數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

□福建省漳州市第八中學(xué) 朱大藝

在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)教師在傳授學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本技能的同時，還要重視學(xué)生活動經(jīng)驗的積累及數(shù)學(xué)思想的形成。數(shù)學(xué)思想在促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展方面具有重大意義，因此教師愈發(fā)關(guān)注數(shù)學(xué)思想教學(xué)工作?！皵?shù)”和“形”作為高中數(shù)學(xué)中的主要研究對象，數(shù)形結(jié)合思想扮演著連通兩者的橋梁角色，在教學(xué)實踐中起到舉足輕重的作用?；诖耍疚牧⒆銛?shù)形結(jié)合思想，分析高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透、運用數(shù)形結(jié)合思想方法的相關(guān)建議，以期為高中數(shù)學(xué)教師發(fā)揮該數(shù)學(xué)思想的作用提供參考。

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)思想的重要構(gòu)成部分，既是一種思維方法，又是一種解題的基本策略?！皵?shù)形結(jié)合”是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，通過分析、觀察圖形，運用數(shù)與形的相互關(guān)系，將復(fù)雜問題簡單化，使抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合的思想方法主要有這幾種：（1）以形助數(shù)：將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀圖形結(jié)合起來，借助圖形理解數(shù)學(xué)語言。（2）以數(shù)解形：用數(shù)字驗證圖形或直觀地反映函數(shù)關(guān)系，在幾何直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析。（3）以形助數(shù)：通過形象直觀地描述問題，引導(dǎo)學(xué)生把抽象問題具體化。（4）以數(shù)解形：在圖形上表示數(shù)量關(guān)系或變化過程，借助圖形揭示數(shù)量關(guān)系。

“數(shù)形結(jié)合”從字面上理解，是將“數(shù)”和“形”結(jié)合到一起。從不同角度出發(fā)對“數(shù)”和“形”的內(nèi)涵理解各有不同?；趶V義視角，“形”為現(xiàn)實世界客觀存在的事物，“數(shù)”則被視為用于對客觀事物進(jìn)行研究的手段；基于狹義視角，“數(shù)”指代數(shù)，而“形”指幾何。

有關(guān)“數(shù)形結(jié)合”本質(zhì)內(nèi)涵的理解，雖然不同學(xué)者和研究者具有不同的理解，但在數(shù)形結(jié)合作用和價值方面比較一致，都認(rèn)識到需要對高中階段的學(xué)生進(jìn)行滲透，讓學(xué)生理解這種重要的數(shù)學(xué)思想方法，并將其作為解題技巧和創(chuàng)新思考的方法融入數(shù)學(xué)知識體系。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力方面，大部分研究者意識到采用滲透教學(xué)法進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生靈活思考，尊重學(xué)生的主觀能動性，確保學(xué)生主動理解、運用這種重要思想方法。

結(jié)合不同學(xué)者和研究專家的主要觀點，本文認(rèn)為“數(shù)”和“形”聯(lián)系密切，屬于某一事物的兩大屬性，雙方各有優(yōu)劣。比如“數(shù)”的優(yōu)勢在于可運算，有規(guī)律，不足則是難以直觀形象地體現(xiàn)也不易于理解，但這恰恰是“形”的優(yōu)勢?；诖耍瑪?shù)形結(jié)合思想應(yīng)為利用“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化，讓數(shù)學(xué)對象不僅形象直觀而且具備可運算性，進(jìn)而有效解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義

（一）培育核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)成績

高中數(shù)學(xué)是高中教育階段重要組成部分，也是高考考查的重點對象，需要學(xué)生學(xué)習(xí)知識，具備數(shù)學(xué)思維。代數(shù)和幾何是高中數(shù)學(xué)的兩個重要教育維度，教師需要將兩者有機(jī)結(jié)合，利用“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想將教材中各單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行貫穿，促進(jìn)教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，提升課堂效率。學(xué)生深入研究數(shù)形結(jié)合的解題思想，有利于在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識中逐漸培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對各種步驟繁瑣、難度較大的題目進(jìn)行高效解題，提高做題效率。

