一類有關(guān)具體函數(shù)圖象對稱中心問題的研究

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們知道，一些具體函數(shù)圖象是有對稱中心的，常見的具體函數(shù)有常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).筆者在這里與讀者一起要研究的主要是，一類由上述函數(shù)構(gòu)成的具體函數(shù)且函數(shù)圖象具有對稱中心的有關(guān)問題.同時(shí)，溫馨提醒同學(xué)們要有函數(shù)圖象的對稱中心意識，也供同仁們在教學(xué)中作參考，希望能起到拋磚引玉的作用.

一、重要性質(zhì)

性質(zhì)3若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)=f(x-a)+b的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱.

二、有關(guān)一般函數(shù)圖象的對稱中心問題

又-1≤cosπx≤1，于是，當(dāng)x>4時(shí)，-2

因?yàn)閒(β)=-10，從而β∈(3，4)且是唯一的.

同理，由函數(shù)y=(x-2)(x-3)及y=-sinπx的圖象，知當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，且f(1)=0.

又-1≤cosπx≤1，于是，當(dāng)x<1時(shí)，-1

因?yàn)閒(α)=10，從而α∈(1，2)且是唯一的.

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱，從而f(x)max+f(x)min=4，即m+n=4.

(2)本題先將原函數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱，求得m+n=4，并不需要分別求出m與n的值.事實(shí)上，要分別求出m與n的值是非常困難的，甚至幾乎求不出來.(3)若沒有想到函數(shù)y=f(x)的圖象是否關(guān)于點(diǎn)對稱，進(jìn)而用相關(guān)性質(zhì)解答，而嘗試用導(dǎo)數(shù)的知識分別去求m與n的具體數(shù)值，就會深陷泥沼，無法自拔了.

三、一類分式型函數(shù)圖象的對稱中心問題

1.問題的提出

2.問題的探究

f(x)=3+g[x+(a+2)]，當(dāng)a+2=0，即a=-2時(shí)，將函數(shù)g(x)的圖象向上平移3個單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，其圖象關(guān)于點(diǎn)(0，3)對稱.

當(dāng)a+2>0，即a>-2時(shí)，將函數(shù)g(x)的圖象向左平移a+2個單位，再向上平移3個單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，其圖象關(guān)于點(diǎn)(-a-2，3)對稱.

當(dāng)a+2<0，即a<-2時(shí)，同理可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+2，3)對稱.

3.一點(diǎn)反思

凡是同學(xué)們提出的問題是合理的，我們都要熱情地、耐心地、認(rèn)真地、千方百計(jì)地幫助和引導(dǎo)，鼓勵同學(xué)們大膽地用合作探究的方式去加以解決.

四、有關(guān)三次函數(shù)圖象的對稱中心問題

例3 (2016年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試題)設(shè)α，β分別滿足方程α3-3α2+5α-4=0，β3-3β2+5β-2=0，則α+β=____.

解析觀察題目條件α3-3α2+5α-4=0，β3-3β2+5β-2=0，想到設(shè)f(x)=x3-3x2+5x，則f(α)=4，f(β)=2.

因?yàn)槿魏瘮?shù)f(x)=x3-3x2+5x的圖象的對稱中心為(1，3)，f′(x)=3x2-6x+5>0對x∈R恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增.

評注(1)若沒有想到三次函數(shù)的圖象的對稱中心，則很難求解.(2)要求出α，β的值，是很困難的.

例4 (2012年高考四川卷·文12)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，則a1+a2+…+a7=( ).

A. 0 B. 7 C. 14 D. 21

解f(x)=(x-3)3+x-1=x3-9x2+28x-28，f(x)是關(guān)于點(diǎn)(3，2)成中心對稱的增函數(shù).

∵f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，

∴f(a4)=2， ∴(a4-3)3+a4-1=2，

∴a4=3.

∵{an}是等差數(shù)列，

∴a1+a2+…+a7=7a4=21，故選D.

評注此題解法較多，只有利用三次函數(shù)f(x)=x3-9x2+28x-28是關(guān)于點(diǎn)(3，2)成中心對稱的增函數(shù)來解答最簡捷.

五、一組變式題

下面給出一組變式題目，供同學(xué)們訓(xùn)練，也供同仁們在教學(xué)中作參考.

1.已知函數(shù)f(x)=x3-9x2+29x-30，實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)=-12，f(n)=18，則m+n=____.

2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x3+5x-3=3x2+1，y3+5y-1=3y2+1，則x+y=____.

A. (-4，6) B. (-2，3)

C. (-4，3) D. (-2，6)

A. (2，3) B. (2，0) C. (3，2) D. (3，0)

參考答案為：1. 6； 2. 2； 3. B； 4. A； 5. 5； 6. 4.