一例三法解決圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題

■江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué) 徐粉芹

解析幾何中定點(diǎn)與定值問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),這兩類(lèi)問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的邏輯思維和計(jì)算能力要求較高。本文將介紹一例三法解決圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題,以期對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

圖1

(1)求橢圓C的方程。

(2)不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且AP⊥AQ,證明動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn),并且求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析:(方法1,韋達(dá)定理法)

(1)由題意可知,A(0,1),F(c,0),則直線AF的方程為,即x+cy-c=0。

故直線l恒過(guò)定點(diǎn)

傳統(tǒng)方法即韋達(dá)定理法,在地位上不可忽視,它是所有圓錐曲線計(jì)算的核心,但隨著題目難度逐年遞增,這種傳統(tǒng)方法的弊端也一步步顯現(xiàn):(1)計(jì)算量過(guò)大,得分點(diǎn)穩(wěn)定且不易提分;(2)化簡(jiǎn)部分技巧性較強(qiáng),不利于同學(xué)們深度思考;(3)無(wú)法體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美。

(方法2,齊次化構(gòu)造法)

(1)由題意可知,A(0,1),F(c,0),則直線AF的方程為,即x+cy-c=0。

新方法采用齊次化構(gòu)造形式,巧妙構(gòu)造齊次化方程,間接聯(lián)立橢圓與直線方程,從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程的目的,且具有較強(qiáng)的公式性,方便同學(xué)們掌握與記憶。直線方程的假設(shè),mx+n(y-1)=1,一是聯(lián)立后便于齊次化,二是根據(jù)AP、AQ的斜率形式。

(方法3,對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)

新方法采用對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造形式,巧妙構(gòu)造兩組對(duì)稱(chēng)的式子,間接聯(lián)立橢圓與直線方程,從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程的目的,且具有較強(qiáng)的公式性,方便同學(xué)們掌握與記憶。

解題啟示:在運(yùn)算量較大的問(wèn)題中,我們可以采用以下方法簡(jiǎn)化運(yùn)算:(1)對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造,體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美;(2)間接計(jì)算(間接聯(lián)立);(3)聯(lián)立齊次項(xiàng),不聯(lián)立非齊次項(xiàng)。

(1)求橢圓C的方程。

(2)如圖2,設(shè)A(-4,0),過(guò)點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),連接AP,AQ分別交直線于M,N兩點(diǎn),若直線MR、NR的斜率分別為k1、k2,試問(wèn):k1k2是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析:(方法1,韋達(dá)定理法)

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。

直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程3x2+4y2=48,得(4+3m2)y2+18my-21=0,則

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。

直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程3x2+4y2=48,得(4+3m2)y2+

(方法3,對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。