高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的實(shí)踐探究

黎超妍

［摘 要］為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，數(shù)學(xué)教師需要對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行科學(xué)規(guī)劃，融合特殊與一般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，努力培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，幫助學(xué)生積累素材，活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維。文章立足于學(xué)生解題能力的發(fā)展，分析了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的重要性，闡述了學(xué)生解題過(guò)程中需要應(yīng)用的基本思想，探討了培養(yǎng)學(xué)生解題能力的具體方法。

［關(guān)鍵詞］高中數(shù)學(xué)；解題能力；培養(yǎng)策略

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）27-0062-03

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系比較復(fù)雜，教學(xué)內(nèi)容的難度有所提升，對(duì)學(xué)生解題能力的要求也比較高。然而，部分學(xué)生依舊采用“淺嘗輒止”的學(xué)習(xí)方法，對(duì)數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)知識(shí)不做深度思考，因此只能解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生存在解題能力不足的問(wèn)題。一些學(xué)生解題速度慢、解題正確率低，還有一些學(xué)生面對(duì)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)直接放棄，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心屢屢受挫。為此，筆者深入分析學(xué)生在解題過(guò)程中存在的困難，探究培養(yǎng)學(xué)生解題能力的有效方法。

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的前提條件

（一）增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的前提和基礎(chǔ)，只有讓學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的原理，才能切實(shí)提升學(xué)生的解題能力?；A(chǔ)知識(shí)和經(jīng)典例題是最為重要的教學(xué)內(nèi)容，二者的講解相輔相成，共同促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可采用典型例題講解、開(kāi)展課內(nèi)練習(xí)等方式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解，使學(xué)生獲得完善的知識(shí)儲(chǔ)備，進(jìn)而靈活運(yùn)用知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“充分條件與必要條件”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生需要了解常用的邏輯用語(yǔ)，具備清晰的邏輯思維。在解題訓(xùn)練中，學(xué)生可以結(jié)合實(shí)例，深入理解邏輯語(yǔ)句，通過(guò)判斷真命題、假命題等練習(xí)，熟練掌握數(shù)學(xué)概念。另外，在學(xué)習(xí)復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以充分運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、采用不同的方法進(jìn)行解題，以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

（二）活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維包括比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等多個(gè)方面，只有學(xué)生具備了一定的數(shù)學(xué)思維，掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，才能主動(dòng)參與、獨(dú)立思考、親身實(shí)踐，對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行概括、反思。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，首先要鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的思維更加靈活，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者經(jīng)常結(jié)合單元教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)多種渠道搜集數(shù)學(xué)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題訓(xùn)練，并請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己的解題思路，最后由教師對(duì)難題進(jìn)行深度剖析。在說(shuō)解題思路的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)深入分析、挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件，明確數(shù)學(xué)解題的主線，整理數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題脈絡(luò)，形成數(shù)學(xué)解題思維。學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)理論解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中解題思維就會(huì)越來(lái)越活躍，進(jìn)而主動(dòng)探索多種解題方法。

（三）增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心

培養(yǎng)學(xué)生的自信心是提高學(xué)生解題能力的前提條件，只有學(xué)生敢于分析問(wèn)題、有信心挑戰(zhàn)復(fù)雜問(wèn)題，才能抓住數(shù)學(xué)題中的關(guān)鍵突破口，快速解答問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等理論知識(shí)的學(xué)習(xí)是學(xué)生吸收知識(shí)的過(guò)程，而解題則是學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程。如果學(xué)生能正確解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，就能從中獲得成就感和自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。當(dāng)前，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不會(huì)解題，或解題正確率低，遇到難題不知從何下手，容易自暴自棄，喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。在這種情況下，教師可以先開(kāi)展簡(jiǎn)單的題型訓(xùn)練，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)布置難易適中的練習(xí)題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，提高解題的正確率，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，再進(jìn)行進(jìn)階練習(xí)。

二、學(xué)生解題過(guò)程中存在的主要問(wèn)題

（一）解題技巧不熟練

在高中階段，很多數(shù)學(xué)題都比較復(fù)雜，需要學(xué)生運(yùn)用一定的解題技巧，尋求簡(jiǎn)便、快速的解題方法。當(dāng)前，很多學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中不注重總結(jié)提煉，對(duì)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題不熟悉，解題速度較慢，無(wú)法第一時(shí)間抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心，這是學(xué)生解題過(guò)程中面臨的主要困難。從近幾年的高考題中可以看出，很多試題需要學(xué)生構(gòu)造特殊函數(shù)、分析特殊數(shù)列、尋找特殊的位置關(guān)系、利用特殊值或者特殊方程等，即需要學(xué)生運(yùn)用一定的解題技巧，采用特殊與一般的思想方法，抓住特殊問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，這樣才能提高解題效果。然而，在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生對(duì)特殊問(wèn)題不熟悉，很難將特殊問(wèn)題放到一般情境下進(jìn)行探索，解題能力不足。

