具有正數(shù)量曲率度量的Quasitoric-流形

葉蔚聰，劉昌蓮

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006）

對于一個流形是否具有正數(shù)量曲率黎曼度量的問題，Gromov 等人［1-3］和Yau 等人［4］做出了一系列的基本貢獻。特別地，Gromov-Lawson 猜想后來被Stolz 解決了［5］。由此知道：對于任何單連通n維（n≥5）閉流形，如果它不是Spin-流形，則一定具有正數(shù)量曲率的黎曼度量。Spin-流形允許這樣的度量當(dāng)且僅當(dāng)它的Atiyah-Milnor 不變量為0.近些年，對于一個流形是否具有正數(shù)量曲率黎曼度量之問題的研究，有學(xué)者取得了一系列的進展。2014 年，Schick 利用指標(biāo)理論和手術(shù)理論給出了新的阻礙［6］。2017 年Zhang 研究了葉狀的Spin-流形上的正數(shù)量曲率黎曼度量，證明了任意環(huán)面上不存在葉狀正數(shù)量曲率［7］。2020 年Cecchini 對緊的帶邊Spin-流形上的正數(shù)量曲率黎曼度量的指標(biāo)定理進行了拓展［8］。

Fang等人給出了流形對(K,B) 的特征對的概念，稱(K,B) 為特征對［9］，若：

（1）dim(K) = 8k+ 4,dim(B) = 8k+ 2；

（2）K是可定向的Spin-流形并具有Spinc-結(jié)構(gòu)c∈H2(K,Z)；

（3）B是K的一個子流形且[B]∈H8k+2(K,Z).

容易看出B是一個Spin-流形，它的Spinc-結(jié)構(gòu)是由K的Spinc-結(jié)構(gòu)所誘導(dǎo)。取表示為B的Atiyah-Milnor 不變量。Zhang［10］給出了Rokhlin-同余公式：

另一方面，Davis 等人介紹了quasitoric-流形并提供了更多可計算的例子［12］。對任意2n維quasitoric-流形π:M2n→Pn，設(shè)F(Pn)={F1,…,Fm} 是Pn中所有余一維面的集合，Z[F1,…,Fm]∕IPn是Pn的面環(huán)，且λ(Fj)=(l1j,…,lnj),j= 1,…,m是Pn的示性函數(shù). 令θi: =li1F1+ … +limFm,1 ≤i≤n,JPn表示由θ1,…,θn生成的Z[F1,…,Fm]中的理想。關(guān)于M2n的上同調(diào)環(huán)和Stiefel-Whitney 類，有

可知M2n帶有Spinc-結(jié)構(gòu)［13］，這里(1 +Fi).當(dāng)n= 4k+ 2且M2n是Spinc-流形時，設(shè)B是M2n的一個子流形且[B]∈H8k+2(M2n,Z) 是c的Poincaré 對偶。

toric-流形具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1toric-流形具有Spin-結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)≡1(mod2),j= 1,2,…,m.

文章考慮具有Spin-結(jié)構(gòu)的quasitoric-流形π:M2(n+m)(λ) →Δn× Δm，其中n+m= 4k+ 2 且n,m為奇數(shù)。設(shè)B是M2(n+m)的子流形，其中[B]∈H8k+2(M2(n+m),Z)是c的Poincaré 對偶。那么B是Spin-流形。文章對B的Atiyah-Milnor 不變量進行了計算（定理1），并給出了= 0的充分必要條件（推論1）。

1 預(yù)備知識

設(shè)Pn是n維凸多面體，若Pn上的每一個頂點恰好是n個余一維面的交，則稱Pn為單凸多面體。

1.1 單凸多面體的示性函數(shù)

定義1設(shè)F(Pn)={F1,…,Fm}是單凸多面體Pn中所有余一維面的集合。若有映射λ:F(Pn) →Zn，使得對于Pn中的每個頂點υ=Fi1∩… ∩Fin，都有{λ(Fi1),…,λ(Fin)}形成Zn的一組基，或者，det(λ(Fi1),…,λ(Fin)) = ±1，其中Fij∈F(Pn)，稱λ為單凸多面體Pn的一個Z示性函數(shù)。

