“線性代數(shù)”課程思政元素的挖掘
——以線性方程組與高斯消元法為例

林麗芳，曾月迪，陳梅香

(莆田學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點實驗室，福建莆田 351100)

“線性代數(shù)”作為一門公共基礎(chǔ)課，被廣泛應(yīng)用于各個學(xué)科和領(lǐng)域，以及理工類各專業(yè)的后繼課程中。通過對“線性代數(shù)”課程中行列式、矩陣、向量以及線性方程組等基本概念的學(xué)習(xí)，我們能訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)其用數(shù)學(xué)思維去分析問題和處理問題的能力，使其能利用“線性代數(shù)”的相關(guān)數(shù)學(xué)知識處理專業(yè)領(lǐng)域的問題。線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，授課對象多樣，“線性代數(shù)”課程知識體系中蘊含了豐富的思政元素[1-6]。這為思政元素的挖掘、尋找切入點以及轉(zhuǎn)變教學(xué)方式提供了平臺，在進(jìn)行專業(yè)知識講授的過程中學(xué)生參與互動思考，達(dá)到潤物細(xì)無聲的思政效果。以下是線性代數(shù)課程教學(xué)中結(jié)合學(xué)生實際、聯(lián)系國家目標(biāo)、尋找符合國情及時代要求的知識點，教師可對專業(yè)知識中的思政元素進(jìn)行挖掘，尋找其思政教育功能。

一、“線性代數(shù)”課程思政元素的挖掘

挖掘思政元素，專業(yè)教學(xué)融入思政。在“線性代數(shù)”課程思政教學(xué)中，教師可以服務(wù)國家戰(zhàn)略的教學(xué)目標(biāo)、以弘揚社會主義核心價值觀、培育文化自信的教學(xué)案例為內(nèi)容，挖掘?qū)W生專業(yè)知識、專業(yè)技能、專業(yè)精神中的文化背景、典型故事、典型人物、現(xiàn)實應(yīng)用等思政因子，將家國情懷、個人品格、科學(xué)觀等思政元素貫穿于專業(yè)教學(xué)全過程，引導(dǎo)學(xué)生成人成才。為了達(dá)成課程思政教學(xué)目標(biāo)，筆者主要從以下三方面挖掘“線性代數(shù)”課程教學(xué)內(nèi)容中的思政育人元素：

（一）“線性代數(shù)”課程中的馬克思主義哲學(xué)育人思想

教師可啟發(fā)學(xué)生自主挖掘“線性代數(shù)”知識體系中的馬克思主義哲學(xué)育人思想，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法中的辯證因素，使其樹立辯證唯物主義觀。引導(dǎo)學(xué)生觀察、挖掘數(shù)學(xué)特點、找到數(shù)學(xué)規(guī)律；感受數(shù)學(xué)的和諧之美、統(tǒng)一之美；用辯證發(fā)展的思維分析解決問題的能力，認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律，進(jìn)行創(chuàng)造性的探索。教師可用數(shù)學(xué)思想增強學(xué)生的辯證思想，用科學(xué)知識、科學(xué)原理和科學(xué)行為幫助學(xué)生去認(rèn)知世界，規(guī)范其行為，完善其人格。比如，開學(xué)第一課：線性代數(shù)發(fā)展歷程及應(yīng)用簡介激發(fā)學(xué)生的求知欲望，引發(fā)其學(xué)習(xí)熱情；線性代數(shù)的數(shù)學(xué)文化之美：行列式、矩陣及其運算、高斯消元法與初等矩陣、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等主要研究對象的歷史與文化內(nèi)涵；行列式、分塊矩陣、逆矩陣、初等變換與初等矩陣、n維向量空間等基本概念所體現(xiàn)的“現(xiàn)象與本質(zhì)”“整體與部分”“量變與質(zhì)變”“變與不變”“具體到抽象”“特殊到一般”的辯證思想；行列式拉普拉斯定理揭示八陣圖的“玄機”；構(gòu)造社會主義核心價值觀矩陣等思政元素。

