煤炭地下氣化高溫噴淋井筒溫度應(yīng)力場研究

唐 洋，謝 娜，熊浩宇，何 胤，黃順瀟

(1.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.西南石油大學(xué) 能源裝備研究院，四川 成都 610500)

傳統(tǒng)煤炭開采方式不僅利用效率低，對(duì)環(huán)境影響較大，并且在開采過程中經(jīng)常發(fā)生安全事故。控制用煤污染的最有效技術(shù)解決方案是煤炭氣化[1]。因此，煤炭地下氣化(Underground Coal Gasification，UCG)是我國低碳高效煤炭能源結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型的必由之路[2]。煤炭地下氣化作為一種新的化學(xué)采煤技術(shù)，是通過化學(xué)和熱作用將地下煤層進(jìn)行控制燃燒并產(chǎn)生可燃?xì)怏w的過程[3-5]。煤炭地下氣化過程中氣化反應(yīng)腔溫度可高達(dá)1 000～1 200℃[6]，粗煤氣在反應(yīng)腔生成后通過生產(chǎn)井產(chǎn)出地面，若不進(jìn)行井筒降溫，待到穩(wěn)定生產(chǎn)后生產(chǎn)井溫度可達(dá)600℃[7]。高溫時(shí)，井筒各部分因熱膨脹或熱收縮受限制而使井筒應(yīng)力增加。對(duì)于高溫作用下相互約束受限的套管–水泥環(huán)–地層形成的井筒，由于材料的熱膨脹特性和工程力學(xué)特性等各不同，材料之間的不同尺寸變化所產(chǎn)生熱應(yīng)力[8]可能會(huì)導(dǎo)致井口抬升、套管變形等風(fēng)險(xiǎn)，嚴(yán)重威脅煤炭地下氣化生產(chǎn)井筒的完整性和服役期限[9-10]。因此，研究噴淋狀態(tài)下的井筒應(yīng)力變化規(guī)律，對(duì)井筒及井口裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)，保證煤炭地下氣化生產(chǎn)安全具有重要作用。

目前對(duì)于井筒應(yīng)力場和溫度場已有大量分析?；诟道锶~傳熱理論建立的流體溫度計(jì)算模型，為模擬熱氣體介質(zhì)在井筒內(nèi)的對(duì)流傳熱過程提供了指導(dǎo)[11]；基于熱平衡和傅里葉熱傳導(dǎo)定律建立的關(guān)井前后海上油井模型，可以用于分析井筒和地層溫度下降的規(guī)律[12]。開展了關(guān)于鉆井參數(shù)對(duì)于井筒溫度分布的研究，但關(guān)于溫度對(duì)于溫度應(yīng)力場是否會(huì)產(chǎn)生影響，未見進(jìn)一步分析[13]。提出了地應(yīng)力場中套管–水泥環(huán)–地層應(yīng)力分布模型及解析解，可以定量分析應(yīng)力和位移場的分布規(guī)律，但未考慮材料參數(shù)對(duì)套管載荷的影響[14]?？紤]地層非均勻地應(yīng)力、地層高壓與熱應(yīng)力的影響，基于海上高溫高壓井套管–水泥環(huán)–地層系統(tǒng)耦合熱應(yīng)力狀態(tài)的分析表明，套管損傷研究時(shí)水泥環(huán)的分析不容忽略[15]。考慮熱固耦合作用，并結(jié)合彈性力學(xué)理論建立的高溫井筒的應(yīng)力分布解析解，據(jù)此可知針對(duì)高溫高壓井，溫度對(duì)套管–水泥環(huán)–地層組合系統(tǒng)的當(dāng)量應(yīng)力影響不能忽略[16]。

