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    對(duì)一道高考題的研究與教學(xué)啟示

    2023-12-10 03:12:21仇盼盼張新全
    數(shù)學(xué)之友 2023年16期
    關(guān)鍵詞:誤診率直方圖本題

    仇盼盼 張新全

    摘要:通過(guò)對(duì)2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題的研究,分析其考查特點(diǎn),探索它的解題思路,最后給出試題的解法,同時(shí)提出該題對(duì)高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)啟示,及如何使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

    關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué);概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂版)》指出:命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容,注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查,處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)試評(píng)價(jià)的第一個(gè)維度就是反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面,它們分別為情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題是一道優(yōu)質(zhì)考題,全面考查了統(tǒng)計(jì)與概率的主干知識(shí)、數(shù)學(xué)閱讀、概念理解,以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)和能力.

    1真題再現(xiàn)2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題如下:

    某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

    利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為 p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

    (1) 當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

    (2) 設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈95,105時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間 95,105的最小值.

    2試題分析本題以醫(yī)學(xué)上的漏診率和誤診率為背景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,考查了頻率分布直方圖和概率的計(jì)算,并將求函數(shù)的解析式及其最值問(wèn)題有機(jī)融合,試題具有一定的難度和綜合性.本題的絕對(duì)難度并不大,但考生解答情況卻很不理想.據(jù)考后調(diào)查,很多考生在閱讀題目后便放棄了作答此題,有的省份空白卷居然多達(dá)近70%.對(duì)于使用此卷的考生,本題到底難在哪里?我們認(rèn)為,本題定義了兩個(gè)新概念——漏診率和誤診率,并且給出了兩個(gè)頻率分布直方圖,這為考生在理解題意上造成較大困難.同時(shí)解答時(shí)需要考生在圖中標(biāo)出點(diǎn)c的位置,并分別依據(jù)兩個(gè)頻率分布直方圖來(lái)計(jì)算漏診率和誤診率,導(dǎo)致許多考生不知道把點(diǎn)放在哪里,或不知道用哪個(gè)圖計(jì)算漏診率或誤診率.總之,本題所考查的知識(shí)是考生熟悉且常規(guī)的,但問(wèn)題情境較為新穎,對(duì)考生的閱讀理解能力和邏輯推理能力要求較高,能夠較好地考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),值得我們深入研究與思考.

    本題共2問(wèn),但實(shí)際包含4個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,具體分析如下:

    第(1)問(wèn)要求臨界值c和誤診率q(c).首先要明確參數(shù)c和誤診率q(c)的意義,臨界值c表示判定為陽(yáng)性或陰性的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),誤診率q(c)表示將未患病者判定為陽(yáng)性的概率.其次,求臨界值c要求學(xué)生能從頻率分布直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)信息,會(huì)用樣本頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù).求誤診率q(c)要求學(xué)生能從題目閱讀中理解誤診率的含義,并從頻率直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果.在圖中正確標(biāo)注點(diǎn)c的位置并用相應(yīng)的面積表示概率是解答問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

    3試題解法(1) 當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c.

    評(píng)析:觀察法是最快速直接的方法,也是命題人設(shè)置這一問(wèn)的首要意圖,考查了學(xué)生讀題識(shí)圖的方法和能力.思維靈活性和觀察力較強(qiáng)的學(xué)生會(huì)運(yùn)用觀察法直接解答,但需要強(qiáng)調(diào)前提條件,此時(shí)的臨界值是漏診率p(c)=0.5%時(shí)的臨界值,不說(shuō)明前提條件的解答是不正確的,這要求學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確,這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn).計(jì)算法是解決此問(wèn)題的另一種方法,一題多解體現(xiàn)了不同層次的學(xué)生解決問(wèn)題的能力和效率.通過(guò)計(jì)算來(lái)解決此題,需要學(xué)生讀題后,從題目中明確需要解決的問(wèn)題和相關(guān)數(shù)據(jù),考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力,這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的又一體現(xiàn).當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),反推得出臨界值c在區(qū)間[95,100]內(nèi),由此計(jì)算得出臨界值c .

    (2) 求誤診率q(c).

