分析錯因加強(qiáng)防范

■蒙春鳳

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù),指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)容易混淆,因此,解題時稍有不慎就會出錯。下面就此類問題,舉例分析錯因,加強(qiáng)防范意識。

例1化簡:(1-a)[(a-1)-2·

防范措施:化簡指數(shù)式時,應(yīng)討論其中字母的取值范圍,通常根據(jù)指數(shù)冪的指數(shù)來討論,也可以化為根式,利用偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),奇次方根的被開方數(shù)是任意實數(shù)求出其中字母的取值范圍。如(am)n=amn,當(dāng)a>0時,(am)n=amn成立;當(dāng)a<0,m為偶數(shù)時,

二、忽視對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a 的討論

例2求函數(shù)且a≠1)的定義域。

錯解:要使此函數(shù)有意義,需滿足ax-1≥0,即ax≥1,解得x≥0。

錯因分析:解不等式ax≥1時,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,需對底數(shù)a進(jìn)行分類討論。上述錯解默認(rèn)了底數(shù)a>1。

防范措施:對涉及含參數(shù)的不等式問題,要注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論。

正解:要使此函數(shù)有意義,需滿足ax-1≥0,即ax≥1。

當(dāng)a>1時,可得x≥0;當(dāng)0

綜上可得,當(dāng)a>1時,函數(shù)的定義域為[0,+∞);當(dāng)0

三、換元時忽視中間變量的取值范圍

錯因分析:換元時,要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),確定t的取值范圍。

防范措施:在進(jìn)行換元變換時,一定要等價換元,也就是換元后一定要確定新變量的取值范圍,否則,換元后的變量與原變量不等價,從而產(chǎn)生錯誤結(jié)果。

四、解對數(shù)方程時,忽視真數(shù)的取值范圍

例4解方程log3(x2-10)=log3(3x)。

錯解:原方程可化為x2-10=3x,即x2-3x-10=0,解得x=-2 或x=5。故原方程的解為x=-2或x=5。

錯因分析:上述錯解忽視了對數(shù)的真數(shù)為正的情況。

防范措施:解關(guān)于對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式時,一定要等價轉(zhuǎn)化,注意對對數(shù)的真數(shù)大于0的檢驗。

正解:原方程可化為

由x2-10=3x得x=-2或x=5。

由3x>0得x>0,由x2-10>0得x>或x<-。

經(jīng)檢驗知x=5符合題意,所以原方程的解為x=5。

五、對數(shù)運算,忽視真數(shù)大于0

例5已知lgx+lgy=2lg(x-2y),則的值的集合為( )。

A.{2} B.{0,2} C.{4} D.{0,4}

錯因分析:上述解法忽視了對數(shù)的真數(shù)大于0的限制。

防范措施:熟練掌握對數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵。解答與對數(shù)有關(guān)的問題時,必須注意對數(shù)式本身的限制條件。

正解:由已知可得lg(xy)=lg(x-2y)2,所以xy=(x-2y)2,整理得x2-5xy+4y2=0,即(x-y)(x-4y)=0,所以x=y或x=4y。

由x>0,y>0,x-2y>0,可得x>2y>0,所以x=y(不合題意,舍去),所以x=4y,即

六、求函數(shù)的定義域時,忽視對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的取值范圍

例6求函數(shù)的定義域和值域。

錯解:由題意可得-lg(1-x)≥0,即lg(1-x)≤0,也即lg(1-x)≤lg1,所以1-x≤1,解得x≥0,所以此函數(shù)的定義域為[0,+∞)。

因為-lg(1-x)≥0,所以≥0,所以此函數(shù)的值域為[0,+∞)。

錯因分析:上述解法對對數(shù)的取值理解不清晰。實際上,當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時,若logax≤0,則0

防范措施:解答本題時,要注意題中的隱含條件。

正解:由題意知-lg(1-x)≥0,可得lg(1-x)≤0,即lg(1-x)≤lg1,所 以解得0≤x<1,所以此函數(shù)的定義域為[0,1)。

因為-lg(1-x)≥0,所以0,所以y≥0,所以此函數(shù)的值域為[0,+∞)。