在探究中深化 在經(jīng)歷中發(fā)展

［摘? 要］ 為了引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“最優(yōu)”方案，教師以學(xué)生熟悉的情境為切入點(diǎn)，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義，有效地激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師堅(jiān)持“以生為主”，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思考、分析、比較等數(shù)學(xué)活動(dòng)逐漸優(yōu)化思想，從而提煉出數(shù)學(xué)模型，以此提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

［關(guān)鍵詞］ 最優(yōu)方案；學(xué)生發(fā)展；數(shù)學(xué)模型

作者簡(jiǎn)介：呂慶華（1976-），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。

在“打電話”教學(xué)中，為了讓學(xué)生體會(huì)“最優(yōu)”的價(jià)值，教師以解決實(shí)際問(wèn)題為起點(diǎn)，通過(guò)有效的啟發(fā)和指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、積極探索，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、教學(xué)實(shí)錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出問(wèn)題

數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的、枯燥的，若在教學(xué)中只關(guān)注知識(shí)的講授，而不重視學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，這樣的數(shù)學(xué)課堂一定是乏味的、低效的。因此，在教學(xué)中，為了激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更好地體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)味，教師在引出問(wèn)題時(shí)常常會(huì)借助情境來(lái)淡化數(shù)學(xué)的抽象感和枯燥感，從而讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)無(wú)限活力。

某日深夜，119指揮中心接到報(bào)警，某小區(qū)發(fā)生煤氣爆炸，需要緊急救援。因火勢(shì)蔓延較快，需要召集正在休息的15名隊(duì)員一同參與救援。（教師演示動(dòng)畫）

師：如果你是隊(duì)長(zhǎng)，你想用什么樣的方式通知其他隊(duì)員呢？

生1：微信或者QQ。

生2：電話。

生3：發(fā)短信。

生4：郵件。

……

師：非常好，大家知道得真多?；馂?zāi)發(fā)生在深夜，你認(rèn)為哪種方式既快捷又方便，同時(shí)確保通知到每名隊(duì)員呢？

生齊聲答：打電話。

師：你們和隊(duì)長(zhǎng)的想法不謀而合，他也選擇了同樣的方式。

師：想一想，如何打電話才更高效呢？

在引入階段，教師以“救援”為切入點(diǎn)，讓學(xué)生切身體會(huì)“高效”在生活中的價(jià)值，從而為后面的探究“最優(yōu)”方案做好了鋪墊。同時(shí)，通過(guò)演示火災(zāi)場(chǎng)景，讓學(xué)生切實(shí)感知火災(zāi)的危害，從而培養(yǎng)安全用火、安全用電的好習(xí)慣。

2. 分析比較，探究“最優(yōu)”

在探究“最優(yōu)”的過(guò)程中學(xué)生大多需要經(jīng)歷比較、分析、交流、爭(zhēng)論等過(guò)程，從而使解決問(wèn)題的方案向“最優(yōu)”轉(zhuǎn)化，以此提升解決問(wèn)題的效率。

師：如果每打一個(gè)電話需要1分鐘，確保通知到每名隊(duì)員需要多少分鐘呢？

生5：如果逐一打，15個(gè)人需要15分鐘。

師：這個(gè)時(shí)間太長(zhǎng)了，大家剛剛也看到了，火勢(shì)蔓延得很快，第一批救援人員只能控制火勢(shì)，很難迅速將火撲滅。現(xiàn)在大家必須幫隊(duì)長(zhǎng)想一個(gè)更快的解決方案。（學(xué)生積極交流）

生6：可以大家一起打。

師：具體說(shuō)說(shuō)你的想法。

生6：可以將15人分成幾個(gè)小組，這樣隊(duì)長(zhǎng)只要通知組長(zhǎng)，組長(zhǎng)再通知隊(duì)員就可以了。

師：很好的想法，如果將15人分為3組，這樣確保通知到每名隊(duì)員需要幾分鐘呢？（師生共同交流）

生7：這樣隊(duì)長(zhǎng)打電話需要3分鐘，組長(zhǎng)打電話需要4分鐘，所以一共需要7分鐘。

師：很好，采用分組的方法打只需要7分鐘，極大地提高了通知效率。誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，為什么這樣打會(huì)更省時(shí)呢？

生8：如果逐一打就只能1個(gè)人打，分組后是4個(gè)人一起打，打的人多了自然也就快了。

師：說(shuō)得很好，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)。確實(shí)，打的人越多也就越省時(shí)。

