從物像等光程性探討光成像規(guī)律及其推廣應(yīng)用

王 勇

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué),江蘇常州 213003)

幾何光學(xué)中成像規(guī)律研究基于3個(gè)基本實(shí)驗(yàn)定律:(1)光在均勻的介質(zhì)中直線傳播定律;(2)光通過(guò)兩種介質(zhì)分界面時(shí)的反射定律和折射定律;(3)光的獨(dú)立傳播定律和光路可逆原理.在已有的文獻(xiàn)中絕大多數(shù)都是基于反射和折射定律推導(dǎo)近軸光線傳播和球面折射成像規(guī)律.本文將從波動(dòng)光學(xué)的角度基于費(fèi)馬原理中的物像間等光程分析光線傳播問(wèn)題和球面折射成像規(guī)律,并將球面折射成像規(guī)律推廣到平面折射成像規(guī)律、球面反射和平面反射成像規(guī)律;基于物像之間的光程特點(diǎn)分析物理競(jìng)賽中一些特殊的光學(xué)成像系統(tǒng).

費(fèi)馬原理可以表述為:光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑而傳播.當(dāng)光在指定的兩點(diǎn)之間存在多條路徑時(shí),若某條光線光程是極小或極大,則意味著其鄰近光線光程不處于平穩(wěn)值,這違背費(fèi)馬原理,所以物像之間光程只能是相等的.

1 物像等光程性推導(dǎo)成像規(guī)律

1.1 反射定律的推導(dǎo)

如圖1所示,兩平行光從無(wú)窮遠(yuǎn)處入射到分界面,反射光也為兩條平行光,兩虛線O1A、O2B為等光程面,在兩等光程面O1A和O2B之間光程O(píng)2A=O1B,則兩直角三角形△O1AO2與△O2BO1全等.全等直角三角形中兩直角邊O1A=O2B,根據(jù)直角邊與斜邊關(guān)系有O1O2cosθ1=O1O2cosθ2,所以反射角與入射角相等.

圖1

1.2 折射定律的推導(dǎo)

如圖2所示,兩平行光從無(wú)窮遠(yuǎn)處射到分界面發(fā)生折射,O1A、O2B為等光程面,在光程面O1A和O2B之間光程相同,所以有n1AO2+0=0+n2O1B,在兩直角三角形中有AO2=O2O1sinθ1,O1B=O2O1sinθ2,將AO2、O1B代入,有n1sinθ1=n2sinθ2.

圖2

1.3 球面折射成像規(guī)律推導(dǎo)

1.3.1 物距與像距關(guān)系

如圖3所示,處于主光軸上的物點(diǎn)A經(jīng)球面成像于主光軸的另一側(cè)像點(diǎn)B,球面兩側(cè)的折射率分別為n1、n2,主光軸與球面的交點(diǎn)為O,球面球心為C,若物距AO長(zhǎng)s,像距BO長(zhǎng)s',球的半徑為r,MC與主光軸的夾角為θ,由物像等光程性有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,則有

圖3

對(duì)于近軸光線θ→0,則有化簡(jiǎn)后有

當(dāng)θ→0時(shí)作泰勒展開(kāi)后,化簡(jiǎn)可得

對(duì)于任意θ小角都成立,則有

化簡(jiǎn)后有球面折射成像物距與像距關(guān)系

1.3.2 物高與像高關(guān)系

將主光軸繞圓心C旋轉(zhuǎn)一小角度,形成如圖4所示一虛線副光軸,物點(diǎn)與像點(diǎn)繞圓心C轉(zhuǎn)動(dòng)后物點(diǎn)與像點(diǎn)的弧線長(zhǎng)度近似為物高和像高,若物高為y,像高為y',則有

圖4

將式(1)代入可得

若規(guī)定主光軸上方物高與像高為正,主光軸下方物高與像高為負(fù),考慮物高與像高的符號(hào),則得物高與像高關(guān)系為

1.3.3 折射成像規(guī)律的推廣

當(dāng)為平面折射成像時(shí),平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(1)就可得平面折射成像的物距與像距關(guān)系式,化簡(jiǎn)后物距與像距關(guān)系為

當(dāng)研究平面鏡的反射成像規(guī)律時(shí),不同光線物像之間的路程不同,若要保持物像之間等光程,則平面鏡成像后物像之間的光程和必為0.當(dāng)入射光線一側(cè)的光程為nl時(shí),平面鏡另一側(cè)光線光程必為虛光程,虛光程為-nl,平面鏡另一側(cè)的折射率可等效為-n.

當(dāng)為球面反射成像時(shí),可認(rèn)為球面鏡另一側(cè)的折射率可等效為-n,只要代入式(1)就可得球面反射成像規(guī)律為,化簡(jiǎn)后可得球面反射物距與像距的關(guān)系為.球面折射成像的像方在入射光線的另一側(cè),但球面反射成像的像方在入射光線的同側(cè),所以球面反射中的s'＜0表示球面反射成實(shí)像,球面反射中的s'＞0表示球面反射成虛像.為了統(tǒng)一像距為負(fù)值時(shí)成虛像這一約定,可將球面反射物距與像距的關(guān)系改寫(xiě)為,其中-s'為球面反射的像距.

