基于時間重排多重同步壓縮S 變換的軸承故障診斷

劉 偉 劉 洋 李雙喜 翟志興 魏文豪

(北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 北京 100029)

引 言

滾動軸承在風(fēng)力渦輪機(jī)、航空發(fā)動機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中發(fā)揮著重要作用。 軸承故障作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械最常見的故障之一,一直是故障診斷領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-4]。 在機(jī)械設(shè)備的故障診斷中,往往先從傳感器采集到的時域信號中獲取設(shè)備在各個時刻的運(yùn)行狀態(tài),然后對時域信號進(jìn)行傅里葉變換(Fourier transform,FT)并描述信號的頻率分布情況,通過將頻率信息與故障頻率進(jìn)行對比來診斷故障。 然而在實(shí)際應(yīng)用中,僅僅依靠時域或頻域信息判斷設(shè)備的健康狀況存在一定困難,在此背景下,時頻分析(time-frequency analysis,TFA)方法應(yīng)運(yùn)而生。

時頻分析是一種將一維時域信號映射到二維時頻空間的表征方法,它能夠反映頻率隨時間的變化關(guān)系和各個時頻點(diǎn)的能量強(qiáng)度[5]。 常用的線性時頻分析方法包括短時傅里葉變換(short-time Fourier transform,STFT)、連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,CWT)和S 變換等。 Auger 等[6]使用重排方法(reassigned method,RM)對時頻表示(time-frequency representation, TFR)進(jìn)行后處理,該方法通過將時頻空間中的分散能量聚集到其附近的重心來減少混疊現(xiàn)象,然而同時在時間軸和頻率軸壓縮能量會導(dǎo)致相位信息丟失,這使得該算法存在不可逆性的缺陷。 為了解決這一難題,Daubechies 等[7]提出了同步壓縮變換(synchrosqueezing transform,SST),其核心思想是沿頻率方向?qū)FR 進(jìn)行能量重排,雖然可讀性不如RM 方法,但是該方法具備信號重構(gòu)能力,且SST 及其高階版本已經(jīng)在STFT、CWT和S 變換的應(yīng)用中取得顯著成效[8-10]。 盡管SST在一定程度上提升了線性TFA 方法的能量集中度,但由于線性TFA 方法本身是通過信號和基函數(shù)間的內(nèi)積來定位局部的時變特征,導(dǎo)致該類方法在處理強(qiáng)時變信號時效果不佳。 為此,Yu 等[11-12]提出了多重同步壓縮變換(multi-synchrosqueezing transform,MSST),這是一種對TFR 進(jìn)行多次SST 操作以提升時頻分辨率的迭代算法,缺點(diǎn)是會犧牲少量計(jì)算成本。 上述方法通常適用于轉(zhuǎn)子碰摩和齒輪故障的診斷。 然而,針對軸承缺陷產(chǎn)生的脈沖信號,需要使用時間分辨率較高的時頻分析方法來處理,上述方法對脈沖信號的特征提取效果不佳。 最近,He等[13]提出時間重排同步壓縮變換(time-reassigned synchrosqueezing transform,TSST),該方法將TFR 中分散的時頻系數(shù)重新分配到群延時算子(group delay operator,GDO),從而大大提高了時間方向的分辨率,這對于脈沖特征提取非常重要。

受S 變換、MSST 和TSST 的啟發(fā),本文提出一種新的時頻分析方法—時間重排多重同步壓縮S 變換( time-reassigned multisynchrosqueezing S-transform,TMSSST),該方法對GDO 進(jìn)行多次迭代,使得時頻系數(shù)重排目標(biāo)越來越集中,并接近真實(shí)脈沖軌跡。 相較于傳統(tǒng)方法,該方法適用于具有快速變化特征的脈沖信號。 同時,通過對TFR 進(jìn)行時頻掩碼(time-frequency masking,TFM)可實(shí)現(xiàn)對信號的降噪處理。 對于軸承故障,該方法能夠獲得時間分辨率較高的時頻分布,在此基礎(chǔ)上可更準(zhǔn)確地獲取脈沖間隔從而提取故障頻率。 最后通過軸承故障的模擬信號和實(shí)驗(yàn)信號驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 TMSSST 方法

