例說解析幾何中的經(jīng)典解法

■河南省南陽市一中 王喜朝

解析幾何是考查“數(shù)學(xué)運算,邏輯思維,數(shù)學(xué)建模”等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的絕佳載體,是對同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維、科學(xué)思維影響最大的一個模塊。解析幾何是“多思考少計算的最佳代表”,研究解析幾何中的經(jīng)典解法很有意義,用一句話來概括就是:幾何優(yōu)先,代數(shù)為本,優(yōu)化算法,熟記結(jié)論。下面筆者結(jié)合實例來說明,以期能夠拋磚引玉。

一、巧用圖形性質(zhì)捕捉幾何解法

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范,不同的題型側(cè)重點有所不同,由于幾何解法不易嚴謹?shù)乇磉_出來,故幾何解法更多地在填空、選擇題中體現(xiàn)。很多圓錐曲線題如果能夠找到幾何解法,就會比代數(shù)解法簡便。

例1(2022 年新高考Ⅰ卷第16 題)已知橢圓C,橢圓C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為。過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點,|DE|=6,則△ADE的周長是____。

如圖1,因為橢圓C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,所以△AF1F2為等邊三角形。

圖1

因過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點,故

由等腰三角形的性質(zhì)可得,|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|。

設(shè)直線DE的方程為D(x1,y1),E(x2,y2)。

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,化簡可得13x2+8cx-32c2=0。

點評:利用等腰三角形三線合一,得出△ADE?△F2DE,進而用橢圓定義求周長,避免了直接計算三邊長的煩瑣計算。

二、厘清圖形生成過程,找到解題思路

解析幾何的基本思想是用代數(shù)解析方法解決幾何問題,因此解析法是處理解析幾何問題的根本方法。通過厘清圖形的生成過程,依據(jù)正確的畫圖順序來順藤摸瓜,是找到解析幾何解題思路的一種常用方法。

(1)求橢圓的方程。

(2)如圖2,設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H。若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍。

圖2

分析:本題(2)中,命題人不僅未提供圖形,還故意打亂了圖形的生成過程,大大增加了思維難度。我們經(jīng)過認真梳理,發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是這樣的作圖順序:設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),連接BF,過F作FH⊥BF交y軸于H,過H作HM⊥l于M。這樣,由B點坐標求出直線BF的方程,進而求出FH的方程,得到H點坐標,從而得到HM的方程,最終解出M點坐標。再化簡條件:∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,即xM≥1。解題思路是先聯(lián)立方程組求B,再根據(jù)BF⊥HF求出H,然后求出xM,代入xM≥1解出取值范圍。

點評:厘清圖形生成的過程,畫出圖形,進而追根溯源,就容易找出代數(shù)解析方案。

三、探究命題意圖,優(yōu)化解題方案

認真審題是正確解題的前提。深刻領(lǐng)會命題人的命題意圖,正確提取題中信息,把所求問題準確轉(zhuǎn)化為等價的更簡捷的數(shù)學(xué)問題是解決壓軸題的必備素養(yǎng)。

例3(2020年新高考Ⅰ卷)已知橢圓)的離心率為,且過點A(2,1)。

(1)求橢圓C的方程。

(2)點M,N在橢圓C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值。

分析:(1)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可確定橢圓的方程為。(2)中存在定點Q,使得|DQ|為定值,表面上說的是求證點D的軌跡為一個圓,注意到AD⊥MN,就可以明白命題人的真實意圖是讓證明直線MN過定點,這樣思路就完全打開了。設(shè)出點M,N的坐標,當斜率存在時設(shè)方程為y=kx+m, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程,根據(jù)已知條件可得到m,k的關(guān)系式,進而得直線MN恒過定點;當直線斜率不存在時,要單獨驗證,然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點Q的位置。

i)如圖3,當直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m。

圖3

代入橢圓方程消去y,并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理可得:

(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0。

因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,2k+3m+1=0,k≠1。

于是MN的方程為

ii)如圖4,當直線MN的斜率不存在時,可得N(x1,-y1)。

圖4

代入(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,得(x1-2)2+1-y21=0。

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE中點Q滿足|QD|為定值(AE長度的一半)。

由于A(2,1),,故由中點坐標公式可得

點評:本題關(guān)鍵是做第二問時領(lǐng)悟出命題人本意是把問題轉(zhuǎn)化為直線MN經(jīng)過定點,避免直譯求點D軌跡,從而使解題方案得到優(yōu)化。

四、感悟巧思妙解,攻克運算瓶頸

傳統(tǒng)的聯(lián)立方程使用韋達定理設(shè)而不求的方法是解析幾何的基本方法,但是有時計算量較大,以至于許多同學(xué)知道思路但無法正確算出最后結(jié)果。因此,平時需要積累一些題型的巧思妙解,讓同學(xué)們感悟其能簡化運算的原因,進而自覺去應(yīng)用,這一點意義重大,很有必要。例如,當處理斜率乘積及斜率和為定值的定點定值問題時,就可以用齊次化方法來解。

例4(2017 年全國Ⅰ卷)已知橢圓,四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓上。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2,且與橢圓C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:直線l過定點。

解析:(1)因為點P3,P4關(guān)于x軸對稱,四個點中有三個點在橢圓上,所以P3,P4一定同時在橢圓上,點P1不在橢圓上。因為P2(0,1)在橢圓上,所以b=1。解得橢圓方程為

(2)(解法一)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1和k2。如果直線l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0且|t|<2,可得A,B的坐標分別是,于是,得t=2,不符合題意。

從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得:

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0。

由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0。

代入直線l的方程mx+n(y-1)=1,化簡得n(y+1)=-m(x-2),所以直線l過定點(2,-1)。

點評:齊次化法能解決兩條直線斜率之和(積)為定值的圓錐曲線問題,運算量相對較小。類似的技巧還有:巧用韋達定理求點坐標,巧用同理求點坐標,巧用直線參數(shù)方程求線段乘積等。同學(xué)們可以循序漸進去積累,并真正弄懂悟透,不要急于求成,以免欲速則不達。

五、熟記基本結(jié)論,節(jié)省解題時間

課后練習、作業(yè)、考試試卷中會有一些問題的奇妙結(jié)論,我們可以把這些結(jié)論提取出來進行記憶,并經(jīng)?？偨Y(jié)、整理、復(fù)習、應(yīng)用。比如例1 中算出后,可以利用橢圓的焦點弦長公式快速得到