（二）貫穿教學(xué)模塊，構(gòu)建知識體系

高中數(shù)學(xué)是研究空間、結(jié)構(gòu)和數(shù)量等方面的學(xué)科，用抽象數(shù)學(xué)概念揭示事物規(guī)律，解決現(xiàn)實生活中的問題。數(shù)形結(jié)合思想具有間接性、直觀性和有效性的特點，能將代數(shù)與幾何兩大教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來，以形助數(shù)，以數(shù)解形，從不同角度分析數(shù)學(xué)問題，解決各種難題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的先進(jìn)性和思維的邏輯性。在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，提升探究能力。同時，高中數(shù)學(xué)知識作為有機(jī)整體，數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中綜合考慮，把握不同單元之間的聯(lián)系，最終構(gòu)建嚴(yán)密的高中數(shù)學(xué)思維框架，在數(shù)形結(jié)合的思考維度中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，獲得能力的突破。

（三）拓展思考維度，培養(yǎng)創(chuàng)新精神

數(shù)形結(jié)合思想是從數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生解決抽象試題的能力，在熟悉教材原理和概念的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生直觀理解，在頭腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的長期熏陶感染下，可以根據(jù)圖形將各種知識點進(jìn)行串聯(lián)，培養(yǎng)獨立思考能力。

數(shù)形結(jié)合思想不只是科學(xué)嚴(yán)密的思考維度，也是創(chuàng)新的重要指導(dǎo)方向，可以潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)問題，利用創(chuàng)造性思維對數(shù)學(xué)題型進(jìn)行不同解法的嘗試，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)?？傊瑪?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科中創(chuàng)新精神的重要體現(xiàn)，能讓學(xué)生站在不同角度思考問題，發(fā)散思維，為終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例分析

（一）集合問題中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用

學(xué)生進(jìn)入高中后，首先學(xué)習(xí)的便是集合知識。集合作為高中數(shù)學(xué)的一大重要理論基礎(chǔ)，對抽象思維能力要求較高，這也導(dǎo)致部分學(xué)生難以理解集合問題，解題時也往往無從下手。

數(shù)形結(jié)合思想可以把數(shù)字語言先轉(zhuǎn)化成符號語言，再轉(zhuǎn)換為圖像語言進(jìn)而得出結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上將圖形語言轉(zhuǎn)換為數(shù)字語言。學(xué)生通過高中集合知識的學(xué)習(xí)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合是一種常見的方法，既能化復(fù)雜為簡單，也能更直觀地體現(xiàn)集合的交、并、補(bǔ)關(guān)系，能更準(zhǔn)確地理解相關(guān)知識。

針對部分學(xué)生習(xí)慣通過用未知數(shù)解方程的形式求解的現(xiàn)象，教師可以要求學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，以降低錯誤率，結(jié)合“Venn 圖”求解提高學(xué)習(xí)效率，讓集合更加清晰地展示出來。在數(shù)形結(jié)合思想下，韋恩圖不僅在幫助學(xué)生理解集合概念方面起到重要作用，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng)。為此，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想將已知條件通過“Venn 圖”或數(shù)軸表示出來，由此明確解題的切入點。

（二）三角函數(shù)問題中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是極為關(guān)鍵的知識模塊之一，也是描述一般周期函數(shù)的基礎(chǔ)，并且三角函數(shù)也屬于典型的數(shù)形結(jié)合產(chǎn)物。三角函數(shù)是教學(xué)的重點難點內(nèi)容，也是學(xué)生理解比較困難的知識模塊。在三角函數(shù)教學(xué)時，教師可以借助數(shù)形結(jié)合，將坐標(biāo)系帶到學(xué)生的思考維度中，使其通過結(jié)合坐標(biāo)系、函數(shù)曲線的各種變化、數(shù)學(xué)公式的方式厘清圖像和公式之間的對應(yīng)關(guān)系，厘清奇偶性、單調(diào)性和象限之間的聯(lián)系，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。在數(shù)形結(jié)合思想輔助下，學(xué)生最終理解三角函數(shù)，也提高了對數(shù)形結(jié)合思想的興趣，能夠舉一反三學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的相關(guān)建議