若設(shè)-s'=s″,球面反射物距與像距的關(guān)系為

當(dāng)為平面反射成像時(shí),平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(3)就可得平面反射成像的物距與像距關(guān)系式,化簡(jiǎn)后關(guān)系為s″=-s.

2 競(jìng)賽中應(yīng)用

2.1 物像等光程在負(fù)折射率競(jìng)賽題中應(yīng)用

例1.(第35屆物理競(jìng)賽決賽題)介質(zhì)的折射率n可以大于0,也可以小于0,n小于0的介質(zhì)稱為負(fù)折射介質(zhì).光在負(fù)折射介質(zhì)內(nèi)傳播,其光程為負(fù)值(相位隨傳播距離的變化規(guī)律與在折射率為正的介質(zhì)中的相反).如果定義折射角與入射角在界面法線同側(cè)時(shí)折射角為負(fù),可以證明折射定律在界面兩邊有負(fù)折射介質(zhì)時(shí)仍然成立,即n1sinθ1=n2sinθ2,其中n1和n2均可以大于0或小于0.

(1)設(shè)想一束平行光入射到界面上,在答題紙上畫(huà)出圖5(a)和圖5(b)所示情況下進(jìn)入介質(zhì)2的光線及對(duì)應(yīng)的子波的示意圖,并依此證明折射定律成立.

圖5

(2)如圖5(c)所示,半徑為R的球面將空間隔開(kāi)為兩個(gè)區(qū)域,其折射率分別記為n1(n1＞0)和n2(n2＜0)C點(diǎn)是球面的球心,圖中已畫(huà)取某一光軸與球面的交點(diǎn)O為原點(diǎn).圖中已畫(huà)出此情形下一段入射光線和折射光線,x和y分別為入射光線、折射光線與光軸的交點(diǎn)坐標(biāo).記物距為s1,像距為s2.在傍軸近似下導(dǎo)出球面的成像公式和橫向放大率公式.請(qǐng)明確指出最后結(jié)果中各個(gè)量的正負(fù)號(hào)約定.

(3)設(shè)介質(zhì)1為空氣,即n1≈1,n2可大于0也可小于0.在球面[參考圖5(c)]前放置一普通薄凸透鏡,透鏡的光軸通過(guò)球心C,焦點(diǎn)位于負(fù)折射介質(zhì)區(qū)域內(nèi),透鏡的焦距f=1.5R,透鏡中心O'點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d.一束沿光軸傳播的平行光入射到薄透鏡.分別就表中4組參數(shù)計(jì)算入射光在光軸上會(huì)聚點(diǎn)離O點(diǎn)的距離,并在答題紙上畫(huà)4組參數(shù)計(jì)算入射光在光軸上會(huì)聚點(diǎn)離O點(diǎn)的距離,并在答題紙上畫(huà)4情形的光路示意圖.

解析:(1)圖5(a)中兩邊介質(zhì)都是正折射率,證明和作圖如上.對(duì)于負(fù)折射率介質(zhì)中成像問(wèn)題可類比光的折射定律、折射成像規(guī)律推導(dǎo).若光線在負(fù)折射率介質(zhì)一側(cè)折射到法線的另一側(cè)時(shí),光從正折射率一側(cè)到負(fù)折射率一側(cè)時(shí),兩等光程面之間的兩條光線的光程一正一負(fù),光程差不可能相等,折射光線只能偏折到法線的同側(cè)才能保證兩等光程面之間光程相等,且兩等光程面間光程為0.即n1AO2+n2O2B=0,光的折射如圖6所示,由于AO2=O1O2sinθ1,O2B=-O1O2sinθ2,負(fù)號(hào)由于θ2＜0,代入可得n1O1O2sinθ1-n2O1O2sinθ2=0,化簡(jiǎn)后可得n1sinθ1=n2sinθ2.

圖6

(2)如圖7所示,當(dāng)在負(fù)折射率介質(zhì)中球面折射時(shí),根據(jù)物像間等光程,有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,化簡(jiǎn)后同樣有

圖7

(3)略.

2.2 物像等光程性在透鏡成像中的應(yīng)用

例2.(第38屆物理競(jìng)賽復(fù)賽題)(1)如圖8所示,一寬束平行光正入射到折射率為n的平凸透鏡左側(cè)平面上,會(huì)聚于透鏡主軸上的點(diǎn)F,系統(tǒng)過(guò)主軸的截面如圖8所示.已知凸透鏡頂點(diǎn)O到F點(diǎn)的距離為r0.試在極坐標(biāo)系中求所示平凸透鏡的凸面形狀,并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式.

圖8

(2)在如圖8所示的光學(xué)系統(tǒng)中,共軸地插入一個(gè)折射率為n'的平凹透鏡(平凹透鏡的平面在凹面的右側(cè),頂點(diǎn)在O、F點(diǎn)之間的光軸上,到F的距離為r0',r0'＜r0),使原來(lái)匯聚到F點(diǎn)的光線經(jīng)平凹透鏡的凹面折射后平行向右射出.