1.1 S 變換

對于能量有限的信號f,其頻域S 變換可以定義為

式中,A(ω)和?(ω)分別表示振幅和相位,-?′(ω)是理想的GDO。 式中的高斯函數(shù)為g(t) =()-1e-t2/2σ2, 其傅里葉變換為(ω) =e-ω2σ2/2,這里σ是調(diào)整窗寬的重要參數(shù),本文定義σ=()-1,這可以在一定程度上緩解測不準(zhǔn)定律。 其中(·^) 表示傅里葉變換,(·)*表示復(fù)共軛。

1.2 時間重排同步壓縮S 變換

時間重排同步壓縮S 變換(TSSST)的核心思想是在S 變換的時間方向進(jìn)行能量重排,即(t,ω)→((t,ω),ω)。 該方法建立在弱變頻信號的假設(shè)上,即對于任意頻率ω,都存在ε使得max{A′(ω),?″(ω)}≤ε,故(η)可以定義為

將式(3)代入式(2)得到

對式(4)求導(dǎo)可得GDO

聯(lián)立式(4)和式(5),沿時間方向積分可將模糊的時頻能量聚集到GDO 上。

1.3 時間重排多重同步壓縮S 變換

TMSSST 具備處理強(qiáng)變頻信號的能力,對該類信號而言,對于任意頻率ω,都存在ε使得max{A′(ω),??(ω)}≤ε,則根據(jù)泰勒公式,該信號可以展開為

將式(7)代入式(4)得到

聯(lián)立式(5)和(8)得到

對SST 變換后的TFR 再次進(jìn)行壓縮,得到新的GDO 為

對比式(9)和式(10)所得GDO 與真實(shí)GDO(式(5))間的差值,可知再次壓縮后的GDO 更加接近理想值。 文獻(xiàn)[12]中定義N次壓縮后的GDO 為^t[N](t,ω),故TMSSST 方法中的GDO 可以定義為

可見,當(dāng)N趨近無窮大時,^t[N](t,ω)就是理想的GDO。 因此,TMSSST 的表達(dá)式為

1.4 TMSSST 的信號重構(gòu)和降噪

沿時間方向?qū)[N](u,ω)積分,即可獲得信號的重構(gòu)表達(dá)式

從復(fù)雜信號中提取有效的脈沖特征可以實(shí)現(xiàn)軸承故障診斷。 脈沖信號通常具有寬頻特征,故常通過最顯著時頻振幅的頻率點(diǎn)來描述脈沖之間的間隔[12]。 由TMSSST 獲得的TFR 中每個頻率點(diǎn)的包絡(luò)頻率的最大值可以表示為

式中,α(ω)為T[N](:,ω)的平均值。

為了分離信號中的脈沖分量和其他分量,需要在重構(gòu)過程中利用MF1(u,ω)和MF2(u,ω)對T[N](u,ω)進(jìn)行時頻掩碼操作,從而得到高信噪比的時域信號。

式中,β和γ分別表示MF(ω)和∫MF1(u,ω)·|T[N](u,ω)|dω的平均值。 濾波后的重構(gòu)信號表達(dá)式如下。

基于上述TMSSST 的理論推導(dǎo),給出該算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

1)初始化 輸入信號s,迭代數(shù)N。

2)計(jì)算STGg[h,m],Gdg[h,m]。

3)計(jì)算初始GDO

2 TMSSST 在軸承故障診斷中的應(yīng)用

為了說明所提方法在工程應(yīng)用中的潛力,本節(jié)采用一組軸承內(nèi)圈故障模擬信號和凱斯西儲大學(xué)的軸承內(nèi)外圈故障實(shí)驗(yàn)信號對TMSSST 進(jìn)行驗(yàn)證,并將所得結(jié)果與傳統(tǒng)時頻分析方法作對比。 此外,采用Renyi 熵對時頻分布的能量聚焦性進(jìn)行定量表征。 Renyi 熵是一種常用于度量時頻分布能量分散度的指標(biāo)[14],其值越小表示時頻分布的能量越聚焦,在本文中其計(jì)算公式為

2.1 模擬信號驗(yàn)證

滾動軸承的局部故障會在軸承和傳感器之間產(chǎn)生高頻振動[15]。 為了驗(yàn)證TMSSST 方法處理故障沖擊引起的軸承共振信號的效果,模擬一組變轉(zhuǎn)速的軸承外圈故障信號s(t)[16]

