特鋼棒材砂帶自動磨削系統(tǒng)軌跡規(guī)劃

馬 政，翟 華，2，梁學(xué)楷，王德彩

（1.航空結(jié)構(gòu)件成形制造與裝備安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230009；2.安徽省冶金精整裝備工程技術(shù)研究中心，安徽 蚌埠 230021；3.浩中機(jī)械蚌埠有限公司，安徽 蚌埠 230021）

1 引言

特鋼棒材通過軋機(jī)裝備軋制精整后，表面一般會產(chǎn)生輥印、劃痕、銹痕、羽紋、粘結(jié)、折印等缺陷，隨著冶金工藝水平的提高，用戶對各類型材表面的要求越來越苛刻，表面質(zhì)量已成為直接決定型材產(chǎn)品價格乃至各企業(yè)競爭的重要指標(biāo)。通過視覺引導(dǎo)，由機(jī)械臂帶動砂帶磨削機(jī)，構(gòu)建自動磨削系統(tǒng)，特鋼棒材表面缺陷磨削可提高效率，改善工人工作環(huán)境。

但是軌跡規(guī)劃在自動磨削系統(tǒng)控制中，直接影響磨削工具運(yùn)動的平穩(wěn)性和準(zhǔn)確性［1］。根據(jù)磨削要求規(guī)劃磨削機(jī)的運(yùn)動路徑，并根據(jù)此路徑合理規(guī)劃機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的速度、加速度，從而生成運(yùn)動軌跡。

關(guān)于軌跡規(guī)劃問題，文獻(xiàn)［2］提出基于B樣條曲線的軌跡規(guī)劃方法，在多種機(jī)器人和應(yīng)用場景下驗(yàn)證了該方法可行性。文獻(xiàn)［3］為提高工業(yè)機(jī)械臂執(zhí)行效率同時避免運(yùn)動沖擊、機(jī)械磨損等問題，提出了一種機(jī)械臂最優(yōu)時間-沖擊軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)［4］探究了五次多項(xiàng)式在SCARA機(jī)械臂軌跡規(guī)劃中應(yīng)用，并通過ADAMS仿真驗(yàn)證關(guān)節(jié)在X、Y、Z三個方向的光滑連續(xù)受力曲線。文獻(xiàn)［5］提出了一種三次樣條曲線，可保證速度和加速度的始末值可控，在EAST Tokamak檢查機(jī)器人上驗(yàn)證該方的可行性。這里根據(jù)磨削要求選擇自由式砂帶磨削工藝，分析磨削過程中磨削力變化。在機(jī)械臂操作空間中規(guī)劃連續(xù)N 型磨削路徑，為軌跡規(guī)劃提供數(shù)據(jù)。在關(guān)節(jié)空間通過B樣條曲線與遺傳算法近似解得時間最優(yōu)軌跡，通過仿真分析了軌跡的動態(tài)特性，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證磨削路徑的有效性。

2 特鋼棒材自動磨削系統(tǒng)磨削力

自動磨削系統(tǒng)運(yùn)行中，末端磨削力會對各關(guān)節(jié)產(chǎn)生影響，需在軌跡規(guī)劃時加以考慮。由于特鋼棒材截面一般為凸表面，易與磨削砂帶貼合，可以采用自由式砂帶磨削工藝［6］。特鋼棒材表面磨削示意圖，如圖1所示。

圖1 特鋼棒材力模型圖Fig.1 Special Steel Bar Force Model Diagram

未磨削時砂帶在張緊力的作用下處于虛線狀態(tài)，當(dāng)砂帶磨削工件，特鋼棒材與砂帶之間的磨削力，來源于砂帶變形引起的法向力Fn與磨粒切割工件產(chǎn)生的切向力磨削時主從動輪不發(fā)生滑動摩擦，砂帶變形主要在PQ段產(chǎn)生，當(dāng)特鋼棒材處于砂帶磨削機(jī)中點(diǎn)時，由幾何關(guān)系可求得砂帶變形量：