目前國內(nèi)對(duì)于高溫井筒研究主要包括稠油熱采蒸汽吞吐高溫、電加熱稠油熱高溫等井筒類型[17-19]，但其最高溫度不超過300℃，對(duì)于噴淋降溫狀態(tài)下的井筒分析甚少[6,20]。因此，筆者根據(jù)煤炭地下氣化生產(chǎn)井筒的傳熱特點(diǎn)結(jié)合井筒壓力模型基礎(chǔ)上，根據(jù)彈性力學(xué)及壁圓筒理，以環(huán)空注水條件下的油管–套管–水泥環(huán)–地層圍巖組合體為研究對(duì)象，建立噴淋降溫狀態(tài)下的井筒溫度場模型，考慮溫度應(yīng)力耦合作用，進(jìn)一步建立套管–水泥環(huán)–地層圍巖組合體溫度應(yīng)力場模型，并通過有限元仿真進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。進(jìn)一步討論井筒溫度、套管內(nèi)壓、水泥環(huán)彈性模量、泊松比對(duì)套管和水泥環(huán)的應(yīng)力影響規(guī)律，以期為煤炭地下氣化井筒安全設(shè)計(jì)和防護(hù)提供依據(jù)。

1 生產(chǎn)井傳熱模型

1.1 模型依據(jù)

煤炭地下氣化過程中環(huán)空井筒與地層之間的傳熱如圖1 所示。從圖1 看出，噴淋裝置設(shè)置在約井下700 m 的噴淋腔內(nèi)。冷卻水從技術(shù)套管與生產(chǎn)油管之間的環(huán)空注入，過程中產(chǎn)出氣與噴淋水通過油管發(fā)生換熱，與地層之間通過套管和水泥環(huán)發(fā)生熱交換。

圖1 煤炭地下氣化環(huán)空井筒模型Fig.1 Wellbore model of underground coal gasification under cooling through annular spray water injection

1.2 環(huán)空井筒傳熱模型建立

由于涉及套管、水泥環(huán)和地層噴淋過程中的傳熱，為了簡化計(jì)算作出以下假設(shè)：

(1) 井筒內(nèi)同一水平截面上各項(xiàng)參數(shù)一致，產(chǎn)出氣體是一維穩(wěn)定流動(dòng)。

(2) 井筒中心到水泥環(huán)與地層交界面(Ⅱ)為一維穩(wěn)定傳熱；井筒中心到地層為一維非穩(wěn)定傳熱。

(3) 熱損失是徑向的，忽略井深方向的傳熱。

(4) 徑向地層溫度隨深度呈線性變化，且以井筒中心呈軸對(duì)稱分布。

(5) 套管、水泥環(huán)、地層圍巖各層交界面緊密連接。

井筒的一個(gè)傳熱微元體如圖2 所示。

圖2 環(huán)空井筒傳熱微元模型Fig.2 Micro-element model for heat transfer in wellbore under cooling through annular spray water injection

產(chǎn)出氣和噴淋水的熱量變化關(guān)系：

產(chǎn)出氣及噴淋水能量守恒方程可表示為：

其中井筒總傳熱系數(shù)為：

假設(shè)噴淋水到井筒Ⅱ交界面(水泥環(huán)-地層交界面)傳遞的熱量與Ⅱ交界面?zhèn)鬟f到地層熱量相等，即：

由于井筒流體傳熱在穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)情況下，熱擴(kuò)散也會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生變化，所以引入瞬態(tài)熱損失無因次時(shí)間函數(shù)[21]：

結(jié)合前面公式可得到環(huán)空噴淋注水條件下的井筒溫度場模型總公式和水泥環(huán)溫度表達(dá)式：

1.3 井筒壓力梯度模型

井筒內(nèi)的壓力對(duì)套管、水泥環(huán)的應(yīng)力有著直接的影響，考慮產(chǎn)出氣在油管內(nèi)的摩擦，結(jié)合質(zhì)量守恒定律，井筒壓力梯度模型如下：