注1Davis 等人研究了一類帶有群作用的流形，并以單凸多面體作為軌道空間［12］。設(shè)Pn為一個單凸多面體，具體有如下兩種情況

（2）當(dāng)群為Tn時，M2n是2n維流形且

考慮群的自同構(gòu)，在情況（1）下，該作用局部同構(gòu)于Z2n在Rn上的標(biāo)準(zhǔn)作用。在情況（2）下，該作用局部同構(gòu)于Tn在Cn上的標(biāo)準(zhǔn)表示。稱Mn為Pn的一個小覆蓋，M2n為Pn上的擬環(huán)面流形?？傻靡粋€基本結(jié)果：Pn上的環(huán)面流形可按其示性函數(shù)進行等變分類。

注2事實上，對于任何示性函數(shù)λ，都可以選擇一個頂點υ=F1∩… ∩Fn，取{λ(Fi)=ei,1 ≤i≤n}是Zn的標(biāo)準(zhǔn)基。

1.1.1 Δn×Δm上的示性函數(shù)

設(shè)π:M2(n+m)→Δn× Δm為Δn× Δm上的一個quasitoric-流形。用υ1,…,υn+1表示Δn的頂點表示Δm的頂點。用F1,…,Fn+1表示Δn的余一維面表示Δm的余一維面。設(shè)，其中1 ≤i≤n+ 1,1 ≤j≤m+ 1.則有下面的事實：

（A）Δn× Δm有(n+ 1) ?(m+ 1) 個頂點，表示為，其中1 ≤i≤n+ 1,1 ≤j≤m+ 1；

（B）Δn× Δm有n+m+ 2 個余一維面，表示為，其中1 ≤i≤n+ 1,1 ≤j≤m+ 1.為了書寫方便，把(Fi× Δm)寫成，把寫成；

現(xiàn)在可以考慮Δn× Δm的示性函數(shù)。根據(jù)注2，選擇頂點并且對于1 ≤i≤n和1 ≤j≤m，令=en+j，這里的{ek,1 ≤k≤n+m}是Zn+m的標(biāo)準(zhǔn)基，所以只有未知。

性質(zhì)2假設(shè)Δn× Δm的組合如上所示，那么對于任何Δn× Δm上的示性函數(shù)λ，都有：= (y1,…,yn, ± 1,…, ± 1), 這里的xi,yj∈Z，滿足±1 -xiyj= ±1(1 ≤i≤n,1 ≤j≤m)，即：|xiyj| = 0或2.

證明注意到對于每個頂點滿足. 檢驗頂點和，其中1 ≤i≤n,1 ≤j≤m，有：= (±1,…, ± 1,x1,…,xm)，±1,…, ± 1).

推論1設(shè)n,m為奇數(shù)，π:M2(n+m)→Δn×Δm為Δn×Δm上的一個quasitoric-流形。若|xj|∈{1,2}且{y1,…,yn}中0 的個數(shù)為奇數(shù)，則M2(n+m)具有Spin-結(jié)構(gòu)。同理，若|yi| ∈{1,2}且{x1,…,xm}中0 的個數(shù)為奇數(shù)，則M2(n+m)具有Spin-結(jié)構(gòu)。

1.2 M2n(λ)的上同調(diào)環(huán)

Stanley 引入了面環(huán)的概念［14］。給定一個帶有單位元的交換環(huán)k，令k[F1,…,Fm]是k上具有m個生成元的多項式代數(shù)。在quasitoric-流形的情況下，deg(Fi)= 2，該代數(shù)為一個分次代數(shù)。

定義2單凸多面體P的面環(huán)（或Stanley-Reisner 環(huán)）是商環(huán)k(P) =k[F1,…,Fm]∕IP，其中IP是所有二次自由單項式Fi1Fi2…Fis生成的理想，使得Fi1∩… ∩Fis=?,i1＜ … ＜is.