①在極坐標(biāo)系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀,并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式;

②已知通過(guò)平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角θ的最大值為θmax,求入射平行圓光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比.

解析:(1)平行光正入射到平凸透鏡左側(cè)平面上后聚焦到主光軸上的F點(diǎn),無(wú)窮遠(yuǎn)處的物與像點(diǎn)F之間等光程,由于平凸透鏡左側(cè)為平行光,則如圖9所示,虛線為等光程面.虛線到像點(diǎn)F的光程相等,則有MF=nHO+OF,當(dāng)以聚焦點(diǎn)F為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,若極徑MF為r,極角為θ,則有r=n(rcosθ-r0)+r0,化簡(jiǎn)后可得r=當(dāng)以主光軸為x軸,垂直于主光軸過(guò)F點(diǎn)的直線為y軸時(shí),可得在直角坐標(biāo)系中的凸面形狀方程為

圖9

(2)①如圖10所示,當(dāng)聚焦光線進(jìn)入一折射率為n'的平凹透鏡,使原來(lái)匯聚到F點(diǎn)的光線經(jīng)凹面折射后平行射出,在平凹透鏡內(nèi)的虛光線對(duì)應(yīng)為虛光程,在虛物與N'F平面間光線等光程,有-FM'+n'M'N'=-FO'+n'O'F.當(dāng)以F為極坐標(biāo)的極點(diǎn)時(shí)有-r+n'rcosθ=-r0'+n'r0',化簡(jiǎn)后可得當(dāng)以主光軸為x軸,垂直于主光軸過(guò)F點(diǎn)的直線為y軸時(shí),可得在直角坐標(biāo)系中的凸面形狀方程為

圖10

②解略.

3 物像等光程性的推廣應(yīng)用

例3.(第30屆物理競(jìng)賽復(fù)賽題)一斜劈形透明介質(zhì)劈尖,尖角為θ,高為h.今以尖角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖11所示;劈尖斜面實(shí)際上是由一系列微小臺(tái)階組成的,在圖11中看來(lái),每一個(gè)小臺(tái)階的前側(cè)面與xz平面平行,上表面與yz平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率n隨x而變化,n(x)=1+bx其中常數(shù)b＞0.一束波長(zhǎng)為λ的單色平行光沿x軸正方向照射劈尖;劈尖后放置一薄凸透鏡,在劈尖與薄凸透鏡之間放一擋板,在擋板上刻有一系列與z方向平行、沿y方向排列的透光狹縫,如圖12所示,入射光的波面(即與平行入射光線垂直的平面)、劈尖底面、擋板平面都與x軸垂直,透鏡主光軸為x軸.要求通過(guò)各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點(diǎn)處得到加強(qiáng)而形成亮紋.已知第一條狹縫位于y=0處;物和像之間各光線的光程相等.

圖11

圖12

(1)求其余各狹縫的y坐標(biāo);

(2)試說(shuō)明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求.

解析:(1)如圖12所示,斜劈直角邊左側(cè)的平行光等光程.通過(guò)透光狹縫后的平行光經(jīng)過(guò)凸透鏡成像于焦點(diǎn),斜劈虛線右側(cè)平行光到焦點(diǎn)的光線也是等光程.當(dāng)要使全部平行光聚焦到焦點(diǎn)處得到加強(qiáng)而形成亮紋,所以斜劈直角邊與虛線間的光程理應(yīng)相等,但由于斜劈介質(zhì)的折射率n隨x而變化,斜劈直角邊到虛線間距離又相等,所以斜劈直角邊到虛線間的光程不可能相等.因此若要使全部平行光聚焦到焦點(diǎn)得到加強(qiáng)而形成亮紋,只能斜劈直角邊到虛線間相鄰?fù)腹猹M縫位置處的光程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍,才能確保所有平行光到焦點(diǎn)時(shí)振動(dòng)同步.

射到斜劈y處的光線,光程為

y處通過(guò)非斜劈部分的光程δ2(y)=hytanθ,斜劈y處的直角邊與虛線間的光程為以上兩光程和δ(y)=δ1(y)+δ2(y)=

由于位于y=0處無(wú)介質(zhì)光程為h,斜劈y處與O處的光程差為

當(dāng)斜劈y處與y=0處的光程差滿足時(shí)(k=1,2,3…),通過(guò)各狹縫的透射光將在透鏡焦點(diǎn)處振動(dòng)同步而得到加強(qiáng)的亮紋.

綜上所述,本文基于費(fèi)馬原理中物像間的等光程性從理論上推導(dǎo)出光的反射定律、折射定律、球面折射成像規(guī)律,從波動(dòng)角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了光的成像本質(zhì).當(dāng)前物理競(jìng)賽中光學(xué)競(jìng)賽題也正在由純幾何光學(xué)逐步向特殊光學(xué)元件研究設(shè)計(jì)和光學(xué)儀器的原理考查轉(zhuǎn)變,如波帶片、邁克爾遜干涉儀等,從波動(dòng)角度利用光程分析也是解決光學(xué)競(jìng)賽題的一大利器.