對(duì)一道高考題的研究與教學(xué)啟示

仇盼盼　張新全

摘要：通過(guò)對(duì)2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題的研究，分析其考查特點(diǎn)，探索它的解題思路，最后給出試題的解法，同時(shí)提出該題對(duì)高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)啟示，及如何使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂版）》指出：命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)試評(píng)價(jià)的第一個(gè)維度就是反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面，它們分別為情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題是一道優(yōu)質(zhì)考題，全面考查了統(tǒng)計(jì)與概率的主干知識(shí)、數(shù)學(xué)閱讀、概念理解，以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)和能力.

1真題再現(xiàn)2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題如下：

某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為 p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1） 當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2） 設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c）.當(dāng)c∈95，105時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間 95，105的最小值.

2試題分析本題以醫(yī)學(xué)上的漏診率和誤診率為背景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查了頻率分布直方圖和概率的計(jì)算，并將求函數(shù)的解析式及其最值問(wèn)題有機(jī)融合，試題具有一定的難度和綜合性.本題的絕對(duì)難度并不大，但考生解答情況卻很不理想.據(jù)考后調(diào)查，很多考生在閱讀題目后便放棄了作答此題，有的省份空白卷居然多達(dá)近70%.對(duì)于使用此卷的考生，本題到底難在哪里？我們認(rèn)為，本題定義了兩個(gè)新概念——漏診率和誤診率，并且給出了兩個(gè)頻率分布直方圖，這為考生在理解題意上造成較大困難.同時(shí)解答時(shí)需要考生在圖中標(biāo)出點(diǎn)c的位置，并分別依據(jù)兩個(gè)頻率分布直方圖來(lái)計(jì)算漏診率和誤診率，導(dǎo)致許多考生不知道把點(diǎn)放在哪里，或不知道用哪個(gè)圖計(jì)算漏診率或誤診率.總之，本題所考查的知識(shí)是考生熟悉且常規(guī)的，但問(wèn)題情境較為新穎，對(duì)考生的閱讀理解能力和邏輯推理能力要求較高，能夠較好地考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，值得我們深入研究與思考.

本題共2問(wèn)，但實(shí)際包含4個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體分析如下：

第（1）問(wèn)要求臨界值c和誤診率q（c）.首先要明確參數(shù)c和誤診率q（c）的意義，臨界值c表示判定為陽(yáng)性或陰性的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，誤診率q（c）表示將未患病者判定為陽(yáng)性的概率.其次，求臨界值c要求學(xué)生能從頻率分布直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)信息，會(huì)用樣本頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù).求誤診率q（c）要求學(xué)生能從題目閱讀中理解誤診率的含義，并從頻率直方圖中獲取有用的數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果.在圖中正確標(biāo)注點(diǎn)c的位置并用相應(yīng)的面積表示概率是解答問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

3試題解法（1） 當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c.

評(píng)析：觀察法是最快速直接的方法，也是命題人設(shè)置這一問(wèn)的首要意圖，考查了學(xué)生讀題識(shí)圖的方法和能力.思維靈活性和觀察力較強(qiáng)的學(xué)生會(huì)運(yùn)用觀察法直接解答，但需要強(qiáng)調(diào)前提條件，此時(shí)的臨界值是漏診率p（c）=0.5%時(shí)的臨界值，不說(shuō)明前提條件的解答是不正確的，這要求學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn).計(jì)算法是解決此問(wèn)題的另一種方法，一題多解體現(xiàn)了不同層次的學(xué)生解決問(wèn)題的能力和效率.通過(guò)計(jì)算來(lái)解決此題，需要學(xué)生讀題后，從題目中明確需要解決的問(wèn)題和相關(guān)數(shù)據(jù)，考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的又一體現(xiàn).當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時(shí)，反推得出臨界值c在區(qū)間［95，100］內(nèi)，由此計(jì)算得出臨界值c .

（2） 求誤診率q（c）.

評(píng)析：誤診率是本題的另一新概念，應(yīng)與漏診率對(duì)比理解，并找到與之對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖進(jìn)行解答.方法1由臨界值可知，誤診率q（c）表示圖中［97.5，100］和（100，105］的矩形面積和，從概率所表示的幾何意義出發(fā)解題，思維量比較高.此問(wèn)與“已知漏診率，求臨界值”的設(shè)問(wèn)互補(bǔ)，更加全面地考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.方法2是通過(guò)分別表示出［97.5，100］和（100，105］所對(duì)應(yīng)的概率，再求和.方法2是大多數(shù)學(xué)生都能想到的解題方法，也是命題人設(shè)置此問(wèn)的巧妙所在.當(dāng)不能立刻想到解決問(wèn)題的方法時(shí)，就要冷靜思考，抽絲剝繭，借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分析現(xiàn)有問(wèn)題，探索問(wèn)題解決的突破口，這樣問(wèn)題也就迎刃而解.

