接觸式輪廓儀測(cè)量的自動(dòng)標(biāo)注問題探究
——基于最小二乘法

蔣培軍

（三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車學(xué)院，河南 三門峽 472000）

0 引言

輪廓測(cè)量?jī)x作為一種精密設(shè)備常用于測(cè)量各種機(jī)械零件的截面輪廓形狀和素線形狀[1]。如在機(jī)械行業(yè)中，用于測(cè)量不同零件的線輪廓度、角度、直線度和平行度等；在汽車制造行業(yè)中，用于測(cè)量齒輪及油泵油嘴形狀、汽車活塞外形等。接觸式輪廓儀具有測(cè)量速度快，操作方便，結(jié)果可靠等優(yōu)點(diǎn)，并且對(duì)于復(fù)雜工件也可實(shí)現(xiàn)測(cè)量。但是，由于存在探針缺陷、探針粘塵及掃描位置偏移等問題，易導(dǎo)致測(cè)量的輪廓曲線粗糙，影響工件形狀的精確標(biāo)注[2]。因此，利用測(cè)量數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并對(duì)工件形狀進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)注有重要意義。

1 接觸式輪廓儀的測(cè)量原理及測(cè)量數(shù)據(jù)

圖1 是一種常用的接觸式輪廓儀，其結(jié)構(gòu)包括固定架、可調(diào)三維平臺(tái)、傳感器、探針等部件。接觸式輪廓儀為接觸測(cè)量，通過儀器的觸針與被測(cè)表面的滑移實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)物的測(cè)量[3]。輪廓儀傳感器通過感知被測(cè)物表面的幾何變化，在兩個(gè)維度分別采點(diǎn)，并將采集的信息轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，再將電信號(hào)處理轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)進(jìn)行存儲(chǔ)，實(shí)現(xiàn)對(duì)工件的測(cè)量[4]。

圖1 接觸式輪廓儀及其結(jié)構(gòu)組成

表1 給出了接觸式輪廓儀測(cè)量的某工件水平狀態(tài)下的輪廓線部分?jǐn)?shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于2020 年中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D 題附件。該工件的具體輪廓如圖2。圖2 中，工件輪廓線由圓弧段和直線段構(gòu)成，且均為平面曲線。對(duì)該工件進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)注，需利用數(shù)學(xué)方法擬合出各段曲線的表達(dá)式并求出節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而標(biāo)注輪廓線各項(xiàng)參數(shù)值[5]，如槽口寬度（x1，x3等）、圓弧長(zhǎng)度、水平線段長(zhǎng)度（x2，x4等）、圓心之間的距離（c1，c2等）、圓弧半徑（R1，R2等）、人字形線的高度（z1）和斜線線段長(zhǎng)度、斜線與水平線之間的夾角（∠1，∠2 等）。

表1 接觸式輪廓儀測(cè)量某工件輪廓部分?jǐn)?shù)據(jù)

圖2 工件輪廓

2 輪廓儀標(biāo)注模型構(gòu)建

2.1 斜直線擬合

工件輪廓圖雖已給出，但仍需要與接觸式輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，以便確定工件輪廓線的具體坐標(biāo)，完成對(duì)工件形狀的自動(dòng)標(biāo)注[6]。借助MATLAB 軟件，繪制輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖如圖3，完成工件輪廓圖與接觸式輪廓儀測(cè)量散點(diǎn)圖的比對(duì)[7]。由于該工件的輪廓線由圓弧段和直線段構(gòu)成，而直線段又包含水平直線段（斜率為零）與斜直線段（斜率非零），因此只需分別對(duì)這三類輪廓線建立模型并求解，即可完成對(duì)工件形狀的標(biāo)注[8]。

