借用真題“同構” 破解一道壓軸題

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校 610000)

一、引題呈現

成都七中2019-2020學年上期高2022屆半期考試壓軸題22題：

設函數fk=2x+(k-1)2-x(x∈R，k∈Z).

(2)若2m+f1(m)=5，f1(2n)+2log2(n-1)=5，求m+n的值.

解析(1)略.

二、真題再現

(2009·遼寧)若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2(x-1)=5，x1+x2=( ).

分析本題涉及的是兩個非整式方程，其中一個是指數超越方程，一個是對數超越方程，這兩種方程均不在高考考綱范圍之內，因此此題中不用分別解出兩個方程，分別求出x1，x2，再求x1+x2．尤其高一學生才學完指對函數，又屬于第一期半期考試題，所以解決本題的突破口應該是從指對本身隱含的關系去入手破解.我們知道人教A版必修一指對數這部分內容重點突出指對互化，單調性，尤其圖象的運用更明顯，隨后提及同底的指對函數定名互為反函數.并在教材76頁探究與發(fā)現研究互為反函數的兩個函數圖象之間的關系.接下來筆者就利用學生最近發(fā)展區(qū)知識進行探究.

探究一、轉化化歸為同種函數

由于兩方程不能求解，但又要求出兩根的和，唯一的想法只有想到含兩根的式子均是某一方程的兩根(容易聯(lián)想到一元二次方程的兩根之和)，這樣才能夠建立兩者關系，所以只有將兩方程在形式上進行化歸統(tǒng)一.

方法一巧妙配湊，轉化為指數函數，并利用指數函數的單調性求解.

纏尸布碎成了絮，紛紛揚揚地飄落，吹散了一地。尸體重新落回臺面，臉面朝下，后背朝上，已一絲不掛。天葬刀并不稍停，鋒利的刀刃在筋骨與關節(jié)間如龍游走。猩紅的血順著刀身上纖細的云紋倒流而上，所經之處，刀身閃現起熒熒紅光。血水繼續(xù)蜿蜒向上，直流入刀柄前端墨玉骷髏的口中。

探究二、代數換元，結合配湊合理轉化

分析尤其一些代數式求值問題，可將代數式整體用新元表示，這樣一來多建立了方程，與題中的方程聯(lián)合構成方程組，進而相互可進行代換轉化.

方法三令x1+x2=t，則x1=t-x2，代入2x1+2x1=5得2t-x2=5-2(t-x2)=2x2-2t+5.

方法四令x1+x2=t，則x2=t-x1，代入2x2+2log2(x2-1)=5進行變形.下同解法三.請讀者自推.

方法五配系數換元

分析先由題中已知分別將x1、x2所滿足的關系表達為2x1=2log2(5-2x1)…系數配為2是為了與下式中的2x2對應2x2+2log2(x2-1)=5.觀察兩個式子的特點，發(fā)現要將真數部分消掉求出x1+x2，只須將5-2x1化為2(t-1)的形式，則2x1=7-2t，t=x2.

由題意2x1+2x1=5①,2x2+2log2(x2-1)=5②.

所以2x1=5-2x1，x1=log2(5-2x1)即2x1=2log2(5-2x1).令2x1=7-2t，代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1).

同理，本法也可將對數結構向指數轉化.(請讀者自己證明)

探究三、數形結合(利用一對反函數圖象)

分析試題中求x1+x2，即會聯(lián)想到中點坐標公式，又由題意指對涉及到同底，聯(lián)想到指數函數y=2x與對數函數y=log2x的圖象關于y=x對稱這一特性，利用該特性可以應用數形結合思想解決．

從以上幾種解法可以看出，這是一道指對互化的經典試題.為了追求在結構上統(tǒng)一，利用轉化思想實行了互化.其中運用構造方程和函數思想，尤其是探究一體現了函數的單調性的運用.方法六將同底的指對函數圖象關系運用達到極致，數形結合顯直觀.

那么以上兩題能在教材找到相應的題根嗎？回答是肯定的.此上兩題其實就是來自教材習題變式.

三、試題探源

(蘇教版必修一課本習題)已知x+lgx=10,y+10y=10，求x+y的值.

(請大家借助教材習題及高考試題可以進行不同的變式，期待更多精彩類題呈現)

其實我們知道很多新問題是在原問題的基礎上進行了某種程度的改頭換面，或者進行了適當的變式或包裝，只要能看透變式與包裝背后的本質的東西，那么問題無論如何變幻莫測，解決起來我們總能游刃有余和得心應手.我們深知隨著高中數學學習，以后涉及知識點多，范圍廣，每次題目不斷變化更新的同時考查方式也是多種多樣，但數學考查知識點是相對固定的.因此在平時學習或復習備考時注重回歸教材，以教材為根據地，認真研究例題、習題，進行一題多變，一題多解.在強化數學思維、方法的訓練的同時歸類和比較方法的優(yōu)劣，以及找到共性，提高自己的學習能力，刷高質量題，進一步在學習備考中取得事半功倍的效果.