（二）線性代數(shù)在各個科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

教師可挖掘“線性代數(shù)”課程中在不同學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)案例，讓學(xué)生學(xué)以致用，探討現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)奧秘，激發(fā)其學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”的熱情，培養(yǎng)其崇尚科學(xué)、探索未知、追求真理的精神。在利用線性代數(shù)知識解決實際問題的過程中，教師要調(diào)動學(xué)生的積極性，使其意識到線性代數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用、探究問題的能力。比如，矩陣及其運算：矩陣式二維碼、Google搜索引擎、Netflix視頻推薦、人臉識別、平面圖形的幾何變換、5G通信中的極化碼、機器人運動、交通運輸、彈簧振子、橋梁受力、計算機圖形學(xué)中的應(yīng)用；初等矩陣：手機圖片壓縮；方陣的逆矩陣、行列式：密碼通訊問題、投入產(chǎn)出模型、企業(yè)設(shè)備更新、文獻(xiàn)管理、顯示器色彩制度轉(zhuǎn)換問題；行列式的幾何應(yīng)用：游戲角色進(jìn)入特定區(qū)域；向量幾何：游戲編程；向量組的線性相關(guān)性和極大無關(guān)組：藥方配制問題；線性方程組：氣象預(yù)報、劍橋減肥食譜設(shè)計、導(dǎo)彈追蹤、電磁輻射計算（隱形飛機）、網(wǎng)絡(luò)流問題、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計等。

（三）線性代數(shù)在國家科技發(fā)展中的應(yīng)用

教師要崇尚科學(xué)精神，挖掘與國家科技發(fā)展相結(jié)合的思政素材。教師可借助專業(yè)歷史和人物教育作用，引導(dǎo)學(xué)生體會社會主義的優(yōu)越性、中國科技知識強國夢、感受“四個自信”的價值，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國家大事，感受大國制造的魅力，培養(yǎng)其樸素的愛國主義情感。比如，火星探測器“天問一號”中的軌道數(shù)據(jù)問題、中國的“神威太湖之光”超級計算機、中國量子計算原型機“九章”、中國探月工程嫦娥五號空間飛行器控制系統(tǒng)、中國古老智慧《九章算術(shù)》中的線性方程組理論、中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)等。

二、“線性代數(shù)”課程思政的教學(xué)實施

在思政內(nèi)容的傳遞過程中，教師可以學(xué)生為主體，通過參與式、體驗式、發(fā)現(xiàn)式、問題導(dǎo)入式、啟發(fā)式和問題探究式等各種教學(xué)方式，結(jié)合案例式教學(xué)、分組互動討論、項目匯報等方法，以學(xué)生為中心進(jìn)行教學(xué)，將愛國主義、工匠精神、敬業(yè)奉獻(xiàn)和社會主義核心價值觀等思政元素與“線性代數(shù)”的教學(xué)相融合，增強專業(yè)的感染力。教師要進(jìn)行全過程評價，從情感、態(tài)度、價值觀三個層面進(jìn)行教學(xué)效果評價，對學(xué)生進(jìn)行過程性引導(dǎo)，使其善于發(fā)現(xiàn)自身優(yōu)勢，揚長補短，完善自我，超越自己，合理規(guī)劃，做一個全面發(fā)展的大學(xué)生。具體措施如下：

第一，科學(xué)應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)教育資源，以“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—分析問題—解決問題”為主線，深入挖掘知識點中的人格品質(zhì)、世界觀、工匠精神、學(xué)以致用、求真務(wù)實、科學(xué)精神、和諧探索、家國情懷等思政元素，制定思政教學(xué)大綱，構(gòu)建思政教學(xué)案例。

第二，合理運用發(fā)現(xiàn)式、啟發(fā)式、問題導(dǎo)入式、問題探究式等教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，將思政融入貫穿教學(xué)全過程，課前拋出思政知識點、課中學(xué)生參與思政探討、課后線下思政交流心得，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，形成自己的思政正能量，促進(jìn)師生課堂及課下的良好互動。

第三，利用互聯(lián)網(wǎng)工具及資源，教師可在線上平臺上傳相關(guān)思政案例的互聯(lián)網(wǎng)資料（網(wǎng)頁、視頻、電子書鏈接）。在學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索后，教師再收集學(xué)生對思政教學(xué)的理解與接受度等反饋數(shù)據(jù)。線下課堂討論主要有如下幾種方式：通過PPT給出思政啟示；線上平臺課程班級活動“主題討論”中交流，啟發(fā)式、互動式教學(xué)；線上平臺和聊天工具中以各種方式線上交流思政心得，分享優(yōu)秀思政心得、思政小論文和思政專題延伸匯報課件；線上平臺討論區(qū)發(fā)布思政話題，學(xué)生進(jìn)行討論，教師進(jìn)行深度點評。