2 井筒–地層應(yīng)力場模型

2.1 模型建立

將井筒–地層當(dāng)作一個(gè)復(fù)合圓柱體來分析，在建立應(yīng)力場之前需要做以下基本假設(shè)：

(1) 套管–水泥環(huán)–地層三者完全膠結(jié)，且界面不存在間斷點(diǎn)，不發(fā)生相對(duì)位移。

(2) 復(fù)合圓柱體為平面應(yīng)變變形與軸對(duì)稱變形。

套管–水泥環(huán)–地層模型如圖3 所示，將水泥環(huán)外的地層當(dāng)作一個(gè)半徑為d的厚壁圓筒，通過水泥環(huán)和地層之間的位移連續(xù)條件建立方程。

圖3 套管—水泥環(huán)接觸應(yīng)力示意Fig.3 Schematic diagram showing the contact stress between the casing and cement sheath

對(duì)于涉及溫度應(yīng)力的厚壁圓筒問題，由于變溫的存在，彈性體內(nèi)個(gè)點(diǎn)的微小長度，如果不受約束，將發(fā)生正應(yīng)變?chǔ)罷，其中α為彈性體的線膨脹系數(shù)，T為水泥環(huán)中的溫度變化梯度，而如果彈性體受到外在約束，那么此應(yīng)變就不能發(fā)生，就產(chǎn)生了溫度應(yīng)力，再結(jié)合胡克定律可知：

對(duì)于套管、水泥環(huán)變形量，由胡克定理及厚壁筒理論的拉梅解答知，在r=b處有：

對(duì)于水泥環(huán)和地層在r=c處的變形量：

考慮套管-水泥環(huán)-地層的溫度分布函數(shù)，則有：

位移連續(xù)邊界條件，即套管和水泥環(huán)、水泥環(huán)和地層圍巖接觸面完全膠合其變形情況應(yīng)該完全一致，可得到：

σz-ce=μce(σr+σθ)-αceEcetce代入并求解得到：

故而，綜合內(nèi)壓和溫差后，分別得到井筒中套管、水泥環(huán)、地層的應(yīng)力表達(dá)式。

1) 套管應(yīng)力表達(dá)式

2)水泥環(huán)應(yīng)力表達(dá)式

3)地層應(yīng)力表達(dá)式

2.2 井筒溫度應(yīng)力場耦合計(jì)算

(1) 計(jì)算不同井深處的套管Tci(i,j)、水泥環(huán)Tce(i,j)、地層Tke(i)溫度；(2) 計(jì)算不同井深處的內(nèi)壓值pi大小；(3) 將(1)、(2)中得到的溫度和壓力代入到應(yīng)力場計(jì)算公式中，計(jì)算得到該位置處的兩個(gè)接觸應(yīng)力pc1和pc2大??；(4) 將兩個(gè)接觸應(yīng)力值大小，再代入井筒應(yīng)力表達(dá)式中，并且嵌入溫度場循環(huán)中即可求得不同井深和不同半徑處的井筒應(yīng)力值大小。井筒應(yīng)力場計(jì)算流程如圖4 所示。

圖4 井筒應(yīng)力場計(jì)算流程Fig.4 Calculation flow for wellbore stress field

2.3 模型驗(yàn)證

根據(jù)表1 數(shù)據(jù)建立井筒三維模型，其中地層圍巖外徑和井筒高度設(shè)為2 m。將溫度場計(jì)算結(jié)果施加在套管內(nèi)壁面，限制井筒軸向位移，對(duì)套管內(nèi)壁面施加10 MPa 壓力載荷，地層圍巖壓力10 MPa 的邊界條件。仿真分析后的井筒應(yīng)力分布如圖5 所示。

表1 生產(chǎn)井井身結(jié)構(gòu)及工作參數(shù)Table 1 Casing program and operating parameters of the production well

圖5 井筒有限元等效應(yīng)力云圖Fig.5 Equivalent stress nephogram of wellbore derived using the finite element method

