參數(shù)不確定倒立擺系統(tǒng)的EPCH控制與擾動抑制

岳聰聰，于海生，吳賀榮

（青島大學(xué)自動化學(xué)院，山東 青島 266071）

1 引言

倒立擺（IP）系統(tǒng)是典型的多變量、高階次、非線性、強耦合、自然不穩(wěn)定的一類欠驅(qū)動機械系統(tǒng)，并廣泛應(yīng)用于機器人工業(yè)、航空航天、軍工等領(lǐng)域。因而對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的工程實踐意義［1-2］。

自十九世紀九十年代以來，研究者們一直將它視為典型的研究對象，并提出了很多控制方法，比如，經(jīng)典的PID控制［3］、線性二次最優(yōu)控制［4］以及狀態(tài)反饋控制［5］，這些控制方法都對系統(tǒng)的模型進行線性化處理，從而忽略了模型中的非線性因素，且控制方法的魯棒性不強，抗擾動能力差。現(xiàn)代控制理論中，文獻［6］針對系統(tǒng)中出現(xiàn)的噪聲和不確定因素提出的快速終端滑?？刂?，雖然在一定程度上減小了這些因素對系統(tǒng)的影響，增強了系統(tǒng)的魯棒性，但是抖振現(xiàn)象依然存在。文獻［7］是將IP系統(tǒng)出現(xiàn)的隨機測量噪聲作為系統(tǒng)的擾動，提出了一種反演控制方法，在一定程度上抑制了測量噪聲。文獻［8］提出的模糊控制，考慮了系統(tǒng)模型的非線性因素，有一定的魯棒性，但是控制方法基于離散化模型，增加了很多限制條件，有失一般性，且算法復(fù)雜度高。文獻［9］提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，雖然降低了系統(tǒng)參數(shù)不確定導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定性，改善了系統(tǒng)的性能，但是對研究人員的經(jīng)驗依賴性強。對于系統(tǒng)存在的參數(shù)不確定和擾動問題，文獻［10］提出了一種自適應(yīng)滑模觀測器，以估計系統(tǒng)的未知攝動和擾動，在一定程度上實現(xiàn)了擾動估計，但是在參數(shù)攝動時估計誤差較大。文獻［11］通過研究參數(shù)確定的Hamiltonian 系統(tǒng)的控制問題，推導(dǎo)出參數(shù)不確定系統(tǒng)的控制方法，進而提出了基于狀態(tài)觀測器的H∞自適應(yīng)控制方法；文獻［12］在采用反步法設(shè)計的控制器的基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)律，提出了一種自適應(yīng)積分反步控制器的設(shè)計方法；文獻［13］將系統(tǒng)中存在的擾動作為不確定因素，提出一種魯棒無源控制方法；文獻［14］基于Hamiltonian原理，設(shè)計了自適應(yīng)和L2增益抑制控制器。

近些年，基于系統(tǒng)能量的端口受控哈密頓（PCH）方法在穩(wěn)定性和魯棒性方面有明顯的優(yōu)越性，又因其結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快等優(yōu)點得到了發(fā)展［15-17］。能量成形（ES）方法保留了原有的互聯(lián)結(jié)構(gòu)和耗散函數(shù)，對系統(tǒng)的能量函數(shù)進行成形，從而得到一個新的在期望的平衡點處有最小值的閉環(huán)能量函數(shù)。因此，閉環(huán)系統(tǒng)也就保持了在最小能量狀態(tài)下有一個穩(wěn)定平衡點的PCH結(jié)構(gòu)。綜上所述，針對IP系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定和外部擾動問題，基于閉環(huán)EPCH模型，采用自適應(yīng)和狀態(tài)擴展的坐標變換方法，提出了一種新的自適應(yīng)PI控制方法。

2 參數(shù)確定IP系統(tǒng)的PCH模型

2.1 PCH系統(tǒng)

耗散的PCH系統(tǒng)為［18］：

式中：x=[q p]T∈?n—狀態(tài)向量；q—廣義位置向量；p—廣義動量向量，u，y∈?m，分別是系統(tǒng)的輸入和輸出；R(x)—半正定對稱矩陣，R(x)=RT(x) ≥0，它反映了端口上的阻性結(jié)構(gòu)；J(x)—反對稱矩陣，J(x)=-JT(x)，它反映了系統(tǒng)內(nèi)部的互聯(lián)結(jié)構(gòu)；g(x)—輸入矩陣，它反映了系統(tǒng)的端口特性；H(x)—哈密頓函數(shù)，它定義了系統(tǒng)存儲的總能量。