式中：Δx—砂帶伸長量；lPA、lAB、lBC、lCD、lDQ—對應(yīng)砂帶的弧PA段、AB段、弧BC段、CD段、弧DQ段；l—主從動輪中心距。砂帶經(jīng)向應(yīng)力應(yīng)變曲線為［7］：

式中：σ、ε—砂帶經(jīng)向拉伸應(yīng)力及應(yīng)變。

選擇（30×330）環(huán)形陶瓷氧化鋁砂帶，厚度為0.6mm，主從動輪中心距PQ為130mm，則：

式中：F—砂帶經(jīng)向受力?？傻媚ハ鞣ㄏ蛄n近似為：

式中：θ—AB段、CD段與垂直方向的夾角。

摩擦系數(shù)μc為0.453［8］，則切向力Ft可表示為：

3 基于B樣條曲線的連續(xù)軌跡

3.1 末端工具坐標(biāo)系磨削路徑的規(guī)劃

由于自由式砂帶磨削深度較小，單次進(jìn)給無法將缺陷完全去除，因此在每個砂帶寬度區(qū)域內(nèi)需停留一定時間。此時特鋼棒材已被磨削一定深度，如直接控制機(jī)器人在缺陷深度位置左右移動，會造成砂帶的損壞，因此需將機(jī)器人抬起，移動一個帶寬后，進(jìn)入下一個磨削工位，形成連續(xù)N型缺陷磨削路徑，如圖2所示。對單N型路徑進(jìn)行規(guī)劃疊加后則可完成整個磨削工作。

圖2 特鋼棒材缺陷磨削路徑Fig.2 Special Steel Bar Defect Grinding Path

3.2 基于B樣條曲線的單N型路徑擬合

單N型路徑受力區(qū)域已標(biāo)出，如圖3所示。將路徑離散化獲得q+1個位置型值點(diǎn)。其中，T0Ta段和TdTq段分別為磨削機(jī)離開和進(jìn)入磨削位置砂帶最大變形高度，Tb與Tc為磨削路徑拐點(diǎn)。若每個位置型值點(diǎn)對應(yīng)的時間型值點(diǎn)已知，通過運(yùn)動學(xué)逆解可獲得Ti對應(yīng)的關(guān)節(jié)位置矢量pi，進(jìn)而獲得關(guān)節(jié)位置－時間序列：

圖3 單N型磨削路徑Fig.3 Single N Type Grinding Path

式中：pi=（p1i p2i…pNi）T，N—關(guān)節(jié)數(shù)量。

選擇k次非均勻B 樣條開曲線擬合單N 型路徑的各關(guān)節(jié)軌跡。構(gòu)建節(jié)點(diǎn)矢量u=（u0u1···uq+2k），其中，

則單N型磨削路徑可表示為：

式中：dj∈RN×1—控制點(diǎn)矢量；t∈［um，um+1］∈［uk，un+1］∈［u0，un+k+1］，n=q+k-1；Nj，k（t）—B樣條基函數(shù)，對p（t）多次求導(dǎo)可得軌跡速度、加速度與脈動曲線。

由于單N型軌跡在對應(yīng)的時間點(diǎn)ti要嚴(yán)格等于關(guān)節(jié)位置矢量pi，因此需根據(jù)此約束條件求解B樣條控制軌跡的（q+k）個控制頂點(diǎn)。為保證軌跡的始末位置具有設(shè)定的速度、加速度與脈動，可得約束方程為：

式中：vs、as、js—關(guān)節(jié)在起始點(diǎn)速度、加速度和脈動矢量；

vc、ac、jc—終止點(diǎn)速度、加速度和脈動矢量。

通過上述方程可確定（q+7）個控制頂點(diǎn)，因此選擇7次B樣條曲線。通過式（9）可擬合出關(guān)節(jié)同步滿足位置時間序列S的7次B樣條曲線。

4 機(jī)械臂時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

4.1 軌跡規(guī)劃約束條件

磨削運(yùn)動過程中，實(shí)際末端路徑應(yīng)盡量接近理論空間路徑，因此增加空間路徑誤差約束條件提高機(jī)器人的運(yùn)動精度。xmax表示理論路徑與實(shí)際路徑的最大誤差，如圖4所示。