取套管內(nèi)側(cè)到地層圍巖外側(cè)徑向一條線的等效應(yīng)力數(shù)據(jù)如圖5 所示，并與理論模型計(jì)算得到的等效應(yīng)力數(shù)據(jù)對(duì)比，結(jié)果如圖6 所示。可以看出，有限元模型計(jì)算結(jié)果和理論模型計(jì)算結(jié)果比較吻合，證明本文所建立的數(shù)學(xué)模型具有較高的準(zhǔn)確度。

圖6 理論求解值和有限元分析值對(duì)比Fig.6 Comparison of theoretical and finite element analysisderived effective stress

3 算例分析

考慮不同溫度、壓力和深度，建立了煤炭地下氣化井筒溫度場、應(yīng)力場數(shù)學(xué)分析模型。根據(jù)中聯(lián)煤層氣公司將開展的某實(shí)驗(yàn)井設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，分析預(yù)測實(shí)驗(yàn)過程中井筒溫度場、應(yīng)力場分布情況，相關(guān)參數(shù)見表1、表2，生產(chǎn)井井底溫度設(shè)置為1 000℃，溫度較高，為保持固井水泥的膠黏性，選擇添加了特殊的添加劑和耐高溫材料的固井水泥。

表2 井筒力學(xué)參數(shù)Table 2 Mechanical parameters of wellbore

3.1 井筒溫度場分布

井筒溫度場分析結(jié)果如圖7 和圖8 所示。在自然降溫情況下(圖7)，產(chǎn)出氣溫度隨著井深減小而逐漸降低，且降低速度越來越快，由于套管導(dǎo)熱系數(shù)較小，產(chǎn)出氣的溫度和套管溫度差別不大。

圖7 自然降溫井筒溫度場分布Fig.7 Temperature field distribution of wellbore under natural cooling

圖8 噴淋前后溫度場分布情況Fig.8 Temperature field distribution of wellbore before and after spraying

結(jié)合井筒自然降溫與噴淋降溫兩種情況，可以得到噴淋前后井筒0～1 000 m 整體的溫度場分布情況，如圖8 所示，從圖中可以看出，噴淋降溫在700～1 000 m 井深過程中溫度降低最多，產(chǎn)出氣在700～1 000 m 處經(jīng)過環(huán)空的噴淋腔，溫度由初始的1 000℃被降低到了400℃，因?yàn)閲娏芮粌?nèi)的水直接氣化吸熱。而無噴淋情況下，在700～1 000 m 井深段，產(chǎn)出氣溫度由1 000℃自然降溫到750℃，僅僅降了250℃。0～700 m是經(jīng)過噴淋腔之后的非噴淋段的產(chǎn)出氣、水與地層之間的傳熱情況。

井口常溫的噴淋水在冷卻井筒時(shí)，一直高流量向下注入，難以通過井筒內(nèi)的高溫氣體，積攢熱量升溫，因此，噴淋水溫度從井口到井底基本不變。結(jié)合噴淋水用量，根據(jù)煤炭氣化時(shí)的實(shí)際地面工況將井口處噴淋水溫度設(shè)為30℃，得到噴淋水和產(chǎn)出氣的在0～700 m溫度場分布曲線，此階段無噴淋降溫的作用。由圖9可以看出，噴淋水的溫度從700 m 到井口處基本不變，而產(chǎn)出氣則從井底到井口溫度下降了約150℃，井口處溫度約為250℃，這是因?yàn)樵?00 m 處產(chǎn)出氣已經(jīng)過噴淋降溫到400℃；雖然水泥環(huán)的溫度也變化很小，但是水泥環(huán)溫度略高于地層溫度。

圖9 井筒0～700 m 溫度場分布情況Fig.9 Temperature field distribution of wellbore in 0–700 m

3.2 自然降溫井筒應(yīng)力分布

在自然降溫時(shí)井底產(chǎn)出氣溫度為1 000℃，油管套管之間無噴淋水。此時(shí)套管、水泥環(huán)的理論計(jì)算最大應(yīng)力分別為2 640.6、151.3 MPa，均超過本身材料許用壓應(yīng)力。由圖10 可以看出，井筒的徑向應(yīng)力最大值存在于井底水泥環(huán)和套管交界處，而徑向、切向、軸向應(yīng)力分布則沿井深和半徑方向降低，其中軸向應(yīng)力最大，徑向應(yīng)力最小(注：壓應(yīng)力為負(fù)，拉應(yīng)力為正)。