第四，結(jié)合線上平臺，形成思政教學(xué)效果評價。線上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺為學(xué)生提供思政資源、思政應(yīng)用案例、便捷的學(xué)習(xí)操作、全方位的數(shù)據(jù)記錄，增強實體課堂的思政學(xué)習(xí)體驗，為思政教學(xué)效果的評價提供新的方式：學(xué)生對思政資源以及案例的預(yù)習(xí)，相關(guān)思政資料的收集整理報告，課外思政小作業(yè)，討論區(qū)思政思考發(fā)言參與度等。

三、“線性代數(shù)”課程思政元素挖掘案例

以下以“線性代數(shù)”課程中線性方程組和高斯消元法為例給出思政設(shè)計的教學(xué)活動設(shè)計、思政元素分析、教學(xué)總結(jié)以及思政評價。

1.創(chuàng)設(shè)情境：二維平面上的一條直線y=ax+b所體現(xiàn)的就是兩個變量之間成線性關(guān)系的一個簡單實例。變量之間是一次形式的關(guān)系稱為線性關(guān)系，線性方程組的求解問題是最基本的線性關(guān)系問題，在求解線性方程組的過程中產(chǎn)生了矩陣、行列式等基本概念。線性代數(shù)就是在線性方程組的求解過程中產(chǎn)生的一門學(xué)科。

思政分析：線性代數(shù)學(xué)科所特有的代數(shù)與幾何相結(jié)合、公理化方法、邏輯推理、抽象歸納等特點，有利于強化學(xué)生的邏輯思想訓(xùn)練，增強數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師通過對線性代數(shù)核心內(nèi)容的介紹，幫助學(xué)生樹立學(xué)好線性代數(shù)的信心，好好利用線性代數(shù)，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度去探索奧秘，用科學(xué)理性的的態(tài)度去面對問題、分析問題、解決問題，用科學(xué)知識、科學(xué)素養(yǎng)去影響和改變世界。

2.提出問題：介紹線性方程組的古老起源，中國對線性方程組的研究比歐洲至少早1500年，展示公元300年的《九章算術(shù)》中的遍乘直除方法，南北朝時期《張邱建算經(jīng)》的百雞問題，通過線上平臺提供相關(guān)資料文獻(xiàn)，學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)探索，線下課堂討論交流，提出如何用線性代數(shù)的現(xiàn)代語言描述《九章算術(shù)》中解線性方程組的遍乘直除方法的思考題。

思政分析：《九章算術(shù)》的成書過程，經(jīng)歷了歷代數(shù)學(xué)家的增補修訂；《張邱建算經(jīng)》的百雞問題的一題多解解題思路，能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、艱苦探索、鍥而不舍的求知精神。中國古代的許多數(shù)學(xué)成就在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中有著舉足輕重的作用。學(xué)生通過學(xué)習(xí)能真實感受中國古老智慧的魅力，點燃自己樸素的愛國情懷，增強民族自豪感和榮譽感。

3.分析問題：首先與學(xué)生探討消元法的求解思路，從普通型線性方程組、階梯型線性方程組和行最簡型線性方程組的求解過程的難易程度，引導(dǎo)學(xué)生自主尋找線性方程組的形狀與線性方程組的解的關(guān)系。其次啟發(fā)學(xué)生從線性方程組的矩陣表達(dá)角度，將線性方程組的消元過程轉(zhuǎn)換為化矩陣為行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的初等行變換過程。線上平臺課程班級活動“主題討論”中交流，啟發(fā)式、互動式教學(xué)，從特殊到一般，以學(xué)生為中心來挖掘消元法的特征。

思政分析：學(xué)生在具體的消元過程中感受到了線性代數(shù)在抽象中的一份數(shù)學(xué)邏輯美，教師要在課堂上啟發(fā)學(xué)生自主挖掘消元法中的辯證思想，樹立辯證的科學(xué)唯物主義觀。