式中,t和θ分別為離散時間變量和角變量,P為周期調(diào)制函數(shù),Q為非負(fù)調(diào)幅周期函數(shù),N為高斯分布函數(shù),h為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 本文所用仿真信號采樣頻率為10 kHz,軸承的滾動體直徑d、節(jié)圓直徑D、滾動體數(shù)z、軸承接觸角A、轉(zhuǎn)頻f以及對應(yīng)的故障頻率fo如表1 所示。

表1 工況、結(jié)構(gòu)參數(shù)和故障頻率Table 1 Operating conditions, structural parameters and fault frequency

軸承內(nèi)圈和外圈故障頻率計(jì)算公式分別為

該模擬信號的時域波形圖如圖1(a)所示,可見該信號的沖擊明顯且規(guī)律,其間隔與故障頻率大致吻合,且隨著轉(zhuǎn)速的線性變化而變化。 但在實(shí)際工況中,采集到的信號往往混疊著大量噪聲。 為此,將高斯噪聲加至模擬信號中得到信噪比(signal-tonoise ratio,SNR)為0 dB 的含噪聲信號(圖1(b)),其對應(yīng)的頻譜圖如圖1(c)所示。 由圖可看出在噪聲影響下難以提取故障特征,觀察頻譜信息僅能發(fā)現(xiàn)其主要頻率分布在2 ～4 kHz。

圖1 模擬信號、含噪信號及其頻譜Fig.1 Simulated signal, noisy signal and its amplitude spectrum

為了提取潛在的故障特征,圖2 顯示了ST、同步壓縮S 變換(synchrosqueezing S-transform,SSST)、二階同步壓縮S 變換(2-order synchrosqueezing Stransform,SSST2)、TSSST 和TMSSST 的TFR。 從圖中可以看出,ST 能夠檢測出每個瞬態(tài)沖擊的能量和頻帶,但受限于測不準(zhǔn)定律,其TFR 能量發(fā)散嚴(yán)重。SSST 和SSST2 雖然大大提高了TFR 的時頻分辨率,然而沿頻率方向的能量壓縮使得該類方法難以檢測出沖擊故障。 TSSST 在時間方向重新分配能量,從而大大提升了脈沖特征的可讀性,不過由于其只使用了一階GDO 且僅進(jìn)行單次迭代,產(chǎn)生的模糊結(jié)果不適用于故障的精確分析。 TMSSST顯示出能量高度集中的TFR,且可以清楚地觀察到初始和結(jié)束的脈沖間隔分別為10.7 ms 和5.5 ms,對應(yīng)的故障頻率分別為1/10.7 ms =93.5 Hz 和1/5.5 ms =181.8 Hz,與外圈故障頻率接近,可以作為故障識別依據(jù)。

圖2 各時頻分析方法的時頻分布結(jié)果Fig.2 TFR results of each time-frequency analysis method

表2 給出了上述方法的Renyi 熵值,可以看出TMSSST 的Renyi 熵值小于其他方法,表明該方法結(jié)果的時頻能量聚焦性最佳。 為了進(jìn)一步分析不同方法對于噪聲的魯棒性,對比了上述方法在信噪比為-5 ～15 dB 條件下的Renyi 熵值,如圖3 所示。 可以看出對于脈沖信號,頻率方向能量壓縮對噪聲并不敏感,在不同噪聲等級下,TMSSST 方法的Renyi熵均為最低。 此外,圖4 顯示了模擬信號與TMSSST和TSSST 的重構(gòu)結(jié)果對比,可見相比于含噪聲信號,TMSSST 濾波后重構(gòu)的信號與原始信號之間的誤差較小,且具有明顯的脈沖特征,更適合實(shí)際應(yīng)用中的故障診斷,而TSSST 的重構(gòu)波形仍包含大量的噪聲,與原始信號的誤差較大。

圖3 模擬信號在信噪比為-5 ～15 dB 下不同方法的Renyi 熵Fig.3 Renyi entropy of the different methods for simulated signals with SNR of -5 to 15 dB

圖4 TMSSST 和TSSST 的重構(gòu)結(jié)果與原始信號對比Fig.4 Reconstruction of TMSSST and TSSST results compared with the original signal