圖10 自然降溫下井筒應(yīng)力分布云圖Fig.10 Wellbore stress distribution nephogram under natural cooling

由圖11 可以看出，在同樣條件下不考慮溫度時(shí)，套管和水泥環(huán)軸向應(yīng)力分別只有28.4、15.0 MPa，遠(yuǎn)小于考慮溫度時(shí)的結(jié)果，這說明有無溫度對(duì)于井筒應(yīng)力分布影響十分明顯。從分布規(guī)律上來看，套管的應(yīng)力都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于地層和水泥環(huán)的，這是因?yàn)樘坠苤苯邮軆?nèi)壓和高溫載荷，且其本身彈性模量較大；其次井筒整體上受到壓應(yīng)力作用，且在套管-水泥環(huán)、水泥環(huán)–地層交界面處的應(yīng)力落差一般較大，這說明保證水泥環(huán)的膠結(jié)強(qiáng)度非常重要。

圖11 溫度對(duì)井筒三向應(yīng)力分布影響Fig.11 Effects of temperature on the triaxial stress distribution of wellbores

3.3 噴淋降溫后井筒應(yīng)力場分布

將井深700～1 000 m 處井段設(shè)置為噴淋腔，設(shè)置噴淋腔溫度為400℃，并將噴淋降溫后井筒0～700 m處的溫度代入應(yīng)力場計(jì)算模型中，得到井筒應(yīng)力分布如圖12 所示。此時(shí)套管和水泥環(huán)最大應(yīng)力分別為20、8 MPa，相較于未噴淋前的井筒應(yīng)力大幅降低，滿足煤炭地下氣化工藝設(shè)計(jì)提出的水泥環(huán)與套管材料參數(shù)要求。所以對(duì)煤炭地下氣化生產(chǎn)井進(jìn)行噴淋降溫非常重要。從圖12 還可以看出三向應(yīng)力在井筒半徑方向都存在先減小后增大再減小的規(guī)律，在Ⅱ交界面存在壓力最小值。切向和軸向應(yīng)力沿著井深軸對(duì)稱分布，在井底處以溫度產(chǎn)生的壓應(yīng)力為主，而井口套管徑向受內(nèi)壓會(huì)在切向和徑向伸長產(chǎn)生拉應(yīng)力。

圖12 噴淋降溫下井筒應(yīng)力分布云圖Fig.12 Wellbores stress distribution nephogram under spray cooling

3.4 溫度對(duì)套管及水泥環(huán)應(yīng)力影響

其他參數(shù)不變，考慮噴淋腔溫度變化時(shí)溫度場分布的規(guī)律，分別計(jì)算溫度為350、380、410、440、470℃時(shí)噴淋腔頂部(井深700 m 處)井筒處三向應(yīng)力分布情況如圖13 所示。隨著溫度上升，套管三個(gè)方向的應(yīng)力越來越大，其中以軸向應(yīng)力變化幅度最明顯，增加約20 MPa；相對(duì)于套管應(yīng)力隨溫度的變化幅度，水泥環(huán)的切向應(yīng)力和軸向應(yīng)力基本不受溫度影響，只有徑向壓應(yīng)力變化幅度較為明顯。因此，對(duì)于煤炭地下氣化的高溫高壓井，通過降低井筒溫度控制套管和水泥環(huán)內(nèi)應(yīng)力尤為重要。

圖13 套管–水泥環(huán)應(yīng)力隨噴淋腔溫度變化情況Fig.13 Variation of the contact stress between the casing and cement sheath with the temperature of the spray chamber