對于動態(tài)系統(tǒng)（1），系統(tǒng)內(nèi)能的變化量等于耗散功率加上環(huán)境提供給系統(tǒng)的功率。那么（1）的能量平衡方程就有下式給出：

對（2）在整個時間區(qū)間[0，t]進行積分，就得到了下面的耗散不等式，它保證了PCH系統(tǒng)的無源性。

2.2 IP系統(tǒng)的PCH模型

在參數(shù)確定的情況下，IP系統(tǒng)的模型，如圖1所示。在此假設(shè)小車和導(dǎo)軌之間有摩擦，摩擦系數(shù)為rf。m2為小車的質(zhì)量，m1為擺桿的質(zhì)量，xc為小車移動的距離，φ為擺桿與垂直方向上的夾角，l是擺桿中心點到小車的距離。應(yīng)用歐拉-拉格朗日公式就得到IP的運動方程。

圖1 IP系統(tǒng)物理模型Fig.1 Physical Model of IP System

其中，廣義動量為：

式中：x11—小車的位移xc；x12—擺桿角度φ；x21—動量p1；x22—動量p2。

IP系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)表示為：

其中，V(x12)=m1glcosx12是IP系統(tǒng)的勢能。

根據(jù)式（3）和式（4），IP系統(tǒng)模型可以寫成（1）的形式：

3 參數(shù)確定IP系統(tǒng)的EPCH控制

3.1 EPCH系統(tǒng)控制原理

PCH 系統(tǒng)（1）的設(shè)計目的是找到一個反饋u=β(x)，使得閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)是一個帶有耗散的狀態(tài)誤差PCH（EPCH）系統(tǒng)。

對于PCH 系統(tǒng)（1）給定H(x)，J(x)，R(x)，g(x)，取x0為系統(tǒng)期望的平衡點為狀態(tài)誤差。取閉環(huán)系統(tǒng)的期望哈密頓函數(shù)為Hd() ＞0，且Hd(0)=0。如果能找到Ja和Ra滿足：

并存在反饋控制u=α()滿足［19］：

那么，閉環(huán)系統(tǒng)在反饋控制u=α()條件下可以寫成：

3.2 設(shè)計IP系統(tǒng)的控制器

3.2.1 確定平衡點

當(dāng)IP在豎直向上的位置穩(wěn)定時，系統(tǒng)的期望平衡點為：

在系統(tǒng)到達平衡點時，根據(jù)式（3）可得系統(tǒng)的輸入u0=0。

3.2.2 設(shè)計控制器

取期望的哈密頓函數(shù)為：

式中：kp，k0，k1，r—任意實數(shù)。

4 參數(shù)不確定IP系統(tǒng)的EPCH自適應(yīng)控制

在實際應(yīng)用中，擺桿參數(shù)的改變會使得控制器對IP系統(tǒng)的控制作用發(fā)生改變，從而導(dǎo)致IP系統(tǒng)不能穩(wěn)定在平衡點。因此為了避免擺桿參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，采用自適應(yīng)的方法。自適應(yīng)方法可以估計并補償系統(tǒng)中的不確定參數(shù)，將該方法應(yīng)用到反饋控制器中，可以估計與參數(shù)不確定相對應(yīng)的控制器參數(shù)，從而消除參數(shù)不確定對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

4.1 自適應(yīng)控制原理

對所有的x都成立，則自適應(yīng)參數(shù)問題可以由以下控制律［14］解決：

4.2 自適應(yīng)控制律的求取

根據(jù)式（15）、式（16）可得IP系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律為：

5 IP系統(tǒng)的擾動控制

5.1 保持PCH結(jié)構(gòu)的PI控制原理

為了解決系統(tǒng)中出現(xiàn)的外部擾動造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況，采用狀態(tài)擴展的坐標變換方法，在保持PCH結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計PI控制律抑制系統(tǒng)中出現(xiàn)擾動。

系統(tǒng)存在擾動的情況下可以表示為：

則求出的PI控制律為［20］：

式中：K2=(BTD-1B)-1；K3＞0，K4＞0—常值矩陣。

閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)可以寫成PCH結(jié)構(gòu)的形式：

且期望的哈密頓函數(shù)為：

其中，a=(K2K3)-1w。

5.2 IP系統(tǒng)PI控制律的求取

IP系統(tǒng)的外部擾動w為外部環(huán)境（比如風(fēng)吹或誤觸穩(wěn)定的擺桿）引起擺桿端晃動的因素。

根據(jù)式（19）可得，IP系統(tǒng)的PI控制律為：

期望的哈密頓函數(shù)為：

6 仿真與實驗結(jié)果

為了驗證所設(shè)計控制策略的有效性，在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下進行仿真和實驗，并與PID控制方法［3］進行對比。IP系統(tǒng)的參數(shù)為：m1=0.109kg，m2=1.096kg，l=0.25m。