圖3 接觸式輪廓儀測(cè)量散點(diǎn)圖

2.1.1 基于最小二乘法構(gòu)建模型

由于種種原因，接觸式輪廓儀對(duì)復(fù)雜工件測(cè)量時(shí)會(huì)出現(xiàn)輪廓線粗糙不平現(xiàn)象，需借助數(shù)學(xué)優(yōu)化方法進(jìn)行擬合后對(duì)其進(jìn)行精確標(biāo)注。最小二乘法通過誤差平方和最小化尋找數(shù)據(jù)的最佳匹配函數(shù)，其目標(biāo)是找到一組參數(shù)，使得擬合函數(shù)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值的差異最小[9]。作為一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，最小二乘法可用于解決未知參數(shù)估計(jì)及曲線擬合等問題，也可用于其他優(yōu)化問題。例如，能量最小化或熵最大化等均可通過將問題轉(zhuǎn)化為最小二乘形式，應(yīng)用最小二乘法來求解。因此，本文采用最小二乘法構(gòu)建輪廓線的擬合模型。

對(duì)于工件輪廓中的斜直線段，以A4A5段為例，采用最小二乘法，建立斜直線擬合模型，其原理表達(dá)式為

其中，（xi，zi）為A4A5段輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)，a，b 為待定參數(shù)。

由于節(jié)點(diǎn)A4和A5具體坐標(biāo)未知，為便于模型擬合，選取A4A5段坐標(biāo)的一個(gè)子區(qū)間段對(duì)斜直線模型式（2）進(jìn)行擬合[10]。

式（2）中，ε 為隨機(jī)誤差項(xiàng)，且假設(shè)ε 滿足最小二乘模型對(duì)誤差項(xiàng)的基本要求。為了讓更多的測(cè)量點(diǎn)進(jìn)入模型，結(jié)合圖3，選擇[52，52.5]區(qū)間段數(shù)據(jù)對(duì)A4A5段斜直線方程進(jìn)行擬合。

對(duì)比輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)，序號(hào)10 763—11 790共1 028 組數(shù)據(jù)在[52，52.5]區(qū)間段，將其作為樣本點(diǎn)，借助MATLAB 軟件[11]即可求得A4A5段擬合方程為

2.1.2 模型誤差項(xiàng)檢驗(yàn)

對(duì)斜直線擬合模型及誤差項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)[12]，得到模型擬合優(yōu)度為0.999 3，說明因變量的99.93 %變異可由自變量的變異解釋。模型F=1 498 817.76，對(duì)應(yīng)概率P=0，在置信水平（1-α=0.95）下，表明模型通過顯著性檢驗(yàn)，建立的斜直線模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義[13]。

圖4 為斜直線模型誤差檢驗(yàn)圖。由圖4a）可以看出：斜直線模型誤差隨機(jī)分布在零點(diǎn)附近，在1 028 組數(shù)據(jù)中，有743 項(xiàng)殘差在[-0.01，0.01]，占比72.28 %；有963 項(xiàng)殘差在[-0.02，0.02]，占比93.68 %，表明模型整體擬合效果較好。序號(hào)為280—344 的樣本點(diǎn)殘差超過了0.02，對(duì)比樣本點(diǎn)位置可知，該型號(hào)接觸式輪廓儀在工件幾何形狀發(fā)生改變一小段距離后會(huì)產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差。

圖4 斜直線模型誤差檢驗(yàn)結(jié)果

由圖4b）的殘差直方圖可看出，誤差項(xiàng)大致服從正態(tài)分布。為了定量化分析模型誤差項(xiàng)是否服從正態(tài)分布，采用K-S 檢驗(yàn)[14]對(duì)斜直線模型誤差項(xiàng)進(jìn)行分析。K-S 檢驗(yàn)的原假設(shè)為H0，即斜直線模型誤差項(xiàng)分布與正態(tài)分布無顯著差異；備擇假設(shè)為H1，即斜直線模型誤差項(xiàng)分布與正態(tài)分布存在顯著差異。由表2 可看出，斜直線模型誤差項(xiàng)的K-S 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為4.122 2，對(duì)應(yīng)的概率P=0.062 1>0.05，表示接受原假設(shè)，認(rèn)為斜直線模型誤差項(xiàng)分布與正態(tài)分布無顯著差異，表明模型誤差項(xiàng)滿足最小二乘回歸對(duì)誤差項(xiàng)的基本要求[15]。