3.5 井筒內(nèi)壓對(duì)套管和水泥環(huán)應(yīng)力的影響

其他參數(shù)條件不變，分別計(jì)算了井筒內(nèi)壓為5、10、15、20、25 MPa 的條件下，模擬井筒在試壓、憋壓等工況下的應(yīng)力場分布情況，結(jié)果如圖14 所示。水泥環(huán)三向應(yīng)力隨著套管內(nèi)壓增大而發(fā)生小幅度變化，而套管三向應(yīng)力變化幅值相較于水泥環(huán)要大得多。其中，套管和水泥環(huán)切向應(yīng)力經(jīng)歷了由壓應(yīng)力向拉應(yīng)力的狀態(tài)變化，最大由–48.7 MPa 變化到100 MPa，幅值達(dá)到了148.7 MPa。根據(jù)水泥環(huán)與套管壓力變化幅度的不同，在進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)水泥環(huán)與套筒采用不同的強(qiáng)度理論校核。套管內(nèi)壓對(duì)于井筒應(yīng)力場分布影響明顯，因此，高溫高壓工況下的井筒內(nèi)壓控制、套管強(qiáng)度校核，需要結(jié)合其三向應(yīng)力狀態(tài)選擇合適的強(qiáng)度理論法則，從而保障井筒完整性。

圖14 套管–水泥環(huán)應(yīng)力隨套管內(nèi)壓變化情況Fig.14 Variation of the contact stress between the casing and cement sheath with the pressure in the casing

3.6 水泥環(huán)性能對(duì)井筒應(yīng)力影響

水泥環(huán)作為井筒重要組成部分，與井筒應(yīng)力場的分布密切相關(guān)。其他條件不變情況下，分別分析彈性模量為8、9、10、11、12 MPa，泊松比為0.20、0.23、0.26、0.29、0.32 時(shí)，套管與水泥環(huán)的應(yīng)力分布情況如圖15 和圖16 所示。

圖15 套管–水泥環(huán)應(yīng)力隨水泥環(huán)彈性模量變化情況Fig.15 Variation of the contact stress between the casing and cement sheath with the elastic modulus of the cement sheath

圖16 套管–水泥環(huán)應(yīng)力隨水泥環(huán)泊松比變化情況Fig.16 Variation of the contact stress between the casing and cement sheath with the Poisson's ratio of the cement sheath

從圖15 可以看出，隨著水泥環(huán)彈性模量的增加，套管與水泥環(huán)三向應(yīng)力均有不同程度的增加，其中水泥環(huán)的徑向應(yīng)力和套管的切向應(yīng)力增幅較大。最大徑向壓應(yīng)力由套管內(nèi)壁面變?yōu)樘坠芘c水泥環(huán)交界處，隨著水泥環(huán)徑向距離增加，其徑向應(yīng)力逐漸變小且變幅較大，切向應(yīng)力逐漸增大但變幅較小，軸向應(yīng)力逐漸增大且變幅較小。水泥環(huán)的泊松比變化對(duì)于套管和水泥環(huán)的切向、軸向應(yīng)力的影響規(guī)律與其彈性模量變化基本一致。相較于泊松比，水泥環(huán)的彈性模量對(duì)于井筒應(yīng)力場分布影響更為明顯，這說明采用韌性高即彈性模量更小的水泥材料更有利于保證水泥環(huán)的完整性，同時(shí)為了便于觀察，在圖16 中引入了等效應(yīng)力，可以看出選擇泊松比較大的水泥材料也可以降低套管和水泥環(huán)的徑向應(yīng)力。