師：這樣分組后確實(shí)省時(shí)了，不過(guò)7分鐘對(duì)于救援來(lái)講還是動(dòng)作太慢了，所以還需要對(duì)剛剛的打電話的形式進(jìn)一步優(yōu)化，你還有其他方案嗎？

生9：可以讓更多的人參與打電話。

師：具體怎么打呢？

生9：讓所有的人都參與進(jìn)來(lái)，接到通知就立刻把消息傳遞出去。

師：大家想一想，這樣較前面的分組方案來(lái)比，哪個(gè)方案更快呢？

學(xué)生齊聲答：后面的方案更快。

師：誰(shuí)來(lái)分析一下，為什么后面的會(huì)更快呢？

生10：只要知情人都打電話，這樣參與的人會(huì)越來(lái)越多，自然信息傳播得也越快。

師：確實(shí)是個(gè)不錯(cuò)的想法，大家立了大功了。

這樣，通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，若只是1個(gè)人打電話將會(huì)浪費(fèi)很多的救援時(shí)間，為此學(xué)生提出了新方法，即“知情人都打電話”，從而通過(guò)交流、分析使問(wèn)題解決逐漸向“最優(yōu)”方案轉(zhuǎn)化。

3. 優(yōu)化思想，建構(gòu)模型

在小學(xué)階段，學(xué)生的建模意識(shí)不強(qiáng)，究其原因主要是學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂并未擺脫應(yīng)試教學(xué)的束縛，教師在教學(xué)中依然以考試為價(jià)值定向，忽視了數(shù)學(xué)建模思想的滲透，使得學(xué)生在與數(shù)學(xué)溝通時(shí)出現(xiàn)了障礙，繼而影響了教師教學(xué)質(zhì)量的提升和學(xué)生思維能力的開發(fā)。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生熟悉的生活化的情境為切入點(diǎn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們主動(dòng)探究的好習(xí)慣，從而讓他們?cè)诮?jīng)歷中更好地理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)，自然形成數(shù)學(xué)模型思想。

（1）模擬演示，體驗(yàn)“最優(yōu)”方案

師：想一想，改進(jìn)方案后，需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？（學(xué)生沉思）

師：這個(gè)好像是有點(diǎn)復(fù)雜，現(xiàn)在我們一起模擬一下打電話的過(guò)程，你們?cè)敢鈫幔?/p>

學(xué)生齊聲答：愿意。（聽說(shuō)要模擬演示，學(xué)生個(gè)個(gè)精神百倍）

師：很好。為了便于觀察現(xiàn)在我們來(lái)確定一下規(guī)則。首先15人站成一排，接到電話后就需要轉(zhuǎn)換身份，變?yōu)橹槿?，這時(shí)知情人請(qǐng)站在另外一排。

規(guī)則講好后，有些學(xué)生還并未完全理解，教師先選擇5個(gè)人表演，學(xué)生通過(guò)啟發(fā)、提醒弄明白了游戲規(guī)則。接下來(lái)教師選擇16人上臺(tái)表演，指定1人為隊(duì)長(zhǎng)，其他學(xué)生為待通知的隊(duì)員。有了前面的演練，學(xué)生很快完成角色的轉(zhuǎn)換。

師：通過(guò)剛剛的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)大家思考一下，2分鐘可以通知幾人？3分鐘可以通知幾人？4分鐘呢？

生11：2分鐘可以通知4人；3分鐘可以通知8人；4分鐘可以通知16人。

師：很好，通過(guò)上面的實(shí)驗(yàn)?zāi)阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)呢？

生12：后一次通知的人數(shù)與知情人的人數(shù)相同。

生13：后一次知情人剛好是前一次知情人的2倍。

師：很好！通過(guò)剛剛的表演和推算，通知15人需要幾分鐘呢？

生齊聲答：4分鐘。

師：很好，這樣我們的方法進(jìn)一步得到了優(yōu)化，由原來(lái)的7分鐘縮短到了4分鐘。

（2）畫圖演示，抽象模型

師：剛剛我們是通過(guò)“游戲法”完成了方案的優(yōu)化。游戲法雖然很直觀、很生動(dòng)，不過(guò)它有很大的局限性，我們能否將剛剛的游戲過(guò)程換個(gè)形式來(lái)表達(dá)呢？