圖4 空間路徑約束誤差Fig.4 Spatial Path Constraint Error

當(dāng)運(yùn)動過程中機(jī)械臂各關(guān)節(jié)需要的力矩超過電機(jī)所能提供的最大力矩時，則運(yùn)動無法完成。通過采用牛頓歐拉動力學(xué)遞推公式，可計(jì)算運(yùn)動過程中各關(guān)節(jié)所受力矩。動力學(xué)方程可表示為：

式中：τ—各關(guān)節(jié)力矩；

D（p）—質(zhì)量矩陣；

h（p，p'）—離心力和科氏力矢量；

G（p）—重力矢量；

J（p）—雅可比矩陣；

F（p）—末端負(fù)載矢量。

4.2 時間最優(yōu)軌跡模型

選擇機(jī)械臂時間最優(yōu)作為優(yōu)化目標(biāo)，則優(yōu)化模型可表示為：

式中：Δta—N 型路徑中每段運(yùn)行時間；xlimit—路徑極限誤差值；vlimit—關(guān)節(jié)速度極限值；τlimit—關(guān)節(jié)力矩極限值。

4.3 基于遺傳算法的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

遺傳算法是采用適者生存的原則，模擬自然界物種進(jìn)化的過程，在潛在的解決方案中迭代產(chǎn)生近似最優(yōu)解的過程，在求解高維非線性問題時有很好的穩(wěn)定性和魯棒性［9］。將式（11）中Δta（a=1，2，…，q）作為變量進(jìn)行優(yōu)化。采用浮點(diǎn)數(shù)編碼，使用隨機(jī)數(shù)法生成初代種群。通過懲罰函數(shù)法淘汰不滿足約束條件的個體，懲罰函數(shù)表示為：

可看出當(dāng)關(guān)節(jié)條件小于限定值時，懲罰函數(shù)恒為定值，當(dāng)關(guān)節(jié)條件大于限定值時，懲罰項(xiàng)隨之增大。

適應(yīng)度函數(shù)表示為：

式中：σ—懲罰因子，取值為0.1［10］。

為保證算法收斂具有一定的方向性，同時提高算法的收斂速度，采用三角函數(shù)式自適應(yīng)交叉和變異概率［11］。

概率公式為：

式中：Pc、Pm—交叉概率與變異概率；

Pcmax、Pcmin—交叉概率的最大值和最小值；

Pmmax、Pmmin—變異概率最大值和最小值；

Fmax、Favg—適應(yīng)度最大值與平均值；

F'—兩交叉?zhèn)€體中較小適應(yīng)度值；

F—個體適應(yīng)度。

通過相應(yīng)概率對浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行變異與交叉，可近似解得式（11）中模型的最優(yōu)解。

5 磨削軌跡仿真與分析

5.1 六關(guān)節(jié)軌跡分析

機(jī)器人采用山龍GBOT-60型工業(yè)機(jī)器人，選擇磨削時一段N型路徑。設(shè)置關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)約束條件，如表1所示。路徑極限誤差值xlimit=3mm。仿真得到每個關(guān)節(jié)的速度、角速度、角加速度、關(guān)節(jié)力矩、脈動和空間路徑誤差變化曲線，如圖5所示。

表1 關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)約束條件Tab.1 Joint Kinematics Constraints

圖5 特鋼棒材單N型磨削軌跡下的各關(guān)節(jié)的位置、加速度、力矩、速度、脈動和空間路徑誤差Fig.5 The Position，Acceleration，Torque，Velocity，Pulsation and Spatial Path Error of Each Joint Under the Single N-Type Grinding Track of Special Steel Bar

