堅(jiān)持課標(biāo)為綱 把握中考導(dǎo)向 調(diào)整教學(xué)行為

舒萍

【摘 要】隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，以及學(xué)界對其中“綜合與實(shí)踐”部分的不斷解讀和研究，“綜合與實(shí)踐”對中考的導(dǎo)向以及教學(xué)行為的影響也越來越明確。本文通過分析2023年中考數(shù)學(xué)卷“綜合與實(shí)踐”的試題，為教師更準(zhǔn)確地把握課標(biāo)、落實(shí)核心素養(yǎng)育人目標(biāo)提供思路。

【關(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐；命題分析；教學(xué)建議

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》首次設(shè)置“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”，提出第三學(xué)段以課題學(xué)習(xí)的形式，要求學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的基本過程；體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)；獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；通過獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”改為“綜合與實(shí)踐”，提出“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，以課題學(xué)習(xí)的形式進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)具體問題的解決方案并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題，會(huì)反思活動(dòng)的全過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）更加具體地提出初中階段以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的形式落實(shí)“三會(huì)”，在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題：用數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗(yàn)調(diào)查、建立模型、計(jì)算反思、解決問題的過程；用數(shù)學(xué)語言將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

縱觀課標(biāo)中“綜合與實(shí)踐”的發(fā)展，可以發(fā)現(xiàn)內(nèi)容從無到有、從少到多，從數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與應(yīng)用到學(xué)科間的融合，要求從抽象到具體，學(xué)習(xí)方式從提出基本過程到課題學(xué)習(xí)，再到進(jìn)一步發(fā)展為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，不難看出“綜合與實(shí)踐”逐步成為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。本文通過分析2023年中考數(shù)學(xué)卷“綜合與實(shí)踐”的試題，為教師更準(zhǔn)確地把握課標(biāo)、落實(shí)核心素養(yǎng)育人目標(biāo)提供思路。

一、2023年中考數(shù)學(xué)卷“綜合與實(shí)踐”專題的命題分析

“綜合與實(shí)踐”的命題具有涵蓋數(shù)與代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)知識(shí)，融合物理、化學(xué)、生物等學(xué)科知識(shí)，綜合學(xué)生閱讀、理解、表達(dá)等各方面能力的特點(diǎn)，多角度綜合的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，進(jìn)而落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)。2023年中考數(shù)學(xué)卷“綜合與實(shí)踐”的命題在現(xiàn)實(shí)性、過程性、綜合性上較好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）以生活或?qū)W習(xí)經(jīng)歷為背景，突出綜合與實(shí)踐內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)性

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》內(nèi)容要求中指出，在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界?？梢?，“綜合與實(shí)踐”試題的命制背景必須貼合生活實(shí)際，學(xué)生能用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

1.問題背景來源于生活

例1 （2021·甘肅蘭州）如圖1，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為72.7mm，當(dāng)測試距離為3m時(shí)，最大的“E”字高度為（? ）mm。

【考查目標(biāo)】本題以“制作視力表”為背景，通過觀察分析，選擇合適的數(shù)學(xué)知識(shí)（相似三角形的性質(zhì)）解決問題，可以有效考查學(xué)生對相似三角形的掌握情況以及基本性質(zhì)的能力層次?！爸谱饕暳Ρ怼钡膯栴}背景讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，并用相似三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系解決生活中需要測量尺寸的問題，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性。

【命題評價(jià)】視力表是生活中常見的工具，以如何求出視力表中某字母的高度來設(shè)計(jì)問題，在綜合考查相似三角形的基本性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用。本題的命制思路在人教版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第二十七章第三節(jié)“27.3 位似”中“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目——“探索位似的應(yīng)用”和“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目——“活動(dòng)2 位似與美術(shù)字”中有所體現(xiàn)，相比較美術(shù)字的設(shè)計(jì)，本題的設(shè)計(jì)背景更貼合生活，學(xué)生更容易感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性。

【考查目標(biāo)】本題以木欄圍地為背景提出問題，通過問題探究、類比探究、問題延伸、拓展應(yīng)用的操作，考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意得出等量關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，會(huì)根據(jù)函數(shù)圖象獲取數(shù)據(jù)。