（一）概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的建議

1.體驗“數(shù)形結(jié)合”，關(guān)注概念形成。

數(shù)學(xué)概念的形成絕非毫無依據(jù)，多數(shù)具備相應(yīng)的幾何背景，如向量的產(chǎn)生背景為位移、力等相關(guān)物理量，可見“數(shù)形結(jié)合”在概念形成方面所起到的重要作用。但部分教師為了數(shù)學(xué)課堂擴(kuò)容或提高教學(xué)速度，往往忽視概念形成過程，這種授課模式不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)及發(fā)展?！皵?shù)形結(jié)合”是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用到的關(guān)鍵思想方法之一，無論是滲透還是運用均應(yīng)建立在完整探究知識的基礎(chǔ)上，若忽視數(shù)學(xué)知識的探究過程，講授其包含的數(shù)學(xué)思想可謂“天方夜譚”。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想時，教師需要時刻關(guān)注概念的形成，有效引導(dǎo)學(xué)生參與概念的形成過程中，自主深度挖掘及體會“數(shù)形結(jié)合”，這樣才會真正理解數(shù)學(xué)概念，體會到“數(shù)形結(jié)合”在概念形成中起到的重要作用，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”，關(guān)注概念理解。

數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾提出這樣一個觀點“數(shù)和形本相依，焉能分作兩邊飛”，這說明數(shù)學(xué)作為研究空間形式及數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，若借助“形”的形象直觀構(gòu)建“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，會降低理解復(fù)雜、抽象數(shù)學(xué)概念的難度，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)概念理解上應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性。特別是高一年級的學(xué)生在接觸到大量抽象的數(shù)學(xué)概念后，往往出現(xiàn)信心不足、感覺數(shù)學(xué)知識枯燥無味的現(xiàn)象，如果在概念理解環(huán)節(jié)上“困難重重”，則在后續(xù)學(xué)習(xí)中的難度可能會更大。

例如，學(xué)生在除此接觸“集合”這一知識板塊時，往往會混淆子集、真子集等抽象性概念，若教師在概念教學(xué)環(huán)節(jié)把原本抽象概念變得直觀化，達(dá)到“以形助數(shù)”的效果，則有利于學(xué)生更輕松地理解概念。這在課本教材中也有所體現(xiàn)，如通過“Venn 圖”輔助理解集合之間的關(guān)系。同樣，在函數(shù)概念教學(xué)時，教師也可以利用直觀圖像或具體例子，輔助學(xué)生理解函數(shù)概念，既可以是常用的教學(xué)方法，也可以是數(shù)形結(jié)合思想，從而更好地落實對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（二）命題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的建議

1.創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”情境，關(guān)注命題引入。

數(shù)學(xué)命題屬于高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及教學(xué)的一大重點難點內(nèi)容所在。針對抽象難以透徹理解的數(shù)學(xué)法則、公理、性質(zhì)等相關(guān)知識，學(xué)生很容易因為“學(xué)不懂”或是“不會做”而失去學(xué)習(xí)信心。為此，教師需關(guān)注命題的引入，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的情境，既調(diào)動其探究欲，又在學(xué)生探究數(shù)學(xué)命題時自然而然地開啟“數(shù)形結(jié)合”的閥門。