    評(píng)析:誤診率是本題的另一新概念,應(yīng)與漏診率對(duì)比理解,并找到與之對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖進(jìn)行解答.方法1由臨界值可知,誤診率q(c)表示圖中[97.5,100]和(100,105]的矩形面積和,從概率所表示的幾何意義出發(fā)解題,思維量比較高.此問(wèn)與“已知漏診率,求臨界值”的設(shè)問(wèn)互補(bǔ),更加全面地考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.方法2是通過(guò)分別表示出[97.5,100]和(100,105]所對(duì)應(yīng)的概率,再求和.方法2是大多數(shù)學(xué)生都能想到的解題方法,也是命題人設(shè)置此問(wèn)的巧妙所在.當(dāng)不能立刻想到解決問(wèn)題的方法時(shí),就要冷靜思考,抽絲剝繭,借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分析現(xiàn)有問(wèn)題,探索問(wèn)題解決的突破口,這樣問(wèn)題也就迎刃而解.

    (3) 求f(c)的解析式.

    評(píng)析:本問(wèn)的設(shè)置考查學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,在理解題意的基礎(chǔ)上,找到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,問(wèn)題就容易解決了,此問(wèn)難在函數(shù)關(guān)系式是分段的.求分段函數(shù)解析式,學(xué)生需要明確分段區(qū)間和解析式的含義.f(c) 由p(c) 和q(c) 兩部分構(gòu)成,分開(kāi)計(jì)算更清晰明了,也方便檢查,及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并改正,且此題中的數(shù)據(jù)多為小數(shù),計(jì)算時(shí)需要小心謹(jǐn)慎.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn),此問(wèn)與前面的問(wèn)題看似沒(méi)有關(guān)聯(lián),但f(c)在實(shí)際問(wèn)題中有著重要的意義,此問(wèn)著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

    (4) 求f(c)的最小值.

    評(píng)析:此問(wèn)的設(shè)置與上一問(wèn)密切相關(guān),在求出函數(shù)關(guān)系式的前提下,自然會(huì)想到研究它的性質(zhì),求其最值就水到渠成.分段函數(shù)的最值要分段求,進(jìn)而確定整個(gè)函數(shù)的最值.在解答時(shí)有的學(xué)生未說(shuō)明各段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性,而把某一段函數(shù)的單調(diào)性看作整段函數(shù)的單調(diào)性,從而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.函數(shù)最值的解法并不唯一,設(shè)置此問(wèn)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性,突出了數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際生活的密切相關(guān)性,同時(shí)滲透了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

    4教學(xué)啟示4.1注重統(tǒng)計(jì)過(guò)程的考查首先是收集數(shù)據(jù),即根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@得數(shù)據(jù).其次是整理數(shù)據(jù),即用適當(dāng)?shù)膱D表表示數(shù)據(jù),高中階段需要掌握六種統(tǒng)計(jì)圖表:頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、列聯(lián)表,本題考查的是頻率分布直方圖.再次是分析數(shù)據(jù),用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù),高中階段主要學(xué)習(xí)兩類(lèi)數(shù)字特征:集中趨勢(shì)和離散程度.最后是統(tǒng)計(jì)推斷,即根據(jù)數(shù)字特征和概率做統(tǒng)計(jì)推理.掌握并深刻理解以上基本概念是解決概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn),就如本題中參數(shù)c的含義、p(c)和q(c)所表示的概率以及頻率分布直方圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息,在理解基本概念的基礎(chǔ)上讀題識(shí)圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,問(wèn)題就能迎刃而解.

    4.2滲透邏輯推理的培養(yǎng)邏輯推理是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力的學(xué)科核心素養(yǎng)之一,它不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論的推理論證和幾何圖形的證明方面,還體現(xiàn)在有邏輯地思考問(wèn)題,能夠在復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),用合乎邏輯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析和表達(dá).就如本題中陰性與陽(yáng)性所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn),漏診率與誤診率所對(duì)應(yīng)哪個(gè)圖表中的數(shù)據(jù),還有解題時(shí)使用的數(shù)學(xué)邏輯語(yǔ)言,都體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)思維的水平.

    4.3重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的提升數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).包括理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果.概率與統(tǒng)計(jì)部分的計(jì)算涉及數(shù)據(jù)較多,且數(shù)據(jù)的形式多樣,有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等多種形式,要重視學(xué)生深刻理解算理,合理選擇算法,選擇合適的數(shù)的形式和運(yùn)算思路,要筆算精確結(jié)果,不能粗略估計(jì)或口算,最后要必要的檢查.“推理是命根子,運(yùn)算是童子功”,數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題都是靠算出來(lái)的.因此,教學(xué)中不能忽視數(shù)學(xué)運(yùn)算,不能默認(rèn)學(xué)生列出式子就會(huì)計(jì)算,正確的計(jì)算結(jié)果才是完全解決問(wèn)題的標(biāo)志.參考文獻(xiàn):

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