基于概率密度函數(shù)的織物染色侵入動(dòng)力學(xué)分析

姜紹華, 梁帥童, 裴劉軍, 張紅娟, 王際平

(1.上海工程技術(shù)大學(xué) 紡織服裝學(xué)院, 上海 201620; 2.上海市紡織化學(xué)清潔生產(chǎn)工程技術(shù)研究中心, 上海 201620)

流體的動(dòng)壓、界面效應(yīng)和織物結(jié)構(gòu)顯著影響織物的染色過(guò)程[1]?？椢飪?nèi)部在任意時(shí)間和空間上的染料濃度的預(yù)測(cè),是科學(xué)研究和實(shí)際生產(chǎn)中不可缺少的關(guān)鍵技術(shù)。此外,非水介質(zhì)染色相關(guān)理論、工藝和配套技術(shù)發(fā)展迅速[2-4];但很多織物內(nèi)部的染料濃度分析和評(píng)估僅取決于初始和最終狀態(tài),且缺少必要的相界面信息,而相界面信息對(duì)于諸多非水介質(zhì)染色體系至關(guān)重要,因此有必要開(kāi)發(fā)一個(gè)包含織物結(jié)構(gòu)信息和界面效應(yīng)的模型來(lái)預(yù)測(cè)織物中的染料濃度。

織物的染色過(guò)程通常是染料與織物材料之間的物理、化學(xué)作用隨時(shí)間變化的連續(xù)過(guò)程,因此織物中的染料濃度是時(shí)間和位置的函數(shù)[5]。此外,織物在染色過(guò)程中自身的結(jié)構(gòu)對(duì)其物理性質(zhì)如密度、孔隙結(jié)構(gòu)等有著較大影響,進(jìn)而影響纖維與染液的液-固界面特性,如黏度、表面張力等,這些性質(zhì)在織物內(nèi)部流動(dòng)和物質(zhì)轉(zhuǎn)移過(guò)程中都起著至關(guān)重要的作用[6-7]。以棉織物染色過(guò)程中的染料轉(zhuǎn)移過(guò)程為例,染料分子溶于水中,經(jīng)過(guò)水的流動(dòng)與織物纖維接觸,染液在纖維表面形成擴(kuò)散邊界層,進(jìn)而染料分子通過(guò)擴(kuò)散邊界層向纖維內(nèi)部擴(kuò)散[8]。

由于織物中纖維間孔隙尺度約為10-6m,因此纖維與染液之間的相互作用主要由毛細(xì)作用力主導(dǎo)[9],毛細(xì)作用廣義上是指固體與流體之間的界面相互作用產(chǎn)生于液體內(nèi)部的凝聚,所以纖維間的染液流動(dòng)以哈根-泊肅葉定律描述的毛細(xì)管效應(yīng)為主[9]。隨著X射線顯微層析成像技術(shù)的發(fā)展,三維成像技術(shù)[10-11]已成為研究多孔介質(zhì)中孔隙尺度過(guò)程的方法。應(yīng)用先進(jìn)的后處理程序和同步加速器顯微成像技術(shù),研究人員可實(shí)時(shí)成像甚至慢速觀察流動(dòng)過(guò)程,并從孔隙空間的界面提取相關(guān)的材料參數(shù)[12-13],如接觸角等。與其它天然多孔介質(zhì)不同的是,纖維僅依靠摩擦形成了相對(duì)穩(wěn)定的毛細(xì)管[14]。有研究人員使用纖維取向概率密度函數(shù)開(kāi)發(fā)了基于毛細(xì)管假設(shè)的模型[15-16],結(jié)果表明:織物結(jié)構(gòu)和毛細(xì)管流動(dòng)半徑影響流速;同時(shí),毛細(xì)管流動(dòng)半徑取決于纖維半徑和纖維體積分?jǐn)?shù)。