表2 斜直線模型誤差項(xiàng)K-S 檢驗(yàn)表

對(duì)于其他斜直線段如A6A7、A9A10、A17A18等，都可類似給出擬合模型并進(jìn)行檢驗(yàn)。求出斜直線擬合方程后，可利用式（4）求出斜線與水平線間的夾角。例如：∠2=π-arctan 2.782 7=1.915 8，即角度為109.766 8°。對(duì)于其他各角可類似求解，本文不再贅述。

2.2 水平直線段擬合

對(duì)于工件中的水平直線段，以A5A6段為例，建立擬合模型。水平直線段可視作斜直線段斜率為零的一種特殊情況，對(duì)應(yīng)的模型為

其中，c 為常數(shù)，其估計(jì)值為

對(duì)于A5A6段，選擇[53，57]區(qū)間段輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行擬合。根據(jù)接觸式輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)，找出x∈[53，57]的樣本點(diǎn)，其序號(hào)為12 796—20 795，在此區(qū)間的樣本點(diǎn)共有8 000 組，對(duì)其坐標(biāo)zi求平均值，可得c^=-1.767 4。模型的顯著性檢驗(yàn)及誤差項(xiàng)檢驗(yàn)可參照2.1.2 節(jié)進(jìn)行。對(duì)于其他水平直線段如A10A11、A15A16、A27A28等也可類似給出擬合模型。

2.3 圓弧段擬合

在平面直角坐標(biāo)系中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

其變形式為

式（9）中D，E，F(xiàn) 為待定參數(shù)。

接觸式輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)中，序號(hào)為8 531—9 729共計(jì)1 199 組數(shù)據(jù)在[50.9，51.5]區(qū)間段，將其作為樣本點(diǎn)，借助MATLAB 軟件中的非線性擬合函數(shù)[17]，求得段的擬合圓方程為

此外，工件的節(jié)點(diǎn)為斜直線段、水平直線段和圓弧段的交點(diǎn)，在已知輪廓曲線方程的情況下可以通過聯(lián)立方程組求解節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。如對(duì)節(jié)點(diǎn)A5可聯(lián)立方程組為

由方程組（11）求得A5坐標(biāo)為（52.658 4，-1.767 4）。其他節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可類似求取。

3 模型的推廣與不足

接觸式輪廓儀自動(dòng)標(biāo)注模型的構(gòu)建，是最小二乘法在機(jī)械加工領(lǐng)域的一項(xiàng)應(yīng)用探索。經(jīng)驗(yàn)證，構(gòu)建的模型可實(shí)現(xiàn)接觸式輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)的校準(zhǔn)，精確標(biāo)注被測(cè)工件的各項(xiàng)參數(shù)，對(duì)接觸式輪廓儀的推廣及后續(xù)設(shè)計(jì)有積極作用。但是，模型建立也存在一些不足：

1）在各段輪廓線擬合時(shí)，采用對(duì)比法截取擬合數(shù)據(jù)區(qū)間段，存在一定的主觀性，會(huì)對(duì)模型精度產(chǎn)生影響；

2）只對(duì)圓弧段和直線段輪廓線建立了輪廓儀標(biāo)注模型，對(duì)于其他曲線段輪廓線如何標(biāo)注未做討論；

3）模型的誤差項(xiàng)中可能存在一些有價(jià)值的信息，還需進(jìn)一步研究采用合適模型對(duì)誤差項(xiàng)信息進(jìn)行提取，以進(jìn)一步提高模型精度。

4 結(jié)束語

作為一種精密設(shè)備，接觸式輪廓儀在機(jī)械零件的截面輪廓形狀和素線形狀的測(cè)量中應(yīng)用廣泛。為減少輪廓儀測(cè)量工件的輪廓曲線粗糙情況，更好地對(duì)工件形狀進(jìn)行標(biāo)注，針對(duì)數(shù)學(xué)建模大賽賽題提供的輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)，基于最小二乘法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的圓弧段和直線段輪廓線建立了標(biāo)注模型。模型顯著性檢驗(yàn)及誤差項(xiàng)檢驗(yàn)顯示，提出的輪廓儀標(biāo)注模型符合對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的基本假設(shè)，建立的模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。輪廓儀測(cè)量數(shù)據(jù)與標(biāo)注后數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的效果對(duì)比表明，模型能一定程度上解決工件形狀不能準(zhǔn)確標(biāo)注的問題。