深入分析三次函數(shù),多維思考巧解題

龍 宇 錢耀周

(1.廣東省佛山市羅定邦中學(xué);2.廣東省佛山市教育局教研室)

筆者在教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)非常的熟悉,但是對(duì)于三次函數(shù)卻較為陌生.其常見的處理策略是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來逆推三次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).但這樣的推導(dǎo)過程都較為“冗長(zhǎng)”,不便于小題的求解.筆者認(rèn)為,有必要向?qū)W生介紹三次函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生直接利用性質(zhì)求解.筆者梳理了三次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),并通過下文中的相關(guān)例題進(jìn)行展示.

一、三次函數(shù)的圖象及相關(guān)性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其圖象特征如下表所示,類似于“對(duì)勾函數(shù)”,筆者將三次函數(shù)簡(jiǎn)稱為“閃電函數(shù)”.對(duì)于“閃電函數(shù)”最基礎(chǔ)的考查即是研究其單調(diào)性、極值等相關(guān)性質(zhì).

有極值無極值a>0a<0

【例題1】(2023·湖北十一校一聯(lián)·11節(jié)選)已知f(x)=x3+bx2+x+d,b,d∈R,下列說法正確的是

( )

【答案】D

【評(píng)注】選項(xiàng)C,D是對(duì)三次函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)的相關(guān)判斷,體現(xiàn)了對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

【例題2】若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)=x1,則關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是________.

【答案】3

【解析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)=3x2+2ax+b,由題意知x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根.由3[f(x)]2+2af(x)+b=0,得f(x)=x1或f(x)=x2,即3[f(x)]2+2af(x)+b=0的根為f(x)=x1或f(x)=x2的解.如圖1,2所示,由圖象可知f(x)=x1有2個(gè)解,f(x)=x2有1個(gè)解,因此3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.

圖1

圖2

( )

【答案】B

令h(x)=ax3-x2+4a,若a=0,則h(x)=-x2≤0,此時(shí),函數(shù)f(x)的圖象只經(jīng)過兩個(gè)象限.

若a<0,當(dāng)x>0時(shí),h(x)<0,由g(x)>0,可得f(x)<0,即當(dāng)x>0時(shí),f(x)的圖象只經(jīng)過第四象限,不符合題意,

所以a>0,由h(x)=ax3-x2+4a的導(dǎo)函數(shù)為h′(x)=3ax2-2x,

二、三次方程的韋達(dá)定理

【例題4】已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x,設(shè)f(x)=t(t>0)的三個(gè)根分別為x1,x2,x3(x1

【答案】3

【解析】根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理可得x1+x2+x3=3.

【例題5】設(shè)直線y=t與曲線C:y=x(x-3)2的三個(gè)交點(diǎn)分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

三、三次函數(shù)圖象的對(duì)稱性

【例題6】設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)滿足f(1)+f(3)=2f(2),現(xiàn)給出如下結(jié)論:

①若f(x)是(0,1)上的增函數(shù),則f(x)是(3,4)上的增函數(shù);

②若a·f(1)≥a·f(3),則f(x)有極值;

③對(duì)任意實(shí)數(shù)x0,直線y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

其中正確的結(jié)論是________.

【答案】①②③

對(duì)于②,假設(shè)f(x)無極值,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則有a·f(1)

對(duì)于③,對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)=3ax2-12ax+c,則f′(2)=c-12a.當(dāng)x0=2時(shí),直線l2:y=(c-12a)(x-2)+f(2)為該點(diǎn)處的切線,點(diǎn)(2,f(2))是原三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”,結(jié)合函數(shù)f(x)的“凹凸性”即可知該直線與原函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x0≠2時(shí),直線lx0:y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)與直線l2平行.結(jié)合函數(shù)f(x)的“凹凸性”即可知直線lx0與函數(shù)f(x)有唯一的交點(diǎn)(x0,f(x0)),由此可知③成立.綜上,正確的結(jié)論是①②③.

【例題7】設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2a2x(a≠0),若x1,x2(x1

①若λ∈(-1,0),則f(x1)

②若λ∈(0,2),則f(x1)

③若λ∈(2,+∞),則f(x1)

其中正確的結(jié)論是________.

【答案】③

四、三次函數(shù)的“凹凸性”

【例題10】已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,過點(diǎn)A(0,1)作函數(shù)y=f(x)的切線,可作________條.

【答案】1

【解析】函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心恰好為A(0,1),根據(jù)其在兩側(cè)的“凹凸性”可知,過點(diǎn)A(0,1)作函數(shù)y=f(x)的切線有且僅有1條.

五、三次函數(shù)與三倍角公式

三倍角公式有正弦與余弦兩種形態(tài),其余弦形態(tài)如下:cos3θ=4cos3θ-3cosθ,注意到該公式兩邊的次數(shù),分別是1次與3次.受此啟發(fā),當(dāng)面對(duì)三次函數(shù)時(shí),我們可以考慮利用三倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

【例題11】設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1對(duì)于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0,則實(shí)數(shù)a=________.

【答案】4

仔細(xì)觀察可知,題干涉及的變量x的取值范圍是[-1,1],所以可以借助三角換元進(jìn)行研究.現(xiàn)結(jié)合三倍角公式驗(yàn)證其充分性.令x=cosθ,則f(x)=acos3θ-3cosθ+1.

當(dāng)a=4時(shí),f(x)=4cos3θ-3cosθ+1=cos3θ+1.根據(jù)cos3θ∈[-1,1],可得f(x)≥0.