本文研究的目標(biāo)是構(gòu)建織物內(nèi)部一維毛細(xì)管流速v(x,t)和染料質(zhì)量濃度c(x,t)預(yù)測(cè)模型?；谶@些模型,以C.I.活性紅195和棉織物為例,通過(guò)給出初始條件和邊界條件來(lái)驗(yàn)證數(shù)值解,并討論了纖維體積分?jǐn)?shù)、接觸角、表面張力和流體黏度的影響。

1 織物中的毛細(xì)管流動(dòng)和濃度模型

基于纖維取向概率密度函數(shù)對(duì)織物的毛細(xì)管半徑建立數(shù)學(xué)模型,從而推導(dǎo)出毛細(xì)管流動(dòng)模型和濃度模型。x代表織物坐標(biāo),x=0和x=L分別代表織物的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

哈根-泊肅葉(Hagen-Poiseuille)方程是一種經(jīng)典的描述由壓力驅(qū)動(dòng)的毛細(xì)流動(dòng)方程[17]:

(1)

式中:Q為體積流量, m3;t為時(shí)間, s;rc為平均毛細(xì)管流動(dòng)半徑,取值為4.14×10-6m[18];μ為流體黏度,取值為8.9×10-4Pa·s[15];x為流動(dòng)距離, m;∑p為流動(dòng)總壓力,Pa,其計(jì)算公式為

∑p=pc+pd+pg

(2)

式中:pc為毛細(xì)管壓力, Pa;pd為動(dòng)壓, Pa;pg為重力導(dǎo)致的靜壓, Pa。計(jì)算公式分別為:

(3)

(4)

pg=-xρg

(5)

將式(2)～(5)代入式(1)得到:

(6)

式中:γ為流體表面張力,取值為0.072 N/m[15];θ為接觸角[15],取值為0.7 rad;ρ為流體密度,取值為997 kg/m3;u為流體初始流速, m/s;g為重力加速度,取值為9.8 m/s2。

(7)

根據(jù)Washburn和Trabi的結(jié)果,當(dāng)u=0時(shí),得到式(7)的解析解[9,17]:

(8)

式中,L為織物總長(zhǎng),取值為0.1 m。

染液沿著由織物纖維形成的毛細(xì)管在織物中流動(dòng),基于纖維取向概率密度函數(shù)[16]給出平均毛細(xì)管流動(dòng)半徑rc的計(jì)算公式:

(9)

(10)

流體內(nèi)的染料質(zhì)量濃度c(x,t)[19]為

(11)

式中:φf(shuō)ab為織物孔隙率,取值為0.812 9;v為染液流速, m/s;c為染料質(zhì)量濃度, g/L;D為質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù), m2/s;Sdep為染料在纖維上的沉積速率,g/(L·s)。

2 織物表征和模型參數(shù)

2.1 織物表征

織物是纖維、空氣、水分的復(fù)合材料,然而在實(shí)際計(jì)算中,空氣和水分經(jīng)常被忽略,一塊織物僅視為干纖維的集合?？紫堵师說(shuō)ab是式(11)的核心參數(shù)之一,它可用復(fù)雜的儀器測(cè)量,也可通過(guò)下式計(jì)算得到:

(12)

織物比表面積(Assa, 1/m)為

(13)

式中:df為纖維直徑[18], 取值為1.33×10-5m;lfb為纖維長(zhǎng)度, 取值為0.01 m;N為纖維數(shù)量。

如前所述,纖維質(zhì)量Mfb約等于織物質(zhì)量Mfab,那么纖維數(shù)量為

N=Mfab/(ρfbVfb)

(14)

式中,Vfb為單根纖維體積, m3。

織物的厚度參照ISO 5840—1996《紡織品和紡織制品厚度的測(cè)定》,采用Y9141D型數(shù)字式織物測(cè)厚儀(寧波紡織儀器廠)測(cè)量。