比如，在探究“冪函數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)時，教師可以列舉實例引出常見的冪函數(shù)，巧借實例激發(fā)學(xué)生探究興趣的同時，也為后續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探究冪函數(shù)性質(zhì)創(chuàng)設(shè)了所需情境，使學(xué)生在熟知函數(shù)圖象的前提下，直觀認(rèn)識函數(shù)的基本性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合作為解決數(shù)學(xué)問題的常見思想方法，可以畫出圖像、識別圖像，是探究問題的一項必要能力。但從實際教學(xué)情況分析，面對高考的激烈競爭及教學(xué)壓力大等因素，教學(xué)進(jìn)度十分緊湊，一些教師往往對情境創(chuàng)設(shè)心有余而力不足，為此存在缺乏情境創(chuàng)設(shè)、忽略命題引入的現(xiàn)象。這一點應(yīng)及時修正，教師需要高度關(guān)注命題引入并輔助學(xué)生直觀感知，創(chuàng)設(shè)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)情境，使其在“數(shù)”與“形”結(jié)合的基礎(chǔ)上展開高效探究。

2.培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”能力，經(jīng)歷命題證明。

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)具備極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，正確的結(jié)論需通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯體系推演過程，即對公式、定理等展開證明。在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識板塊中，數(shù)學(xué)命題證明是一項重要部分。實際上，在命題證明的過程中也會體現(xiàn)例如“數(shù)形結(jié)合”，若教師能在命題證明教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠使學(xué)生深入理解這一命題的來龍去脈，還能有效提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題的能力。

總之，將數(shù)形結(jié)合思想運用于命題證明，有助于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等相關(guān)核心素養(yǎng)的發(fā)展。當(dāng)然，經(jīng)歷證明過程的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，即組織學(xué)生立足于不同角度思考問題，嘗試一題多證，以此培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

（三）問題解決教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的建議

1.創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，關(guān)注整體感悟。

數(shù)形結(jié)合思想中的“形”主要體現(xiàn)在現(xiàn)實生活中，但部分學(xué)生由于無法熟練建立用于解決問題的數(shù)學(xué)模型，為此教師需要創(chuàng)設(shè)連接實際生活的情境，在培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的同時，培養(yǎng)其概念、公式以及方程等建模能力，在構(gòu)造數(shù)學(xué)建模中感受數(shù)學(xué)建模的作用。與此同時，教師需要認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)高考中的占比，在問題解決教學(xué)中抓住運用數(shù)形結(jié)合思想的典型真題，帶領(lǐng)學(xué)生深入剖析并抓住問題中散落的知識點，一方面加強(qiáng)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面體會如何運用數(shù)形結(jié)合思想解題，使其在理解內(nèi)涵的同時增強(qiáng)整體感悟。

2.培養(yǎng)應(yīng)用意識，關(guān)注歸納總結(jié)。

本文認(rèn)為“數(shù)形結(jié)合”的關(guān)鍵在于“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化，而且很多數(shù)學(xué)問題會考查學(xué)生的數(shù)形互化能力。因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生解題能力的同時，應(yīng)有意識地提升其“數(shù)形”轉(zhuǎn)化能力。一是增強(qiáng)運用數(shù)形結(jié)合思想的意識。教師需要在課前整體設(shè)計“數(shù)形結(jié)合”在問題解決教學(xué)中的實施步驟，并在平時重點關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”意識；二是關(guān)注歸納總結(jié)，課后及時展開反思。一些教師在高考壓力面前為學(xué)生安排大量練習(xí)題，旨在提升其解題能力，但僅“刷題”卻忽視總結(jié)及反思是毫無意義的。因此，教師需要讓學(xué)生在做練習(xí)題時關(guān)注“好題”與“錯題”，并及時總結(jié)、歸納、記錄到“積累本”中，在每次翻閱中領(lǐng)悟其背后包含的數(shù)學(xué)思想?？傊瑪?shù)學(xué)學(xué)習(xí)屬于循序漸進(jìn)的過程，結(jié)果雖然重要但是過程也不容忽視。

五、結(jié)語

綜上所述，隨著我國新課改的進(jìn)一步深入，課堂教學(xué)愈發(fā)重視對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，越來越多的教師認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的應(yīng)用價值。作為高中數(shù)學(xué)教師，需依循教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生具體情況出發(fā)，有效運用數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生對其產(chǎn)生深入理解并能扎實掌握，在為學(xué)生有效運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題奠定基礎(chǔ)的同時，落實培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)。