（二）解題過(guò)程不簡(jiǎn)練

在高中階段，很多數(shù)學(xué)題具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生在解題時(shí)容易出現(xiàn)思路混亂，難以找到問(wèn)題的突破口，導(dǎo)致解題過(guò)程煩瑣。例如，函數(shù)類問(wèn)題在高考中占據(jù)重要地位，學(xué)生在解答這類問(wèn)題時(shí)，需要深入分析問(wèn)題，從所求向已知推理，抓住問(wèn)題的突破口，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行解題。然而，很多學(xué)生在答題過(guò)程中將簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，不會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，解題過(guò)程不夠直觀、簡(jiǎn)練。

（三）答題結(jié)果不全面

在高中階段，有些數(shù)學(xué)題的答案不是唯一的，需要學(xué)生對(duì)不同的情況進(jìn)行全面說(shuō)明。筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)都存在考慮不全面的現(xiàn)象，往往只對(duì)一種或部分情況進(jìn)行討論。分類討論思想是學(xué)生解題的重要思想，該思想在很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)題中都有所體現(xiàn)。例如，“圓錐曲線與方程”中有一類數(shù)學(xué)題要求學(xué)生根據(jù)題目的動(dòng)點(diǎn)變化規(guī)律對(duì)曲線方程求解。要求解此類型題，學(xué)生需要掌握動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，首先判斷曲線是否為雙曲線，再進(jìn)一步得出曲線方程。有些曲線方程不能滿足雙曲線的形成條件，需要學(xué)生進(jìn)行分類討論。如果學(xué)生缺乏分類討論的意識(shí)，就無(wú)法得到全面的答案。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的具體方法

（一）精準(zhǔn)審題，尋找問(wèn)題的突破口

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力首先需要提高學(xué)生的審題能力，只有學(xué)生掌握了審題的方法，找到了問(wèn)題的關(guān)鍵突破口，才能以正確的方式解題。筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的審題能力不足，原本會(huì)做的題目會(huì)因?yàn)閷忓e(cuò)題而出錯(cuò)，因此，鍛煉學(xué)生的審題能力至關(guān)重要。教師需要引導(dǎo)學(xué)生在審題過(guò)程中應(yīng)用多樣化的審題技巧，厘清題目當(dāng)中所展現(xiàn)的邏輯關(guān)系，挖掘題目的隱含條件，這樣才能提高解題的正確率。

［例1］已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），漸近線方程為[y=±3x]，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

在解答這道題時(shí)，學(xué)生首先需要認(rèn)真審題。題目給出了一個(gè)雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)（2，3），并且還給出了雙曲線的漸近線方程，要求學(xué)生計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

在計(jì)算時(shí)，學(xué)生通常會(huì)先把標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)出來(lái)，然后再根據(jù)題目當(dāng)中的已知條件，列出a和b的關(guān)系，解出a和b的值。在解答此類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生還需要考慮雙曲線焦點(diǎn)的位置，將焦點(diǎn)在y軸的情況考慮進(jìn)去。在這道題目中，雙曲線的漸近線方程為[y=±3x]，則可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為[y23-x2=λ（λ≠0）]，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），則可以得出[323-22=λ]，解得[λ=-1]。最終得出該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2-y23=1]。

（二）積累素材，夯實(shí)學(xué)生解題基礎(chǔ)

一些學(xué)生在遇到陌生題型時(shí)，容易出現(xiàn)畏懼、緊張等心理，一旦題目中出現(xiàn)陌生的詞匯、公式、圖象，學(xué)生的解題效率就會(huì)下降，相應(yīng)的解題正確率也會(huì)下滑。在這種情況下，教師需要在日常教學(xué)中幫助學(xué)生積累習(xí)題素材，使學(xué)生可以更好地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，提高解題效率。例如，“雙曲線和橢圓”是重要的教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也是圓錐曲線部分最難的內(nèi)容。在日常練習(xí)中，教師可以為學(xué)生補(bǔ)充等軸雙曲線、黃金雙曲線、函數(shù)雙曲線的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)特殊的雙曲線。

［例2］[F1]，[F2]為雙曲線C：[x2a2-y2b2=1]（a，[b>0]）的左右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，過(guò)[F2]且垂直于漸近線的直線[l]與[y]軸相交于點(diǎn)B，以線段[AF2]為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，求雙曲線的離心率[e]。

在解答這道題時(shí)，學(xué)生需要了解黃金雙曲線的相關(guān)內(nèi)容。根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為y=[ab]（x-c），則[B0，-acb]，[F2（c，0）]，因?yàn)閇AB⊥F2B]，得出[OB2=OA·OF2]，即[acb2=ac]，[b2=ac=c2-a2]，最終，由[e2-e-1=0]及[e>1]解得雙曲線的離心率[e=5+12]。