2.2 擴(kuò)散率和沉積率

流體中分子的質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)D由斯托克斯-愛(ài)因斯坦(Stokes-Einstein)方程[20]定義:

D=kbT/(6πμr)

(15)

式中:r為染料分子半徑[21],取值為10-10m;kb為斯特藩-玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann)常數(shù),取值為5.67×10-8W/(m2·K4);T為流體溫度,取值為313.15 K。

式(11)中的沉積速率Sdep可通過(guò)下式[22-23]估計(jì):

Sdep=kφf(shuō)abc

(16)

式中,k為沉積速率系數(shù), 1/s,其計(jì)算公式為

k=ceEAssau。

式中:ce為纖維表面系數(shù),取值為0.1[24];E為保留系數(shù),取值為0.01[24]。

2.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用YG87型毛效測(cè)試儀(寧波紡織儀器廠)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。將寬度為2 cm的干燥純棉織物試樣垂直懸掛在毛效測(cè)試儀上,然后以極緩慢速度使試樣下降以達(dá)到準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,使式(7)和(10)中的u≈0。 毛效測(cè)試儀中裝有0.03 g/L的活性紅195溶液,其溫度維持在40 ℃。測(cè)試環(huán)境溫度為21 ℃,相對(duì)濕度為60%。本文研究使用了由Testmaterials B.V.測(cè)試中心生產(chǎn)的CN42標(biāo)準(zhǔn)白色棉織物?；钚约t195染料由上海Adamas-Beta試劑有限公司提供。使用相機(jī)記錄了15 min的毛細(xì)流動(dòng)過(guò)程,然后使用Datacolor 800分光測(cè)色儀(美國(guó)Datacolor公司)對(duì)樣品顏色進(jìn)行了測(cè)量和比較。純棉織物樣品均使用了FOM 71 CLS滾筒洗衣機(jī)(瑞典伊萊克斯公司),采用ISO 5A洗滌程序進(jìn)行3次預(yù)洗以避免內(nèi)應(yīng)力和雜質(zhì)的影響,并放置在恒溫恒濕箱內(nèi)在相對(duì)濕度為60%,溫度為25 ℃的條件下干燥、平衡備用。

2.4 邊界條件、初始條件和數(shù)值求解

在t=0時(shí)織物任何位置的毛細(xì)管流速v和染料質(zhì)量濃度c均等于0,即v(x,0)=0,c(x,0)=0。入口處的初始質(zhì)量濃度c(0,0)為0.03 g/L。計(jì)算時(shí)間間隔為0～900 s,即15 min。速度v(x,t)直接由式(10) 定義,同時(shí)Fries給出了u=0的解析解[22-25]。使用COMSOL 5.5 提供的一般形式邊界偏微分方程求解器求解式(11)的數(shù)值解[26]。

3 結(jié)果與討論

3.1 預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

使用分光測(cè)色儀測(cè)量t=900 s時(shí)樣品織物的K/S值以表征染料質(zhì)量濃度,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理來(lái)消除顏色和質(zhì)量濃度單位的差異。表1列出不同時(shí)刻織物中染液流動(dòng)距離的模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)得值及相對(duì)誤差。圖1示出預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的流速和質(zhì)量濃度對(duì)比。

圖1 預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of predicted values and experimental results.(a) Flow rate comparison between predicted and experimental measurements; (b) Concentration comparison between predicted and experimental measurements

表1 模型誤差Tab.1 Model prediction error

由表1可知,數(shù)值模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差均在4%以內(nèi),模型精度較高,可較好地模擬不同時(shí)刻織物內(nèi)染液的流動(dòng)距離。從圖1可看出,實(shí)驗(yàn)測(cè)得流動(dòng)距離與模型計(jì)算所得流動(dòng)距離的變化趨勢(shì)相同,誤差較小,在質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)方面,預(yù)測(cè)顏色與實(shí)際顏色變化趨勢(shì)相同,誤差較小。