軌跡總規(guī)劃用時1.623s，各關(guān)節(jié)速度與力矩滿足約束條件，僅在空間路徑誤差最大值處接近約束條件。其中位置曲線中各關(guān)節(jié)經(jīng)過用叉號標(biāo)出的位置序列，各關(guān)節(jié)的啟停速度、加速度、脈動等于零，滿足設(shè)定要求。7次B樣條曲線有C6連續(xù)性［12］，因此軌跡具有連續(xù)的速度、加速度和脈動性能，可保證機(jī)械臂運(yùn)動過程的平穩(wěn)性。關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3是主要受力關(guān)節(jié)，在軌跡啟動時具有較高的力矩，隨后下降穩(wěn)定在小范圍波動。各關(guān)節(jié)力矩曲線連續(xù)，提高了軌跡運(yùn)行過程的穩(wěn)定性。

5.2 磨削機(jī)路徑對比分析

在懲罰函數(shù)中加入了空間路徑誤差約束，為驗(yàn)證其有效性，將式（12）中路徑誤差約束項(xiàng)去除，在相同條件下進(jìn)行遺傳算法求解。將磨削機(jī)工具坐標(biāo)系路徑進(jìn)行對比，如圖6 所示。帶有約束時最大誤差為2.8mm，最大誤差出現(xiàn)在磨削機(jī)未接觸特鋼棒材時的垂直軌跡上，磨削機(jī)與特鋼棒材接觸的垂直區(qū)域段誤差較小，可保證接觸時機(jī)械臂運(yùn)行穩(wěn)定。未帶有約束時的最大誤差為20.4mm，遠(yuǎn)大于2.8mm，磨削機(jī)會出現(xiàn)抖動現(xiàn)象，運(yùn)動平穩(wěn)性較差。

圖6 磨削機(jī)路徑對比圖Fig.6 Grinding Machine Path Comparison Chart

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與磨削效果分析

6.1 缺陷視覺引導(dǎo)系統(tǒng)

搭建的缺陷視覺引導(dǎo)磨削機(jī)器人系統(tǒng)包括六自由度磨削機(jī)器人、控制器、上位機(jī)、光源和工業(yè)相機(jī)，如圖7所示。在工業(yè)機(jī)器人末端安裝磨削機(jī)完成磨削工作。

圖7 缺陷視覺引導(dǎo)磨削機(jī)器人系統(tǒng)Fig.7 Defect Vision Guided Grinding Robot System

6.2 特鋼棒材磨削實(shí)驗(yàn)

為使軌跡規(guī)劃可實(shí)時應(yīng)用在磨削作業(yè)中，將相機(jī)拍攝區(qū)域每隔1個帶寬規(guī)劃一段N 型磨削軌跡，通過檢測缺陷所處位置調(diào)用對應(yīng)軌跡完成磨削作業(yè)。磨削前后效果對比結(jié)果，如圖8 所示。磨削后特鋼棒材表面光滑，缺陷去除完整，達(dá)到特鋼棒材表面質(zhì)量要求，進(jìn)一步驗(yàn)證本特鋼棒材砂帶磨削系統(tǒng)軌跡規(guī)劃方法有效性。

圖8 磨削效果圖Fig.8 Grinding Effect Diagram

7 結(jié)論

（1）建立自由式砂帶磨削力模型，根據(jù)特鋼棒材磨削過程的實(shí)際情況提出末端工具坐標(biāo)系磨削路徑。通過B樣條曲線可以在關(guān)節(jié)空間中擬合出多關(guān)節(jié)同步滿足要求的平滑連續(xù)的軌跡曲線。（2）構(gòu)造包含速度、力矩與空間路徑誤差的懲罰函數(shù)，仿真得到關(guān)節(jié)位置、速度、加速度、脈動、力矩與空間路徑誤差曲線，驗(yàn)證自適應(yīng)遺傳算法可解得滿足約束條件的近似時間最優(yōu)的軌跡曲線。（3）通過對添加空間路徑誤差約束的磨削機(jī)路徑進(jìn)行仿真分析，添加空間路徑誤差約束可使機(jī)械臂末端誤差減少，磨削機(jī)運(yùn)動平穩(wěn)性上升。（4）搭建缺陷視覺引導(dǎo)磨削機(jī)器人系統(tǒng)，通過對相機(jī)拍攝區(qū)域進(jìn)行軌跡規(guī)劃，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證連續(xù)N型磨削軌跡的有效性。