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生制作錯(cuò)題本，積累易錯(cuò)題，鼓勵(lì)學(xué)生將不同類型的題目分類。通過(guò)積累數(shù)學(xué)習(xí)題素材，學(xué)生可以在解答數(shù)學(xué)題時(shí)更加從容、淡定，從自身的解題經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，厘清解題思路，提高解題效率。

（三）聯(lián)系生活，活躍學(xué)生解題思維

一些高中數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，主要體現(xiàn)在概率與統(tǒng)計(jì)方面的內(nèi)容上。在解答這一類問(wèn)題時(shí)，教師可以通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生用生活的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，深入理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

［例3］某校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)國(guó)學(xué)、體育、繪畫三個(gè)興趣小組。為了掌握每個(gè)小組的活動(dòng)開(kāi)展情況，了解學(xué)生對(duì)興趣小組的滿意程度，該校教師決定在這三個(gè)興趣小組中抽取若干人，組成聯(lián)合調(diào)查小組，有關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示（單位：人）。

（1）求[x]和[y]的值。

（2）現(xiàn)需要從國(guó)學(xué)小組和體育小組抽取的人中選兩個(gè)人開(kāi)展專題匯報(bào)，那么這兩個(gè)人都來(lái)自體育小組的概率是多少？

這道題主要考查分層抽樣的知識(shí)，教師可以提問(wèn)學(xué)生：“如果你是老師，想要調(diào)查興趣小組的開(kāi)展情況，你會(huì)選哪個(gè)小組的人？每個(gè)小組抽取幾個(gè)人？”通過(guò)點(diǎn)撥和指導(dǎo)，學(xué)生可以結(jié)合分層抽樣的相關(guān)知識(shí)，提出要從各小組中抽取相同比例的學(xué)生。在解答第（1）小題時(shí)，抽取調(diào)查人員需要確保每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的。根據(jù)體育小組成員被抽取的情況，可以得出抽取比例為[336=112]，進(jìn)而計(jì)算出[x=1]，[y=4]。在解答第（2）小題時(shí)，已經(jīng)知道國(guó)學(xué)小組抽取到了1人，可以將這位同學(xué)記為a，體育小組抽到了3人，可以記為b、c、d，然后就可以按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽取，可能出現(xiàn)的結(jié)果有ab、ac、ad、bc、bd、cd六種，其中，兩個(gè)人都來(lái)自體育小組的情況有三種，因此可以得出兩個(gè)人都來(lái)自體育小組的概率為[12]。

（四）反思總結(jié)，回顧解題思路

為更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師需要在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)典例題，回顧解題方法和解題思路，找到解題時(shí)容易出現(xiàn)的失誤，提高學(xué)生的解題效率。例如，“圓錐曲線與方程”是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在這一單元中，學(xué)生學(xué)習(xí)了曲線與方程、橢圓、雙曲線、拋物線的知識(shí)，涉及大量的幾何問(wèn)題。教師可以先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)單元知識(shí)，再通過(guò)經(jīng)典例題來(lái)總結(jié)常見(jiàn)題型的解題步驟，提高學(xué)生的解題效率。此外，教師還可以通過(guò)經(jīng)典例題幫助學(xué)生分析雙曲線、橢圓、拋物線之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同類型的問(wèn)題進(jìn)行反思。首先，拋物線和橢圓之間屬于“平行關(guān)系”，二者結(jié)構(gòu)相似，但拋物線以某一個(gè)點(diǎn)為焦點(diǎn)，橢圓則是以原點(diǎn)為中心。其次，拋物線、橢圓、雙曲線之間有共同的變量，三者都可以用同一類二次方程來(lái)表示，但它們的變量參數(shù)不同，拋物線使用的是p，橢圓、雙曲線使用的是a，b。最后，從幾何圖形的角度來(lái)看，拋物線、雙曲線和橢圓都屬于一類幾何圖形。通過(guò)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)及對(duì)典型例題解題技巧的歸納總結(jié)，學(xué)生可以融會(huì)貫通，構(gòu)建完善的單元知識(shí)架構(gòu)，掌握不同知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而進(jìn)一步提高解題效率。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力至關(guān)重要。教師需要在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，讓學(xué)生獲得更多的審題機(jī)會(huì)，從而開(kāi)闊視野，提高解題的熟練度。此外，教師還需要不斷積累習(xí)題素材，幫助學(xué)生夯實(shí)解題基礎(chǔ)，并聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活激發(fā)學(xué)生的解題思維，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和提煉，拓寬學(xué)生解題思路。由此可見(jiàn)，教師需要通過(guò)多種方法培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，進(jìn)而提高學(xué)生的解題效率和正確率。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

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（責(zé)任編輯? ? 羅 艷）