3.2 織物中活性紅195質(zhì)量濃度

圖2示出當(dāng)t=10,60,120,300,900 s時(shí)活性紅195在x=0～L范圍的質(zhì)量濃度分布?？梢钥闯?質(zhì)量濃度c隨著時(shí)間的增加而增加。在較早的階段,例如在t=10～120 s時(shí),質(zhì)量濃度分布c(x,t)比300 s和900 s更陡峭,意味著此時(shí)染色部分與未染色部分的分界線更為明晰。

圖2 不同時(shí)刻下織物不同位置的染料質(zhì)量濃度分布Fig.2 Concentration distribution at different position under different moments

3.3 纖維體積分?jǐn)?shù)的影響

圖3 纖維體積分?jǐn)?shù)對(duì)v(x,t)的影響Fig.3 Effect of fiber volume fraction on v(x,t)

圖4 纖維體積分?jǐn)?shù)對(duì)c(x,t)的影響Fig.4 Effect of fiber volume fraction on c(x,t)

3.4 接觸角θ的影響

圖5、6分別示出接觸角θ對(duì)流速v(x,t)和質(zhì)量濃度c(x,t)的影響。其中θf(wàn)值為0.7 rad。對(duì)于v(x,t),隨著θ的增加,織物內(nèi)部的染液流速逐漸減小。當(dāng)θ>π/2時(shí),界面將形成向上凸出的液面。在這種情況下,不會(huì)發(fā)生滲吸過(guò)程,如θ=2.5θf(wàn)結(jié)果所示。此外,在流動(dòng)的初始階段,即當(dāng)t=10 s和60 s時(shí),在不同的x位置,接觸角越大,質(zhì)量濃度c(x,t)越低。

圖5 接觸角θ對(duì)v(x,t)的影響Fig.5 Effect of contact angle θ on v(x,t)

圖6 接觸角θ對(duì)c(x,t)的影響Fig.6 Effect of contact angle θ on c(x,t)

3.5 表面張力γ的影響

本文研究比較了不同表面張力0.5γf、γf和2γf的計(jì)算結(jié)果。其中γf取值為0.072 N/m。圖7、8分別示出流體的表面張力對(duì)織物中染液流速和染料質(zhì)量濃度的影響。可以看出,隨著表面張力的增加,織物中的染液流速增加。在流動(dòng)的初始階段t=10 s 和60 s時(shí),較大的表面張力會(huì)導(dǎo)致更高的質(zhì)量濃度。到了t=300 s,0.5γf所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量濃度逐漸超過(guò)了γf的計(jì)算結(jié)果。在最后t=600 s時(shí),0.5γf對(duì)應(yīng)的質(zhì)量濃度已經(jīng)完全超過(guò)γf。

圖7 表面張力γ對(duì)v(x,t)的影響Fig.7 Effect of surface tension γ on v(x,t)

圖8 表面張力γ對(duì)c(x,t)的影響Fig.8 Effect of surface tension γ on c(x,t)

3.6 黏度μ的影響

圖9、10分別示出黏度μ對(duì)質(zhì)量濃度c(x,t)和流速v(x,t)的影響。可以看出,隨著黏度μ的增加,織物中的染料流速逐漸降低。在織物空間x∈(0,L)中,黏度μ越大,織物中的染液質(zhì)量濃度越低。就時(shí)間t而言,當(dāng)黏度較低時(shí),織物中的染料質(zhì)量濃度c(x,t)上升得更快。當(dāng)流體黏度較大(μ=10μf)時(shí),織物內(nèi)的染液流速較慢,進(jìn)而導(dǎo)致織物中的染料擴(kuò)散也比較緩慢。

圖9 黏度μ對(duì)c(x,t)的影響Fig.9 Effect of viscosity μ on c(x,t)

圖10 黏度μ對(duì)v(x,t)的影響Fig.10 Effect of viscosity μ on v(x,t)

4 結(jié) 論