2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)列題解法探究與變式推廣

廣州市第九十七中學(xué)(510288) 黃艷

廣州市南海中學(xué)(510170) 沈鋼

2023 年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷第20 題與第7 題都是以等差數(shù)列為背景,涉及等差數(shù)列基本量的運(yùn)算和等差數(shù)列與函數(shù)本質(zhì)關(guān)系,很好的考察了學(xué)生的推理論證能力和計(jì)算能力,體現(xiàn)了試題選拔功能.對(duì)于等差數(shù)列,不應(yīng)該止步于會(huì)解,可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究等差數(shù)列的知識(shí)背景,挖掘問(wèn)題的本質(zhì).本文對(duì)其進(jìn)行多種解法解答與分析,通過(guò)與教材對(duì)比,充分挖掘等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)的關(guān)系和其前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的本質(zhì)關(guān)系,進(jìn)行變式推廣.為師生復(fù)習(xí)備考指明方向,提高教學(xué)質(zhì)量.

一、試題與評(píng)析

題目1(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第7 題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

題目2(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d＞1.令記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.

評(píng)析2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷的兩道數(shù)列題都是以等差數(shù)列為知識(shí)背景,考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的本質(zhì).這兩道題都非常新穎,有創(chuàng)新,有一定的靈活性,難度適中,注重對(duì)學(xué)生理解能力,分析運(yùn)算能力的考查.

二、解法探究

題目1 的解答甲:{an} 為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1,公差為d,即則為等差數(shù)列,即甲是乙的充分條件; 反之,乙:為等差數(shù)列,即S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,當(dāng)n≥2 時(shí),上兩式相減得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,當(dāng)n=1 時(shí),上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數(shù),因此{(lán)an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件.

注屬于中檔題目,主要考查學(xué)生的對(duì)等差數(shù)列的本質(zhì)認(rèn)識(shí).

題目2 第1 問(wèn)是等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,難度不大,下面著重對(duì)題目2 的第2 問(wèn)進(jìn)行探討.

解法1因?yàn)閧bn} 為等差數(shù)列,所以2b2=b1+b3,即所以即-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d,因?yàn)閐＞1,所以an＞0,又S99-T99=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1.所以即解得a50=51 或a50=-50(舍去).當(dāng)a1=2d時(shí),a50=a1+49d= 51d=51,解得d=1,與d＞1 矛盾,無(wú)解;當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+49d=50d=51,解得

解法2因?yàn)閧an} 是公差為d的等差數(shù)列,所以an=dn+c,又因?yàn)閎n=為等差數(shù)列,即所以bnan=n(n+1)且bn為關(guān)于n的一次函數(shù),所以an與bn各有1 個(gè)n或n+1 的因式.

S99-T99=99a50-99b50=99×51d-99×50×=99,所以51d2-d-50=0 得d=-1 或d=不符合d＞1.綜上,

解法3因?yàn)閧an},{bn} 是等差數(shù)列,可設(shè)an=dn+c,bn=an+b,因?yàn)閎n==an+b,得n2+n=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=1,bc=0.

評(píng)注解法1 中,{bn}是等差數(shù)列,前三項(xiàng)成為等差數(shù)列,利用等差中項(xiàng)和等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求出a1與d的聯(lián)系,然后通過(guò)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算;解法2 和解法3 本質(zhì)上都利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為一次函數(shù)的特點(diǎn).本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用,方程思想,化歸轉(zhuǎn)化思想,分類(lèi)討論思想,屬中檔題.

以上兩題本質(zhì)都是理解等差數(shù)列的等價(jià)條件,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,(1){an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列;(2){an}為等差數(shù)列?Sn=an2+bn,(3){an}為等差數(shù)列?an=an+b,因此這兩題出題非常好,是考查學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解的好題.

三、試題溯源及變式探究

高考題的命題來(lái)源于教材,但是往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)要回歸課本,扎根于教材,好好研究課本的習(xí)題,很多高考題都是教材習(xí)題的變式題.本文的題目1 與題目2 都是等差數(shù)列與前n項(xiàng)和的理解,深入研究,可以在教材中找到此題的“題根”.

題目3(題目1 溯源:新教材選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列第25 頁(yè)第7 題)已知記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,(1)證明:為等差數(shù)列;(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,若S4=12,S8=40,求Tn.

題目4(題目2 溯源:新教材選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列41 頁(yè)拓廣探索第12 題節(jié)選)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.

評(píng)注題目3 和題目4 本質(zhì)也是等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和特點(diǎn)的轉(zhuǎn)化:(1){an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列;(2){an}為等差數(shù)列?Sn=an2+bn,(3){an}為等差數(shù)列?an=an+b.對(duì)教材的題目進(jìn)一步研究,可以有以下變式,可以更好的去理解等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的本質(zhì).

變式1若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,且d＞1.數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且且2S99-T99=99,求d.

解因?yàn)閧an} 是公差為d等差數(shù)列,設(shè)an=dn+c,又因?yàn)閧bn} 是公差為d等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為T(mén)n,則從而(n+1)(n+2)=(an+b)(dn+c),得n2+3n+2=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=3,bc=2,解得(bd)2-3bd+2=0,得bd=1 或bd=2.