生14：可以用畫圖法。

師：很好，不過(guò)應(yīng)該怎么“畫”呢？請(qǐng)以小組為單位，探究一下，如何畫最合理、最清晰。

學(xué)生以小組為單位積極交流，共同探究“最優(yōu)”方案，幾分鐘后，有的小組已經(jīng)完成了畫圖，教師選擇兩個(gè)有代表性的圖示讓學(xué)生上臺(tái)展示并講解。

師：結(jié)合圖形和講解，你是否理解了這兩種畫法具體表達(dá)的含義了？

學(xué)生齊聲答：理解了。

師：很好，兩種畫法你更喜歡哪個(gè)呢？

生15：我比較喜歡圖1的畫法，它與我們剛剛游戲的過(guò)程正好一致。

生16：我也喜歡圖1，清晰、直觀，更容易發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的規(guī)律。

生17：是的，圖2看得有些眼花繚亂。（生17補(bǔ)充）

師：看來(lái)大家意見很統(tǒng)一。確實(shí)，圖1表達(dá)得更加清晰，完美地呈現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，更易于理解和發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（3）探究規(guī)律，逐漸深化

師：利用畫圖法表達(dá)雖然直觀、簡(jiǎn)潔，但是需要花費(fèi)較多的時(shí)間，我們必須要找到一種更簡(jiǎn)潔的方法來(lái)表達(dá)，想一想有沒有更好的方法呢？

生18：可以用算式來(lái)表達(dá)。

師：很好，現(xiàn)在我們結(jié)合圖1分析一下，看看我們能找到怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

師：第1分鐘開始的時(shí)候共有幾個(gè)人接到通知了呢？

生齊聲答：1人。

師：1分鐘結(jié)束后，變成了幾人呢？

生齊聲答：2人。

師：現(xiàn)在是原來(lái)的幾倍呢？（用算式表達(dá)）

生齊聲答：1×2倍。

師：第2分鐘結(jié)束后，接到通知的有幾人？

生齊聲答：4人。

師：現(xiàn)在是原來(lái)的幾倍呢？（用算式表達(dá)）

生19：1×2×2倍。

師：按照這樣的規(guī)律，4分鐘后，接到通知的共有多少人？又如何用算式表達(dá)呢？

生20：16人，算式為1×2×2×2×2。

師：想一想，這里面的“1”代表的是什么呢？（生沉思）

生21：代表第1個(gè)得到通知的人。

師：假如有4個(gè)人同時(shí)得到消息，你知道4分鐘后共有多少人收到通知嗎？

生22：就將算式中的“1”變成“4”，即4×2×2×2×2=64（人）。

師：真棒，看來(lái)大家已經(jīng)弄清了問(wèn)題的來(lái)龍去脈。

師：在實(shí)際打電話的過(guò)程中，為了確保“最優(yōu)”方案的順利實(shí)施，我們需要注意什么呢？

生23：要提前設(shè)計(jì)好流程圖，確定好誰(shuí)通知誰(shuí)，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。

師：說(shuō)得非常好，大家想問(wèn)題想得真周到。

在建構(gòu)模型、探究規(guī)律的過(guò)程中，教師不惜花費(fèi)大量的時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生親身體驗(yàn)，并在親身體驗(yàn)的過(guò)程中去抽象、去提煉、去優(yōu)化，從而幫助學(xué)生認(rèn)清了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，逐漸建構(gòu)起“最優(yōu)”模型。

4. 應(yīng)用模型，穩(wěn)固提升

練習(xí)是檢測(cè)學(xué)生實(shí)際掌握情況的必經(jīng)之路，是引導(dǎo)學(xué)生感悟“學(xué)以致用”教學(xué)價(jià)值的有效手段，為此，教師有必要精心設(shè)計(jì)一些練習(xí)幫助學(xué)生來(lái)檢測(cè)知識(shí)、鞏固知識(shí)，從而深化理解，便于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)，提升解題技能。

師：既然大家掌握了“最優(yōu)”方案，并建立了數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)在大家想不想嘗試用它來(lái)解決其他的實(shí)際問(wèn)題呢？（經(jīng)歷了剛剛的探究，學(xué)生信心滿滿，迫不及待地想去體驗(yàn)一番）