表2 不同方法的Renyi 熵Table 2 Renyi entropy of different methods

2.2 實(shí)驗(yàn)信號驗(yàn)證

2.2.1 實(shí)驗(yàn)信號

以凱斯西儲大學(xué)數(shù)據(jù)中心提供的兩種類型故障的數(shù)據(jù)集為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17],對本文所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。 實(shí)驗(yàn)臺結(jié)構(gòu)如圖5 所示,由電機(jī)、扭矩傳感器和測力計(jì)等組成。 實(shí)驗(yàn)通過電火花加工在軸承內(nèi)圈和外圈兩處引發(fā)故障,振動信號由置于電機(jī)殼體驅(qū)動端的加速度傳感器記錄。 該實(shí)驗(yàn)的工況和軸承結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如表3 所示,各參數(shù)的定義同表1。

圖5 軸承實(shí)驗(yàn)臺Fig.5 Bearing experiment rig

表3 工況、結(jié)構(gòu)參數(shù)和故障頻率Table 3 Operating conditions, structural parameters and fault frequency

2.2.2 外圈故障信號分析

圖6 顯示了外圈故障信號的時域波形圖及其頻譜,可以觀察到一些重復(fù)性的瞬態(tài)沖擊,且信號的主要頻率分布在1 ～2 kHz。 圖7 顯示了ST、SSST、SSST2、TSSST 和TMSSST 的TFR 結(jié)果。 可以看到,ST 僅僅能夠提供模糊的瞬態(tài)信息,難以實(shí)現(xiàn)精確定位;SSST 和SSST2 的結(jié)果在頻率方向上的分辨率較好;從TSSST 的結(jié)果中能發(fā)現(xiàn)較明顯的脈沖特征,但其能量有輕微的發(fā)散現(xiàn)象;TMSSST 提供了高分辨率的TFR,并能從中定位出脈沖的沖擊間隔為9.2 ms 左右,對應(yīng)的頻率為1/9.3 ms=108.7 Hz,基本可以據(jù)此判斷該軸承存在外圈缺陷。 此外,表4列出了不同時頻分析方法對應(yīng)的Renyi 熵,從表中數(shù)值上也能看出TMSSST 是提取脈沖特征的最佳方法。

圖6 外圈故障信號的波形和頻譜Fig.6 Waveform and spectrum of the outer ring fault signal

圖7 各時頻分析方法的時頻分布結(jié)果Fig.7 TFR results of each time-frequency analysis method

表4 圖7 中不同方法的Renyi 熵Table 4 Renyi entropy of the different methods shown in Fig.7

2.2.3 內(nèi)圈故障信號分析

帶有軸承內(nèi)圈故障的振動信號如圖8 所示。 從圖中可以看出該信號混疊著大量的噪聲,瞬態(tài)特征并不顯著,能量主要分布在1 ～2 kHz。 圖9 給出了軸承內(nèi)圈故障信號的ST、 SSST、 SSST2、 TSSST和TMSSST 的TFR 結(jié)果。 同樣地,TMSSST 提供了最具可讀性的TFR,且能夠準(zhǔn)確定位沖擊間隔為6.1 ms,根據(jù)其對應(yīng)的頻率1/6.1 ms =163.9 Hz 可以判定該軸承存在內(nèi)圈缺陷。 同樣,表5 列出了不同時頻分析方法的Renyi 熵,可以看出TMSSST 結(jié)果的Renyi 熵低于其他方法,同樣說明其TFR 能量集中度最高。

圖8 內(nèi)圈故障信號的波形和頻譜Fig.8 Waveform and spectrum of the inner ring fault signal

圖9 各時頻分析方法的時頻分布結(jié)果Fig.9 TFR results of each time-frequency analysis method

表5 圖9 中不同時頻分析方法的Renyi 熵Table 5 Renyi entropy of the different methods shown in Fig.9

3 結(jié)論

本文提出一種新的時頻分析方法—時間重排多重同步壓縮S 變換(TMSSST),并將其應(yīng)用于軸承故障診斷。 該方法通過計(jì)算群延時算子來捕獲脈沖特征,并采用多次迭代算法解決時頻能量發(fā)散問題,因此可以更好地處理具有強(qiáng)時變特征的復(fù)雜信號。 所提方法的優(yōu)勢在于能夠在時間方向產(chǎn)生能量高度集中的時頻分布,這對于軸承故障診斷非常關(guān)鍵。 使用噪聲污染的模擬信號驗(yàn)證了TMSSST 方法的重構(gòu)能力和去噪能力;模擬信號和實(shí)驗(yàn)信號的對比結(jié)果都表明,相比ST、SSST、SSST2 和TSSST 等方法,TMSSST 能夠提供時頻能量更加集中的時頻分布,可以準(zhǔn)確地提取脈沖類的故障特征。