME⊥AE于E,求證:BD=CE.

圖8

變式訓(xùn)練如圖9,AM是?ABC的角平分線,MF是線段BC的垂直平分線,MD⊥AB于D,ME⊥AE于E,求證:BD=CE.

圖9

本節(jié)課的題目難度循序漸進(jìn),立足線段垂直平分線的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維品質(zhì)的同時(shí),也提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).有部分學(xué)生對于角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)比較生疏,還是習(xí)慣證明三角形全等得到邊相等,筆者鼓勵學(xué)生嘗試用新知識去解決問題.變式訓(xùn)練需要添加輔助線,筆者引導(dǎo)學(xué)生在遇到線段的垂直平分線上的點(diǎn)時(shí),通常會連接這個點(diǎn)和線段的兩個端點(diǎn),得到相應(yīng)的兩條線段相等.例題2 和變式訓(xùn)練體現(xiàn)了培養(yǎng)理性思維的四個階段: 求是、求真、求新、求美[4].

2.5 課堂小結(jié)

問題1請同學(xué)們回顧并總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?

問題2本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些思想方法?

3 教學(xué)反思

3.1 開篇布局,模式架構(gòu)

本節(jié)課,采取“復(fù)習(xí)回顧——新知探究——鞏固新知——拓展提升——課堂小結(jié)”教學(xué)模式.復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)采用“搶答”的方式,調(diào)動學(xué)生積極性和參與性;新知探究環(huán)節(jié)由教師引導(dǎo),讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜想、驗(yàn)證等活動,探究線段垂直平分線的性質(zhì);鞏固新知和拓展提升環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了多道變式訓(xùn)練,向?qū)W生展示數(shù)學(xué)問題的演變,提高學(xué)生的知識遷移和發(fā)散的能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng);課堂小結(jié)環(huán)節(jié)引領(lǐng)學(xué)生梳理本課的核心內(nèi)容,歸納解題方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.

3.2 立足起點(diǎn),巧設(shè)活動

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn),也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).筆者以線段垂直平分線的概念為探究起點(diǎn),從特殊到一般,設(shè)計(jì)線段垂直平分線的性質(zhì)探究活動.讓學(xué)生經(jīng)歷“操作——觀察——猜想——證明”的數(shù)學(xué)探究過程,歸納出線段垂直平分線的性質(zhì),增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí),也提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 運(yùn)用“畫板”,彰顯直觀

在探究線段垂直平分線的性質(zhì)時(shí),筆者選擇使用幾何畫板軟件,讓學(xué)生直觀地看到、長度的數(shù)據(jù)變化和等量關(guān)系,更好地學(xué)習(xí)、理解線段的垂直平分線的性質(zhì).在幾何教學(xué)中,幾何畫板能幫助我們呈現(xiàn)一些抽象的知識內(nèi)容.

3.4 問題解決,滲透思想

問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心,思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂[5].從全等三角形的性質(zhì)對比學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì),讓學(xué)生更容易理解和掌握線段垂直平分線的性質(zhì);在教學(xué)線段垂直平分線的性質(zhì)時(shí),向?qū)W生提出問題:“直線上有無數(shù)個點(diǎn),為什么只取一個點(diǎn)就能代表直線上其他所有的點(diǎn)? ”培養(yǎng)學(xué)生用不變的眼光去看待變化,體會特殊到一般、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.