問(wèn)題1：某合唱團(tuán)共有50人，在春節(jié)期間接到了一個(gè)緊急演出任務(wù)，團(tuán)長(zhǎng)若通過(guò)打電話的方式通知大家，每通知1人用時(shí)1分鐘，請(qǐng)問(wèn)最少多長(zhǎng)時(shí)間能夠通知完成？

有了前面的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快得到了答案。從學(xué)生的反饋來(lái)看，學(xué)生對(duì)列算式求解已經(jīng)了如指掌了。為了進(jìn)行有效的拓展和延伸，教師又鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用其他形式來(lái)表示，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生又想到了應(yīng)用表格法來(lái)表示，如表1。

通過(guò)表1，學(xué)生可以清晰地知道，若要通知16人到31人，需要5分鐘，若通知的人數(shù)是32人到63人，則需要6分鐘。

師：生活中類似的案例有很多，只要多觀察、多探究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的無(wú)限魅力。

在練習(xí)階段，學(xué)生熟練地應(yīng)用模型解決了問(wèn)題，為了有效拓展和延伸，在圖形法、算式法的基礎(chǔ)上，教師又指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用表格法進(jìn)一步體驗(yàn)?zāi)Ｐ?，感悟一一?duì)應(yīng)關(guān)系。

5. 總結(jié)歸納，認(rèn)識(shí)升華

在完成相應(yīng)的練習(xí)后，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納。教師耐心聽取學(xué)生的反饋，并進(jìn)行總結(jié)、歸納和補(bǔ)充，內(nèi)容如下。

（1）為了節(jié)省時(shí)間，提高通知效率，可以讓盡量多的人參與進(jìn)來(lái)，例如在打電話通知時(shí)，讓每個(gè)知情人都參與打電話可以有效縮短通知時(shí)間。

（2）打電話所反映的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（3）有時(shí)候“最優(yōu)”方案在生活中并不具備可操作性，因?yàn)樵趯?shí)際生活中，很難提前預(yù)設(shè)好這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即使提前制定好流程圖，但是在實(shí)施過(guò)程中難免會(huì)遇到一些突發(fā)情況，這樣就會(huì)使這種對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生中斷。不過(guò)，在現(xiàn)實(shí)生活中，研究打電話“最優(yōu)”方案所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型卻有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，例如在認(rèn)識(shí)和理解細(xì)胞分裂、傳染病擴(kuò)散等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，往往需要這類模型。

通過(guò)總結(jié)、歸納、反思，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧模型，不僅使打電話的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)變得更加清晰，而且也讓學(xué)生對(duì)模型有了更清晰的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，教師通過(guò)有效的補(bǔ)充，讓學(xué)生體會(huì)到“最優(yōu)”不一定是“最實(shí)用”的，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況靈活應(yīng)用“最優(yōu)”方案。

二、教學(xué)反思

在教學(xué)中，教師以學(xué)生的認(rèn)知為起點(diǎn)，借助生活情境引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂既有濃厚的生活味，又不缺失厚重的數(shù)學(xué)味，整個(gè)教學(xué)過(guò)程自然、和諧。以上教學(xué)過(guò)程有以下兩個(gè)亮點(diǎn)。

第一，重難點(diǎn)突出。整個(gè)過(guò)程緊緊圍繞“最優(yōu)”方案展開，學(xué)生憑借已有經(jīng)驗(yàn)給出了“逐一打”和“分組打”兩個(gè)方案后，教師又啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方案進(jìn)行比較分析，從而聯(lián)想到讓更多的人參與進(jìn)來(lái)。這樣看似平淡無(wú)奇的過(guò)程，卻激發(fā)了學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生在探究“最優(yōu)”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了最本質(zhì)的東西，最終建構(gòu)起了數(shù)學(xué)模型，順利突破了教學(xué)難點(diǎn)。

第二，關(guān)注學(xué)生發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中，教師借助生活情境，激發(fā)了學(xué)生探究“最優(yōu)”的迫切感、責(zé)任感和積極性。整個(gè)過(guò)程教師“以生為主”，通過(guò)“表演—畫圖—列式—建表”的過(guò)程，逐漸引導(dǎo)學(xué)生完成了模型的提煉。在此過(guò)程中，學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提升了數(shù)學(xué)思維能力。

總之，教師在備課時(shí)應(yīng)該深思熟慮，既要尊重課堂生成，又要做好引導(dǎo)，促使學(xué)生有效提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，建立情感價(jià)值觀念。