4 結(jié)論

a.根據(jù)井筒傳熱理論結(jié)合厚壁筒理論和彈性力學(xué)，建立了高溫高壓條件下的井筒溫度場及應(yīng)力場模型，可分析煤炭地下氣化環(huán)空生產(chǎn)井筒的溫度應(yīng)場分布情況，設(shè)計(jì)的理論模型計(jì)算結(jié)果與有限元仿真模擬結(jié)果具有較高的一致性。

b.由于套管材料性質(zhì)以及直接受內(nèi)壓和高溫載荷的影響，套管的應(yīng)力值遠(yuǎn)高于地層和水泥環(huán)。在水泥環(huán)兩側(cè)交界面處的應(yīng)力落差一般較大，所以在固井時(shí)保證水泥環(huán)的膠結(jié)強(qiáng)度非常重要。

c.對(duì)于煤炭地下氣化這樣的高溫高壓生產(chǎn)井筒，溫度對(duì)套管和水泥環(huán)的應(yīng)力影響非常大，對(duì)井筒采用噴淋降溫的方式能夠有效降低套管和水泥環(huán)的內(nèi)應(yīng)力。

d.井筒內(nèi)壓的變化可能會(huì)導(dǎo)致套管或水泥環(huán)應(yīng)力方向發(fā)生變化，合理地選擇套管、水泥環(huán)強(qiáng)度校核理論，控制井筒內(nèi)壓，有利于保障井筒完整性。

e.相對(duì)于水泥環(huán)的泊松比，其彈性模量對(duì)井筒的應(yīng)力幅度影響更大，采用彈性模量較小、泊松比較大的水泥環(huán)材料能夠降低井筒應(yīng)力，保證水泥環(huán)完整性。

符號(hào)注釋：

a、b、c、d分別為套管內(nèi)徑、套管外徑、水泥環(huán)外徑、井筒當(dāng)量直徑，m；cp1、cp2分別為噴淋水、產(chǎn)出氣比熱容，kJ/(kg·℃)；E為彈性模量，MPa；Eca、Ece、Eke分別為套管、水泥環(huán)、地層圍巖的彈性模量，MPa；f為管壁摩阻系數(shù)；f(tD)為瞬態(tài)熱損失無因次時(shí)間函數(shù)；tD為時(shí)間，h；i為井深方向；j為井眼半徑方向；Kc、Kcas、Ke分別為水泥環(huán)、套管、地層圍巖導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；p為井筒內(nèi)壓，MPa；pc1為套管與水泥環(huán)之間接觸壓力，MPa；pc2為水泥環(huán)與地層圍巖之間接觸壓力，MPa；pf為地層圍巖壓力，MPa；pi為套管內(nèi)受到的內(nèi)壓，MPa；Q1、Q2分別為井筒微元體入口產(chǎn)出氣、噴淋水熱量，W；、分別為井筒微元體出口的產(chǎn)出氣、噴淋水熱量，W；Qrh1為產(chǎn)出氣到噴淋水傳遞的熱量，W；Qrh2為噴淋水到地層的傳遞熱量，W；w1、w2分別為噴淋水量、產(chǎn)出氣產(chǎn)量，t/d；rci、rco分別為套管內(nèi)、外徑，m；rh為水泥環(huán)外徑，m；rti、rto分別為油管內(nèi)、外徑，m；t1、t2分別為產(chǎn)出氣溫度、噴淋水溫度，℃；tca為變溫，℃；tce(i,j)為水泥環(huán)的溫度，℃；tci(i,j)為套管溫度，℃；th為Ⅱ交界面溫度，℃；tke為地層溫度，℃；Uh為井筒總傳熱系數(shù)，W/(m·℃)；Ut為油管的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；v為氣體流速，m/s；ρ為氣體密度，kg/m3；z為井深，m；α為彈性體的線膨脹系數(shù)，℃-1；αca、αce、αke分別為套管、水泥環(huán)、地層圍巖的熱膨脹系數(shù)，1/℃；θ為井斜角，(°)；εr、εθ、εz分別為徑向應(yīng)變、周向應(yīng)變和軸向應(yīng)變；σr、σθ、σz分別為徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力，MPa；δr-cas、δr-cem1分別為r=b時(shí)，套管、水泥環(huán)的變形量；δr-cem2、δr-ke分別為r=b時(shí)，水泥環(huán)、地層圍巖的變形量；μ為泊松比；μca、μce、μke分別為套管、水泥環(huán)、地層圍巖的泊松比。