4.解決問題：學(xué)生動手求解線性方程組，線上平臺發(fā)布線性方程組在中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用探討專題。學(xué)生分組組隊，進(jìn)行討論，收集中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的相關(guān)專業(yè)資料，運用所學(xué)的線性方程組的求解方法來探討衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的基本原理，最后進(jìn)行內(nèi)容匯報。

思政分析：學(xué)生在參與中感受中國的科技強國夢，中國科技中對線性代數(shù)的應(yīng)用，能培養(yǎng)學(xué)生勇攀高峰的科學(xué)精神、敬業(yè)精神和工匠精神，激發(fā)學(xué)生崇尚科學(xué)、敢于創(chuàng)新的精神。中國科技知識強國夢正在路上，中國北斗聯(lián)天下自主建設(shè)并獨立運行能培養(yǎng)青年學(xué)子的愛國主義思想，使其傳承新時代北斗精神，將“個人夢”和“中國夢”相結(jié)合，擔(dān)負(fù)起自己的使命與責(zé)任。

5.延伸問題：學(xué)習(xí)通平臺提供線性方程組的應(yīng)用案例：①化工原料、醫(yī)藥、健康飲食中的配方問題；②營養(yǎng)配餐的合理設(shè)計，按需求設(shè)計營養(yǎng)餐；③列昂惕夫投入產(chǎn)出模型，平衡價格問題；④互付工資問題；⑤CT圖像的代數(shù)重建問題；⑥線性方程組在交通流量等問題中的應(yīng)用。學(xué)生組隊選取案例進(jìn)行資料收集并完成數(shù)學(xué)建模實驗。

思政分析：通過具體的案例求解過程，引導(dǎo)學(xué)生建立科學(xué)的思想方法，在數(shù)學(xué)模型建立的過程中，自主探討現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)奧秘，感受“線性代數(shù)”的學(xué)科魅力，用科學(xué)的思維方法去實踐；在組隊合作的過程中懂得合作、善于溝通，形成團隊合作能力。

6.教學(xué)總結(jié)：合理運用“引入教學(xué)的背景知識，挖掘具體知識點的思政元素”“案例教學(xué)”“學(xué)生為中心，教師引導(dǎo)”“課前收集資料，課后延伸知識探討”“發(fā)布建模選題，分組團隊合作”等教學(xué)方法，通過新聞視頻、數(shù)學(xué)建模、動畫演示等方式進(jìn)行信息化教學(xué)，在線性方程組的講解過程中提出思政問題，根據(jù)思政元素設(shè)計討論環(huán)節(jié)和分組建模任務(wù)，吸引學(xué)生的注意力，誘導(dǎo)學(xué)生對知識點以及思政問題進(jìn)行思考，形成自己的知識體系和思政正能量。

7.思政評價：通過發(fā)布課前預(yù)習(xí)任務(wù)，課中進(jìn)行思政討論，考察學(xué)生對線性方程組的起源、發(fā)展歷程及其應(yīng)用問題的思考；布置分組完成線性方程組的應(yīng)用專題建模任務(wù)，即在組隊合作過程中，考察學(xué)生的角色定位分工能力、團隊合作精神以及溝通協(xié)調(diào)能力；在撰寫心得體會的過程中，考察學(xué)生對線性方程組在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用的思考，啟發(fā)學(xué)生的責(zé)任感、使命感以及家國情懷。

四、結(jié)束語

教師要根據(jù)“線性代數(shù)”的學(xué)科特點，深入挖掘“線性代數(shù)”具體知識結(jié)構(gòu)中所蘊含的思政元素，從學(xué)科背景、生活中的應(yīng)用、科技力量中的應(yīng)用構(gòu)造思政案例，利用線上平臺以及各種教學(xué)方法在無形中融入思政教育。教師也要從學(xué)生所學(xué)所思所想出發(fā)，結(jié)合相關(guān)專業(yè)的社會價值、國內(nèi)外時事、生活應(yīng)用問題等導(dǎo)入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生形成用數(shù)學(xué)邏輯思維、科學(xué)辯證觀點和科學(xué)方法分析解決問題的能力。教師還要注重理論與實踐相結(jié)合，注重課程思政教學(xué)方法的實效，讓事先設(shè)計的思政元素在課程教學(xué)中得到充分展現(xiàn)，營造“線性代數(shù)”課程思政教學(xué)的學(xué)習(xí)氣氛，達(dá)到思政教育潤物細(xì)無聲的效果。