一道高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究及背景和推廣

劉 冰

(廈門外國(guó)語學(xué)校石獅分校,福建 廈門 362700)

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題,第(1)問考查的是證明不等式,構(gòu)造函數(shù)即可解決.而第(2)問考查的是已知函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求參數(shù)a的取值范圍,有一定的難度.其難點(diǎn)主要在于對(duì)參數(shù)a的討論以及對(duì)極值的判斷與取點(diǎn)上.該試題很好地考查了考生的分類討論思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).

1 真題再現(xiàn)

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第22題如下:

(1)證明:當(dāng)0

(2)已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.

2 解法探究

(1)先證:當(dāng)0

設(shè)g(x)=x-sinx,x∈(0,1),則g′(x)=1-cosx>0,所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,即sinx

再證:當(dāng)0

解法1利用x>sinx.設(shè)h(x)=x2-x+sinx,x∈(0,1),由x>sinx,得

所以h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,故h(x)>h(0)=0,即x-x2

解法2兩次求導(dǎo).設(shè)h(x)=x2-x+sinx,x∈(0,1),則h′(x)=2x-1-cosx,h″(x)=2-sinx.當(dāng)00,所以h′(x)在(0,1)單調(diào)遞增,從而h′(x)>h′(0)=0,因此h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,故h(x)>h(0)=0,即x-x2

(2)解法1令1-x2>0,解得-1

若a=0,則f(x)=-ln(1-x2),x∈(-1,1),

因?yàn)閥=-lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,y=1-x2在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,則f(x)=-ln(1-x2)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,故x=0是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意,所以a≠0.

當(dāng)a≠0時(shí),令b=|a|>0,因?yàn)?/p>

f(x)=cosax-ln(1-x2)=cos(|a|x)-ln(1-x2)=cosbx-ln(1-x2),

且f(-x)=cos(-bx)-ln[1-(-x)2]=cosbx-ln(1-x2)=f(x),

即當(dāng)x∈(0,m)?(0,1)時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,f(x)在(-m,0)上單調(diào)遞減,所以x=0是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意[1].

因?yàn)閤=0是f(x)的極大值,由函數(shù)的連續(xù)性,我們知道還需滿足在x=0的左側(cè)附近,f′(x)>0,在x=0的右側(cè)附近,f′(x)<0.由題意易得,f(x)是關(guān)于x的偶函數(shù),也是關(guān)于a的偶函數(shù), 因此只需要關(guān)注x∈(0,1),a>0的情況.

3 背景分析

本題的高數(shù)背景是極值的第二充分條件和第三充分條件.合并后即是如下定理.

定理設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0,δ)內(nèi)n階可導(dǎo),且

f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,則

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f(x)在點(diǎn)x0不取極值;

(2)當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)>0時(shí),f(x)在x0取極小值;

(3)當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)<0時(shí),f(x)在x0取極大值.

利用定理,可得到本題的另一解法.

解法3S表示f(x)的極大值點(diǎn)的集合,則

由定理可得:

4 試題推廣

本題還可以作如下推廣 .

(1)證明:當(dāng)0

(2)已知函數(shù)f(x)=cosax-aln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍[2].

解(1) 略.

(2)顯然f(x)的定義域是I=(-1,1).易見x∈I時(shí)

f″(0)=2a-a2;

f?(0)=0;

f(4)(0)=a4+12a.

設(shè)S表示f(x) 的極大值點(diǎn)的集合.

由定理可得:

若00,0?S;

若a<0或a>2,則f′(0)=0,f″(0)<0,0∈S;

若a=2,則f′(0)=f″(0)=f?(0)=0,f(4)(0)>0,0?S;

若a=0,則f(x)=1為常數(shù),0?S.

綜上,a的取值范圍為(-∞,0)∪(2,+∞).

試題以三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為背景.三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).試題巧妙地將三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相結(jié)合,討論函數(shù)的極值問題,具有一定的綜合性.試題的高等數(shù)學(xué)背景是極值的第三充分條件,起點(diǎn)高,但落點(diǎn)低,設(shè)計(jì)新穎,緊扣課程標(biāo)準(zhǔn).通過第(1)問鋪設(shè)好的不等式,給第(2)問的證明提高了思路,降低了思維強(qiáng)度.