任意給定(Pn,λ)，令F(Pn) 是Pn中所有余一維面的集合。將其示性函數(shù)寫成λ(Fj)=(l1j,…,lnj)，j= 1,…,m.對每個λ(Fj)定義如下線性形式

用JPn表示這些線性形式所生成的理想，即JPn=(θ1,…,θn)，則有

性質(zhì)3設(shè)π:M2n→Pn為Pn的一個quasitoric-流形，那么H?(M2n,Z) 是多項式環(huán)與理想JPn的商環(huán)，即H?(M2n,Z) =Z[F1,…,Fm]∕(IPn+JPn).

注3根據(jù)注2，取υ=F1∩… ∩Fn,{λ(Fi)=ei,1 ≤i≤n}是Zn的標(biāo)準(zhǔn)基，得到關(guān)系式：Fi=-(lin+1Fn+1+… +limFm). 現(xiàn)在把這個關(guān)系式代入到H?(M2n,Z) =Z[F1,…,Fm]∕(IPn+JPn)，則有H?(M2n,Z) =Z[Fn+1,…,Fm]∕?Pn，這里的?Pn是理想IPn中的Fi用-(lin+1Fn+1+ … +limFm)代替后得到的理想。特別地，對于任意多項式f∈I?Pn，有deg(f) ≥4.

例1有quasitoric-流形π:M2(n+m)→Δn× Δm，它具有與1.1.1 小節(jié)相同的組合和示性函數(shù)，則有

1.3 上同調(diào)環(huán)的最高維生成元

假設(shè)π:M2n→Pn為Pn的一個quasitoric-流形，取F(Pn)={F1,…,Fm}是Pn中所有余一維面的集合。選擇一個頂點Pn，設(shè){λ(Fi)=ei,1 ≤i≤n}是Zn的標(biāo)準(zhǔn)基，通過性質(zhì)3和注3，得到

引理1[F1…Fn] 是H2n(M2n,Z)的生成元，并且= ±1，其中[M2n]是基本類。對于其他頂點，有[F1…Fn]= ±[Fi1…Fin].

證明因為F1…Fn是Z[F1,…,Fm]的生成元，那么需要證明[F1,…,Fn].換句話說，

因為F1∩… ∩Fn=υ不是空集，那么F1…這意味著.注意ai是線性方程，在不失一般性的情況下，可以假設(shè)存在1 ≤k≤n使得

將此與原始方程結(jié)合起來，得到

證明這是不可能的。因為F2∩…∩Fn是一條線段，所以可以找到一個面Fn+p使得由det(λ(F2),…,λ(Fn),λ(Fn+p)) =±1易得l1n+p=±1.如果那么存在滿足如下兩種情況的t得

對應(yīng)第一種情況

得

因此，rtFt不能被消除，與矛盾。對應(yīng)第二種情況，因為是一條線段，所以可找到一個q滿足和

容易看出

因此，rtFn+q不能被消除，與矛盾。這意味著[F1…Fn]≠0. 由于H2n(M2n,Z) ?Z，則H2n(M2n,Z) 的生成元且= ±1.類似地，可以對其他頂點進行證明。

例2有quasitoric-流形π:CPn→Δn. 選擇一個頂點，設(shè)λ(Fi)=ei(1 ≤i≤n)，并且，則有

并且[F1…Fn]=[θ1F1…θnFn]=(- 1)n[(Fn+1)n].用θi(Fi)代替IPn中的Fi，得到：

故[F1…Fn]=(- 1)n[(Fn+1)n]是H2n(CPn,Z)的一個生成元。類似地，對于其他頂點，有

是另一個生成元。

例3設(shè)P2是一個正方形，P2有無數(shù)個示性函數(shù)λ：

由圖1任意給定(P2,λ) 得到的quasitoric-流形記為Mp4(λ).有

圖1 P2的示性函數(shù)

用θi(Fi)代替IP2中的Fi，得到，則有

因此，[F3F4]是H4(Mp4(λ),Z)的一個生成元，即.對于頂點，有υ12=F1∩F2對于頂點υ23=F2∩F3，有F2F3= -(pF3+F4)F3= -F3F4；對于頂點有F1F4= -F3F4.

