一類含摩擦項(xiàng)的群聚模型的動力學(xué)探究

王 杰

吉林建筑大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)部,長春 130118

0 引言

奇異攝動問題是一類微分方程問題,在所研究的方程中會帶有“小參數(shù)”進(jìn)行干擾.早在19世紀(jì)末期,諸多學(xué)者就已關(guān)注到這類問題.另外,在自然界中,人們會觀察到動物種群常常會排成特殊隊(duì)形前進(jìn)的現(xiàn)象,這種現(xiàn)象可以客觀解釋為在某種規(guī)則下,很多個體在無中心指導(dǎo)狀況下達(dá)成某種一致狀態(tài),然后有組織地進(jìn)行一種有序運(yùn)動.實(shí)際上在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,這一現(xiàn)象稱為Flocking(群聚)現(xiàn)象[1-4].近年來,很多來自不同領(lǐng)域的人們都在研究Flocking現(xiàn)象,研究對象有鳥類、蟲類、人群等,并且該現(xiàn)象在工程中得到廣泛應(yīng)用.

描述Flocking現(xiàn)象的模型有很多,其中有一類建立在牛頓力學(xué)系統(tǒng)中,將粒子的線速度進(jìn)行耦合,最后給出一個限定條件后會達(dá)到一種漸近flocking狀態(tài),這類模型就是著名的Cucker-Smale(C-S)模型.近年來,文獻(xiàn)[5-6]考慮了一類帶有Rayleigh摩擦項(xiàng)的Cucker-Smale模型,然后文獻(xiàn)[7-9]又利用奇異攝動理論討論了一類Flocking問題.本文是在此基礎(chǔ)上針對C-S模型加入Rayleigh摩擦項(xiàng)和小參數(shù)進(jìn)行擾動,最后利用動力學(xué)系統(tǒng)理論和奇異攝動理論初步分析相關(guān)動力學(xué)問題.

1 預(yù)備知識

1.1 快-慢系統(tǒng)

主要介紹快-慢系統(tǒng)[7],并對系統(tǒng)的快變體系進(jìn)行分析.

具體考慮快-慢系統(tǒng)

(1)

滿足初值

U(0)=U0,t=0

(2)

其中,F(U),G(U):RN→RN都是連續(xù)函數(shù).做時(shí)間尺度變換

則

故有

當(dāng)

ε→0

分別得到

(3)

(4)

稱F(U),G(U)分別為式(1)的快變體系和慢變體系.

2 Cucker-Smale多尺度模型

2.1 多尺度問題

考慮如下多尺度問題

(5)

滿足

(xi,vi)(0)=(xi0,vi0), 1≤i≤N

(6)

其中,ψ(S)>0,S=‖xj-xi‖≥0, 0<ε≤1, 1≤i,j≤N

其中,非負(fù)對稱函數(shù)ψ(S)表示粒子之間的交流權(quán)重,即ψ(S)是關(guān)于第i個粒子和第j個粒子的影響函數(shù),要求ψ(S)連續(xù)可積且有界.

令

以及

則式(5)可寫為:

(7)

做時(shí)間尺度變換

所以,

故

令

ε→0

得到:

(8)

(9)

對于方程,可寫為

進(jìn)一步,可記cij=ψ(‖xj-xi‖)有界,因此快系統(tǒng)式(8)改寫成:

(10)

2.2 快系統(tǒng)的有界性

定理2.2.1 設(shè)(xi,vi)∈R2d為式(10)滿足初始條件的解, 則有:

‖xi(s)‖≤C

‖vi(s)‖≤max{‖v10‖,…,‖vN0‖,1},s≥0, 1≤i≤N

其中,C為僅和x(0)=[x10,x20,…,xN0]T相關(guān)的常數(shù).

證明 首先,由

所以xi=xi0,因此一定存在一個只和x(0)相關(guān)的常數(shù)C>0,使得‖xi(s)‖≤C,下證vi(s)是有界的,

若存在i∈{1,…,N},使得‖vi0‖>1,則

不失一般性,不妨設(shè)?j≠i,且‖vi‖>1,‖vj‖<‖vi‖,故有:

(vj-vi,vi)=(vj,vi)-‖vi‖2≤‖vj‖‖vi‖-‖vi‖2<0

此時(shí)有

所以‖vi‖2隨時(shí)間s遞減,且有‖vi(s)‖<‖vi0‖,從而若存在i∈{1,…,N},有‖vi(s)‖≤max{‖v10‖,…,‖vN0‖},s≥0,1≤i≤N.

綜上,得證.

3 結(jié)論

本文運(yùn)用奇異攝動理論和動力系統(tǒng)理論, 初步分析了一類含有小參數(shù)和Rayleigh摩擦項(xiàng)的Cucker-Smale模型的解的有界性,有界性對于解而言十分重要,是討論最終能夠得到漸進(jìn)群聚解的前提條件,可為以后探究此模型的其他動力學(xué)性質(zhì)提供參考.