（3） 求f（c）的解析式.

評(píng)析：本問(wèn)的設(shè)置考查學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，在理解題意的基礎(chǔ)上，找到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，問(wèn)題就容易解決了，此問(wèn)難在函數(shù)關(guān)系式是分段的.求分段函數(shù)解析式，學(xué)生需要明確分段區(qū)間和解析式的含義.f（c） 由p（c） 和q（c） 兩部分構(gòu)成，分開(kāi)計(jì)算更清晰明了，也方便檢查，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并改正，且此題中的數(shù)據(jù)多為小數(shù)，計(jì)算時(shí)需要小心謹(jǐn)慎.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，此問(wèn)與前面的問(wèn)題看似沒(méi)有關(guān)聯(lián)，但f（c）在實(shí)際問(wèn)題中有著重要的意義，此問(wèn)著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

（4） 求f（c）的最小值.

評(píng)析：此問(wèn)的設(shè)置與上一問(wèn)密切相關(guān)，在求出函數(shù)關(guān)系式的前提下，自然會(huì)想到研究它的性質(zhì)，求其最值就水到渠成.分段函數(shù)的最值要分段求，進(jìn)而確定整個(gè)函數(shù)的最值.在解答時(shí)有的學(xué)生未說(shuō)明各段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，而把某一段函數(shù)的單調(diào)性看作整段函數(shù)的單調(diào)性，從而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.函數(shù)最值的解法并不唯一，設(shè)置此問(wèn)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，突出了數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際生活的密切相關(guān)性，同時(shí)滲透了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

4教學(xué)啟示4.1注重統(tǒng)計(jì)過(guò)程的考查首先是收集數(shù)據(jù)，即根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@得數(shù)據(jù).其次是整理數(shù)據(jù)，即用適當(dāng)?shù)膱D表表示數(shù)據(jù)，高中階段需要掌握六種統(tǒng)計(jì)圖表：頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、列聯(lián)表，本題考查的是頻率分布直方圖.再次是分析數(shù)據(jù)，用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)，高中階段主要學(xué)習(xí)兩類(lèi)數(shù)字特征：集中趨勢(shì)和離散程度.最后是統(tǒng)計(jì)推斷，即根據(jù)數(shù)字特征和概率做統(tǒng)計(jì)推理.掌握并深刻理解以上基本概念是解決概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，就如本題中參數(shù)c的含義、p（c）和q（c）所表示的概率以及頻率分布直方圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，在理解基本概念的基礎(chǔ)上讀題識(shí)圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，問(wèn)題就能迎刃而解.

4.2滲透邏輯推理的培養(yǎng)邏輯推理是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力的學(xué)科核心素養(yǎng)之一，它不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論的推理論證和幾何圖形的證明方面，還體現(xiàn)在有邏輯地思考問(wèn)題，能夠在復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，用合乎邏輯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析和表達(dá).就如本題中陰性與陽(yáng)性所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)，漏診率與誤診率所對(duì)應(yīng)哪個(gè)圖表中的數(shù)據(jù)，還有解題時(shí)使用的數(shù)學(xué)邏輯語(yǔ)言，都體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)思維的水平.

4.3重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的提升數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.概率與統(tǒng)計(jì)部分的計(jì)算涉及數(shù)據(jù)較多，且數(shù)據(jù)的形式多樣，有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等多種形式，要重視學(xué)生深刻理解算理，合理選擇算法，選擇合適的數(shù)的形式和運(yùn)算思路，要筆算精確結(jié)果，不能粗略估計(jì)或口算，最后要必要的檢查.“推理是命根子，運(yùn)算是童子功”，數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題都是靠算出來(lái)的.因此，教學(xué)中不能忽視數(shù)學(xué)運(yùn)算，不能默認(rèn)學(xué)生列出式子就會(huì)計(jì)算，正確的計(jì)算結(jié)果才是完全解決問(wèn)題的標(biāo)志.參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 楊會(huì)濤，胡志奇.如何提高數(shù)學(xué)閱讀能力——以2019年高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)解答題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（5）：4447.

［3］ 任子朝，陳昂，趙軒. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力考查展現(xiàn)邏輯思維功底［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（7）：813.

［4］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［5］ 魯依玲，夏玉梅，寧連華.基于SOLO分類(lèi)理論的高考數(shù)學(xué)試題分析—以2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（3）：1823.