“動”與“靜”比翼，“數”與“形”雙飛

龍祁林

摘要：平面解析幾何中的最值問題往往可以很好地融入“動”與“靜”，而解決問題時又可以體現“數”與“形”，成為高考命題的一個重要場景.本文結合一道高考模擬題，并結合“動”與“靜”的場景，從“數”與“形”兩個視角切入，展示不同的解題思維與技巧方法，指導教師的數學教學與學生的學習以及數學解題研究.

關鍵詞：橢圓；最值；函數；幾何；變式涉及平面解析幾何中參數、代數式等的最值問題，一直是高考數學試卷中的一個熟悉“面孔”，難度中等及以上.此類問題可以有效綜合點、直線、圓、圓錐曲線等相關元素，合理交匯其他相關知識，題目新穎，背景生動，“動”“靜”結合，融合度高，變化多端，形式各樣.而解決問題時又可以“數”“形”轉化，給考生以更多的視角與機會，充分體現試題的選拔性與區(qū)分度，備受各級各類考試的命題者青睞.

1問題呈現

2問題破解

2.1思維視角一：函數視角

2.2思維視角二：幾何視角

解后反思：幾何思維解法是處理此類問題的“巧技妙法”，展現的就是“米勒定理”問題，通過幾何圖形的直觀視角，結合正弦定理以及圓的幾何性質等加以邏輯推理與數形結合，這里合理構建對應的圓是解決問題的過渡點與“橋梁”，進而確定對應張角的最大位置與三角函數值的最值.幾何思維法的關鍵在于構建相應的幾何直觀圖形，“形”看最值條件，結合幾何圖形的基本性質加以分析與應用.

3教學啟示

3.1“動”與“靜”結合，“數”與“形”轉化破解平面解析幾何中的代數關系式、三角函數值等的定值、最值（或取值范圍等）相關問題時，基于動點、動直線等要素對應的題設中點、直線、圓等相關元素的變化運動規(guī)律，“動”中取“靜”，確定相關定值、最值（或取值范圍等）的位置點.解決問題時，可以從“數”的視角通過相關幾何元素中抽象數學關系，結合關系式或不等式的建立，以代數方式來處理；或從“形”的視角通過平面幾何圖形中歸納運動規(guī)律，結合幾何特征來分析，以幾何方式來處理.

3.2開展“一題多解”，實現“一題多得”

2019年發(fā)行的《中國高考評價體系》為今后的高考試題改革指明方向，其中包括“高考試題要體現基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性”等，為高考命題與高中教學提供更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時的教學與解題研究中，在強化學生對數學基本概念、基礎知識、基本方法與基本技能等方面訓練的基礎上，以習題的“一題多解”探究為載體，開闊學生解題視野，使他們熟練掌握更多解題方法；并在此基礎上做到深度學習，進行合理的“一題多變”，達到“一題多得”等目的，總結解題規(guī)律，有效避免題海戰(zhàn)術，真正有效培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、數學運算能力和創(chuàng)新應用能力等.