淺談數(shù)學(xué)解題中常見的思想方法

☉湖北省浠水縣實驗中學(xué) 饒金華

中考試題涉及眾多知識點，覆蓋面廣，關(guān)系復(fù)雜，證法靈活，解決這類考題需要考生能夠正確地綜合運用數(shù)學(xué)解題思想和方法，以下是中考中幾種常用的解題思想，供大家參考.

一、整體思想

注意力和著眼力放在問題的整體上，通過研究問題整體形式和整體結(jié)構(gòu)，進(jìn)而作出整體處理，達(dá)到順利解題的目的.

例1 如圖1所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為______個平方單位.

解：由條件可知圖中每個扇形的面積不能單獨求出，因為不知圓心角的度數(shù).仔細(xì)分析可得n個扇形的圓心角恰為n邊形的n個因此，n個扇形的圓心角的度數(shù)和為n邊形的外角和.所以陰影部分的面積之和π.

二、化歸思想

化歸思想是一種由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化，由未知向已知轉(zhuǎn)化，又非基本問題向基本問題轉(zhuǎn)化的解題策略.

例2 判斷下列數(shù)3555、4444、5333的大小關(guān)系是______.

分析：直接計算每個數(shù)顯然復(fù)雜難以比較，如果將它們化歸為異底數(shù)同次冪的形式，然后比較底數(shù)的大小即可解決問題.

解：3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111.

即5333＜3555＜4444.

三、分類思想

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，解答這類題不僅要求學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)知識，還要求學(xué)生具有靈活運用數(shù)學(xué)思想方法的能力.在對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類中尋求解答的一種解題思想方法.其目的在于克服思維的片面性，防止漏解.

例3 如圖2，在直徑為50cm的圓中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD.求AB與CD間的距離.

分析：由圓的對稱性，可知兩條弦的位置會出現(xiàn)兩種情況.

圖2

圖3

解：作OE⊥AB，垂足為E，OE交CD于點F.

因為AB∥CD，所以O(shè)F⊥CD.

連接OA、OC.

（1）當(dāng)AB和CD位于點O的同側(cè)時（圖2），AB與CD間的距離為：

（2）當(dāng)AB和CD位于點O的異側(cè)時（圖3），AB與CD間的距離為：

所以AB與CD間的距離是8cm或22cm.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思想策略.有關(guān)函數(shù)及其圖像的題目，多數(shù)用數(shù)形結(jié)合思想解答.

圖4

例4 如圖4，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運動.其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒.

（1）P點的坐標(biāo)為（______，______）（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值.

（3）當(dāng)x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.

解：（1）由題意可知C（0，3），M（x，0），N（4-x，3）.

（2）設(shè)△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為，其中0≤x≤4.

（3）如圖5，延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC.

①若NP=CP.

③若CN=NP，則CN=4-x.

在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2.

圖5

小結(jié)：數(shù)學(xué)思想方法還有很多，比如方程思想，它是指對所求數(shù)學(xué)問題通過列方程（組）求解的一種解題思想，是解幾何問題的重要策略.這類題目很常見，需要同學(xué)們?nèi)ザ嘤^察、多動腦、多實踐.