6.1 仿真結(jié)果分析

參數(shù)確定的情況下，對IP系統(tǒng)使用EPCH控制方法，仿真結(jié)果，如圖2所示。表明了IP系統(tǒng)在EPCH 控制的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差更小，誤差為essEPCH=0.01rad，PID控制作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為essPID=0.05rad。

圖2 參數(shù)確定EPCH控制和PID控制角度曲線Fig.2 Parameters Determine EPCH Control and PID Control Angle Curve

改變系統(tǒng)參數(shù)，即L1=0.3，L2=0.4，并在第5s的時候加入擾動w，即幅值為0.5rad，時長為0.2s的脈沖擾動，仿真結(jié)果，如圖3所示。表明了IP系統(tǒng)在加入自適應(yīng)和PI控制律的EPCH控制的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差更小，誤差為ess=0.006rad；恢復(fù)到平衡位置的時間更快，在0.1s內(nèi)恢復(fù)到平衡位置，EPCH控制下恢復(fù)到平衡位置的時間為0.15s，PID控制下恢復(fù)到平衡位置的時間為1.5s。

圖3 參數(shù)不確定和擾動時，加入自適應(yīng)PI的EPCH控制、EPCH控制和PID控制角度曲線Fig.3 The Adaptive and PI EPCH Control，EPCH Control and PID Control Angle Curve with Parameter Uncertainties and Disturbance

6.2 實驗結(jié)果分析

采用固高科技GLIP 的倒立擺模型進行實驗驗證。實驗平臺，如圖4所示。實驗系統(tǒng)配置，如圖5所示。控制力f驅(qū)動交流伺服電機轉(zhuǎn)動，通過傳送帶帶動小車在導(dǎo)軌上左右移動維持擺桿在豎直向上位置的穩(wěn)定；擺桿轉(zhuǎn)動角度的檢測是通過線數(shù)600的光電式旋轉(zhuǎn)編碼器，通過牽引鏈將編碼器信號傳輸?shù)娇刂乒瘢魯[桿位置不在期望位置，計算機會根據(jù)擺桿當(dāng)前角度計算出新的控制力，進而驅(qū)動交流伺服電機轉(zhuǎn)動，以此實現(xiàn)對IP系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

圖4 IP系統(tǒng)實驗平臺Fig.4 IP System Experiment Platform

圖5 實驗系統(tǒng)配置Fig.5 Experiment System Configuration

系統(tǒng)參數(shù)確定時，確定EPCH控制器參數(shù)，之后改變擺桿的質(zhì)量和長度，即Δm1=0.08kg，Δl=0.1m，并在第5s 加入擾動w（人為施加擺桿擾動）。PID控制的結(jié)果，如圖6所示。EPCH控制的結(jié)果，如圖7所示。加入自適應(yīng)和PI的EPCH 控制方法結(jié)果，如圖8所示。表明了所提出的加入自適應(yīng)和PI控制律的EPCH控制策略使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差更小，誤差為ess=0.005rad，EPCH控制下的誤差為essEPCH=0.008rad，PID控制下的誤差為essPID=0.01rad；抗擾動能力更強，恢復(fù)到平衡位置的時間更快，能在0.5s內(nèi)恢復(fù)到平衡位置，EPCH控制下的需要1.1s，PID控制下的需要1.3s。

圖6 參數(shù)不確定和擾動PID控制角度曲線Fig.6 PID Control Angle Curve with Parameter Uncertainties and Disturbance

圖7 參數(shù)不確定和擾動時，EPCH控制角度曲線Fig.7 EPCH Control Angle Curve with Parameter Uncertainties and Disturbance

圖8 參數(shù)不確定和擾動時，加入自適應(yīng)PI的EPCH控制角度曲線圖Fig.8 The Adaptive and PI EPCH Control Angle Curve with Parameter Uncertainties and Disturbance

以上分析表明，所提出的控制策略在實際應(yīng)用中有較好的控制效果，有效減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、增強系統(tǒng)的抗擾性和魯棒性。

7 結(jié)論

基于開環(huán)PCH模型設(shè)計了閉環(huán)EPCH模型，采用EPCH控制方法研究了一種新的IP系統(tǒng)控制策略。該控制策略是在EPCH模型的基礎(chǔ)上，針對系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定提出了自適應(yīng)律，且系統(tǒng)中存在的外部擾動設(shè)計了PI控制律的一種EPCH控制策略。整個設(shè)計過程是在保持PCH結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，保證了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。通過仿真和實驗對比，證實了所提控制策略的有效性，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差更小、抗擾動能力更強、魯棒性更好。