2 主要結(jié)果的證明

設(shè)π:M2n→Pn為Pn的一個quasitoric-流形，并且Borel-構(gòu)造如下：

這里ETn是一個可收縮的空間，可以自由地作用于Tn，則有一個纖維化

眾所周知，存在如下的短正合序列

這里的λ?是特征函數(shù)λ的對偶映射。特別地，有Img(λ?)=Img(p?)=JPn，且關(guān)于M2n的Stiefel-Whitney 類，有

另一方面，若一個可定向的流形X有Spinc-結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诙tiefel-Whitney 類ω2(X) 是一個整類的mod2 約化［13］。因此，quasitoric-流形可以給出一個帶有Spinc-結(jié)構(gòu)的流形。

2.1 一個關(guān)鍵引理

設(shè)π:M2(n+m)→Δn× Δm為Δn× Δm上的一個quasitoric-流形，其中n+m= 4k+ 2 且n,m為奇數(shù)（n≤m）.Δn× Δm的組合和示性函數(shù)與1.1.1 小節(jié)的描述一致。由性質(zhì)2 有，并且xiyj∈{0, ± 2}(1 ≤i≤n,1 ≤j≤m).易知xi,yj的取值情況如下：

結(jié)合方程式

取

這里di,dj是奇數(shù)。設(shè)B是M2(n+m)的子流形，其中[B]∈H8k+2(M2(n+m),Z) 是c的Poincaré 對偶。因此，B是Spin-流形，B的Atiyah-Milnor 不變量如下

引理2用In,m表示積分，其中Γ(0) 表示圍繞0 的小圓，則有：

證明根據(jù)定義，有

則In,m=.結(jié)合I1,k= 1得到結(jié)果。

2.2 定理的證明

定理1根據(jù)示性函數(shù)的分類，考慮以下三種情況

（1）如果λ(F×n+1)=(±1,…, ± 1,0,…,0)和λ(F×m+1)=(0,…,0, ± 1,…, ± 1)，那么M2(n+m)?CPn×CPm，則有：

（2）如果m1表示{x1,…,xm}中所有絕對值為2 的元素個數(shù)，n1表示{y1,…,yn}中所有絕對值為1 的元素個數(shù)，其他元素為0 且n1為偶數(shù)，則有

（3）如果m2表示{x1,…,xm}中所有絕對值為1 的元素個數(shù)，n2表示{y1,…,yn}中所有絕對值為2 的元素個數(shù)，其他元素為0 且m2為偶數(shù)，則有

對于任何非負整數(shù)n，它的一個二進制擴展表示為a0(n) +a1(n)2 + … +ak(n)2k+ ….由數(shù)論的一個結(jié)果可知：若為奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對所有i都有ai(n) +ai(m) ≤1 成立。

證明假設(shè)xj= 0 和yi= 0，即=(±1,…, ± 1,0,…,0),λ=(0,…,0, ± 1,…, ± 1).在這種情況下，有M2(n+m)?CPn×CPm.結(jié)合引理1，有

那么根據(jù)引理2，有

假設(shè)存在n1為{y1,…,yn}中絕對值為1 的元素個數(shù)，m1為{x1,…,xm}中絕對值為2 的元素個數(shù)，并且其他元素為0.因為示性函數(shù)的符號不改變同胚類型，不失一般性，假設(shè)y1= … =yn1= 1,yn1+1= … =yn= 0 和x1= … =xm1= 2,xm1+1= … =xm= 0，即

取頂點(υ1,v1)=.結(jié)合引理1，有

根據(jù)引理2，有

假設(shè)存在n2為{y1,…,yn}中絕對值為2 的元素個數(shù)，m2為{x1,…,xm}中絕對值為1的元素個數(shù)，并且其他元素為0.其證明與上述類似。

推論1對應(yīng)于定理1的三種情況，有