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    運用直尺巧妙解決數(shù)學(xué)問題

    2012-08-28 02:35:22江蘇省鹽城市初級中學(xué)王太廣
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年10期
    關(guān)鍵詞:作法直尺垂線

    ☉江蘇省鹽城市初級中學(xué) 王太廣

    操作直尺(無刻度)解決數(shù)學(xué)問題,考查學(xué)生動手解決問題的能力,在充滿探索的過程中理解數(shù)學(xué),從中感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣,增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,形成應(yīng)用意識,創(chuàng)新意識.本文就運用直尺巧妙解決數(shù)學(xué)問題,舉例說明.

    一、平分平行四邊形的面積

    例1 如圖1,已知平行四邊形ABCD,只用直尺你能把這個平行四邊形分成面積相等的兩個圖形嗎?

    分析:考慮到平行四邊形的性質(zhì),平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是四邊形的對角線的交點.

    作法:利用直尺連接AC,BD交于點O.過點O任意作一條直線,則直線EF兩旁的圖形面積相等.

    根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形易于證明直線兩旁的圖形面積相等.

    二、找線段的中點

    例2 在一次數(shù)學(xué)活動課上,小明提出:誰能幫我用沒有刻度的直尺找出線段AB的中點?小聰說:我能做到.你知道小聰是如何做的嗎?

    這個問題有些困難,考查了學(xué)生的基本功和解決問題的能力.

    作法:如圖2,用直尺任作一條直線

    MN∥AB,在MN,AB的同一側(cè)任取一點P,連接AP,BP分別交直線MN于點C,D,再連接AD,BC,相交于點E,畫射線PE交線段AB于點O,點O就是線段AB的中點.

    圖2

    三、作角的平分線

    例3 只用直尺,小明畫了∠BAC的平分線AD,你能知道小明如何畫的嗎?并證明其作法的正確性.

    作法:如圖3,將直尺一邊與AB重合,在∠BAC的內(nèi)部沿另一邊畫直線EF;再將直尺一邊與AC重合,在∠BAC內(nèi)部沿另一邊畫直線MN,交EF于點G,過AG作射線AD,則射線AD就是∠BAC的平分線.

    證明:作GP⊥AB,GQ⊥AC,垂足分別為P,Q,垂線段GP,GQ為直尺的寬度,所以GP=GQ,所以AD是∠BAC的平分線.

    四、作圓的直徑

    例4 只用沒有刻度的直尺,小明能作出已知圓的直徑,你知道小明是怎么做的嗎?并說明理由.

    圖4

    作法:如圖4,將直尺放在圓上,與圓交于點A,B,C,D四點,連接AD,BC交于點P,移動直尺,使直尺一邊與AB重合,另一邊與圓交于E,F(xiàn)點,(EF和CD分別在AB兩側(cè))連接AF,BE交于點M,作直線PM交圓于G,H,則GH就是圓的直徑.

    證明:由作法可知,CD∥AB∥EF,AB平分∠DAF和∠CBE,從而∠DAF=∠CDE,所以四邊形PAMB為菱形,PM垂直平分AB,根據(jù)垂徑定理易得GH是圓的直徑.

    當(dāng)然我們利用這種方法還可以找已知圓的圓心.

    五、作垂線

    例5 AB是已知圓的直徑,點P是圓所在平面內(nèi)的任意一點,但P點不在直線AB上,也不在圓周上,你能否僅用直尺過點P作AB的垂線?

    圖5

    分析:要作直線,還一個點,此題沒有給出有關(guān)的圖,也沒有明確指明點P的位置,所以先要畫有關(guān)的圖,并就點P的位置進行分類討論.

    (1)點P在圓的內(nèi)部,如圖5,連接AP,BP并延長與已知圓分別交于D,E,連接

    AE,BD分別延交于點C,作直線CP,則直線CP即為所求的垂線.

    (2) 點P在圓的外部,有圖6,圖7兩種情形,作直線AP,BP與已知圓分別交于點D,E,作直線AE,BD交于點C,作直線CP,則直線CP即為所求的垂線.

    圖6圖7

    證明:(1)點P在圓的內(nèi)部,如圖5,因為AB為⊙O的直徑,所以AD⊥BC,BE⊥AC,所以點P是△ABC的垂心.所以CP⊥AB.

    (2)點P在圓的外部的兩種情況也可仿此法證明:一種情況如圖6,因為AB為⊙O的直徑,所以AE⊥PB,BD⊥PA.所以點C是△PAB的垂心.所以CP⊥AB.

    另一種情況如圖7,點B是△PAC的垂心,所以CP⊥AB.

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