變式2已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且

解依題意知設(shè)Sn=k(2n2-n),Tn=k(n2+n),因?yàn)閍3=S3-S2=15k-6k=9k=9,所以k=1,Sn=2n2-n,Tn=n2+n,n=1,a1=S1=1,當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-3,故an=4n-3,同理bn=2n.

評(píng)注變式1 和變式2 都是利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的特征,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想和函數(shù)思想.

四、課本習(xí)題的變式與推廣

對(duì)于給定的數(shù)列{an},記bn=an+1-an,我們分別考慮bn=d(常數(shù));bn=an+b,a?=0;時(shí),{an}的特點(diǎn).

情形1若an+1-an=d( 常數(shù)),則數(shù)列{an} 為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn.其特征性質(zhì)有:{an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列?an=an+b.

以等差數(shù)列為載體,從函數(shù)的角度,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是含n為因式的二次函數(shù),等差數(shù)列的通項(xiàng)是一次函數(shù),一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的比值是一個(gè)一次函數(shù).

情形2若an+1-an=an+b(a?= 0),{an}會(huì)有什么特征呢? 我們知道可以用累加法求出{an}的通項(xiàng)公式,那符合這種遞推式的數(shù)列的通項(xiàng)公式有沒(méi)有共性特征呢? 我們把這樣的數(shù)列稱(chēng)為二階等差數(shù)列,其定義如下:如果將一個(gè)數(shù)列的所有后項(xiàng)與前項(xiàng)之差組成一個(gè)新數(shù)列,如果這個(gè)新數(shù)列是普通等差數(shù)列,原數(shù)列就是二階等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列{an} 滿(mǎn)足an+1-an=an+b,通過(guò)累加法即{an} 為二階等差數(shù)列?an+1-an=an+b?an=xn2+yn+z.可以據(jù)此處理若干問(wèn)題.比如

練習(xí)1若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2),求an.

解因?yàn)閍n-an-1=2n-1(n≥2),設(shè)an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=2,a3=9x+3y+z=7,解得x=2,y=-5,z=4,所以an=2n2-5n+4.

能否在教材中找到題根呢? 筆者發(fā)現(xiàn)教材中有這種題根,是拓廣探索題.

題目5(新教材選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列26 頁(yè)拓廣探索第12 題)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中,后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”的最上層有一個(gè)球,第二層有3 個(gè)球,第三層有6 個(gè)球,···,設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.

(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的一個(gè)遞推式;(2)根據(jù)(1)中的遞推式,寫(xiě)出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式.

解(1)因?yàn)閍1=1,an=an-1+n(n≥2).

(2)因?yàn)閍n-an-1=n(n≥2),可設(shè)an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=3,a3=9x+3y+z=6,解得所以

情形3若an+1-an=(ai+b),{an}有什么特征?首先,我們注意教材也有這樣數(shù)列的原型.

題目6(新教材選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列57 頁(yè)拓廣探索第14 題)在2015 年蘇州世乒賽期間,某景點(diǎn)用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品,其中第1 堆只有1 層,就一個(gè)球;第2,3,4,···堆最底層(第一層)分別按圖中所示方式固定擺放,從第二層開(kāi)始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球.記第n堆的乒乓球總數(shù)為

(1)求出f(3);(2)試歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式,并根據(jù)你得出的關(guān)系式探求f(n)的表達(dá)式.

把上面n個(gè)式子相加,

根據(jù)二階等差數(shù)列的定義,上述數(shù)列可以定義為三階等差數(shù)列:若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若an+1-an=Tn=an2+bn(a?=0),則數(shù)列{an}為三階等差數(shù)列.

類(lèi)比二階等差數(shù)列,若{an}為三階等列,?an+1-an=an2+bn?an=xn3+yn2+zn+e這個(gè)結(jié)論可以用于處理一些問(wèn)題.

其實(shí)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.高階等差數(shù)列的性質(zhì)有:

(1) 如果數(shù)列是p階等差數(shù)列,則它的一階差數(shù)列是p-1 階等差數(shù)列;

(2)數(shù)列是p階等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式;

(3)如果數(shù)列是p階等差數(shù)列,則其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的p+1 次多項(xiàng)式.

下面幾題留給讀者練習(xí):

練習(xí)2(二階等差數(shù)列)南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列,以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4 個(gè)為1,3,7,13,則該數(shù)列的第13 項(xiàng)為()

A.156 B.157 C.158 D.159

練習(xí)3(二階等差數(shù)列)數(shù)學(xué)家楊輝在其專(zhuān)著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2,4,7,11,16,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2,3,4,5,新數(shù)列2,3,4,5 為等差數(shù)列,則稱(chēng)數(shù)列2,4,7,11,16 為二階等差數(shù)列,現(xiàn)有二階等差數(shù)列{an},其前七項(xiàng)分別為2,2,3,5,8,12,17.則該數(shù)列的第20 項(xiàng)為()

A.173 B.171 C.155 D.151

練習(xí)4(三階等差數(shù)列)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7 項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19 項(xiàng)為()

(參考公式見(jiàn)上文題目6)

A.1624 B.1198 C.1024 D.1560

參考答案1.B;2.A;3.C