【命題評價(jià)】本題的問題是典型的方程類應(yīng)用問題，問題的解決是要引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)的模型，用函數(shù)的思想解決方程的應(yīng)用問題，通過改變a的具體數(shù)值，最后用字母代替a，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究從特殊到一般的研究過程，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)模型解決方程問題的普遍性。題目最后設(shè)計(jì)的拓展應(yīng)用將函數(shù)與不等式聯(lián)系起來，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性。本題考查的意義不僅在于解決問題，更是要求學(xué)生學(xué)會(huì)解決這類問題的通法。

2.突出經(jīng)歷解決問題的操作過程

例4 （2023·廣東廣州）主題：制作無蓋正方體形紙盒。

素材：一張正方形紙板。

步驟1：如圖5（a），將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形。

步驟2：如圖5（b），把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒。

猜想與證明：

（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系。

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

【考查目標(biāo)】本題以制作無蓋正方體形紙盒為主題，通過詳細(xì)說明制作紙盒的操作過程，將平面圖形與立體圖形建立聯(lián)系，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)。

【命題評價(jià)】本題主題簡潔明確，操作過程簡單，學(xué)生只要讀懂題目描述的操作過程，解決問題就比較容易，即使是考查立體圖形與平面圖形的對應(yīng)關(guān)系，對于初三學(xué)生來說難度也不大。本題的特點(diǎn)就在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光和思維觀察和思考這個(gè)操作過程，同時(shí)提出具體的問題，教給學(xué)生一種提出問題的角度，從而培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。類似這樣的設(shè)計(jì)在2023年中考中出現(xiàn)較多，比如四川巴中、甘肅蘭州、內(nèi)蒙古通遼、黑龍江齊齊哈爾等的綜合與實(shí)踐的試題，都是幾何操作類型。

（三）以核心素養(yǎng)為目標(biāo)，突出綜合與實(shí)踐內(nèi)容的綜合性

所謂綜合，不僅表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法在解決問題過程中的綜合，還可以表現(xiàn)為通過跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，建立學(xué)科間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、日常生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來。

1.學(xué)科內(nèi)綜合

例5 （2023·山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022—2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選。在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）。某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告。請根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算BC和AB的長度。（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：[3]≈1.73，[2]≈1.41。）

【考查目標(biāo)】本題以推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）的真實(shí)情境為背景，開展課題活動(dòng)，并給出完整的活動(dòng)報(bào)告，以此考查矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線以便在直角三角形中求得相關(guān)線段。本題呈現(xiàn)完整的操作過程，讓學(xué)生不僅會(huì)解題更經(jīng)歷解決問題的過程。

【命題評價(jià)】本題以母親河復(fù)蘇行動(dòng)為背景，對于活動(dòng)的意義給予了充分說明，增強(qiáng)學(xué)生的自豪感，加強(qiáng)學(xué)生環(huán)境保護(hù)的意識(shí)，兼顧學(xué)科育德的導(dǎo)向。題目設(shè)計(jì)以活動(dòng)報(bào)告的形式呈現(xiàn)“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”，設(shè)計(jì)完整，為教學(xué)中開展類似的數(shù)學(xué)活動(dòng)提供了藍(lán)本。教材中類似的活動(dòng)也很多，比如人教版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第七章“平面直角坐標(biāo)系”中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目，讓學(xué)生繪制平面分布圖；八年級下冊第十七章“勾股定理”中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目和九年級下冊第二十七章“相似”中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目，均為讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案測量旗桿的高度；九年級下冊第二十八章“銳角三角函數(shù)”中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目，讓學(xué)生制作測角儀，測量樹的高度和塔的高度。2023年中考對于這類問題的命題設(shè)計(jì)較多，如天津卷利用測角儀測量塔的高度，江蘇泰州卷對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編，四川卷設(shè)計(jì)測量風(fēng)力發(fā)電機(jī)風(fēng)葉的長度，湖南卷設(shè)計(jì)確定椅子后背與地面的夾角等。這類問題可操作性強(qiáng)，綜合建筑學(xué)、測量、藝術(shù)、數(shù)學(xué)等知識(shí)，學(xué)生也比較容易理解實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生經(jīng)歷問題過程的分析，更容易體會(huì)到綜合與實(shí)踐內(nèi)容的過程性和綜合性，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

2.跨學(xué)科綜合

例6 （2023·廣西）有言道：“桿秤一頭稱起人間生計(jì)，一頭稱起天地良心?！蹦撑d趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤。小組先設(shè)計(jì)方案，然后動(dòng)手制作，再結(jié)合實(shí)際進(jìn)行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計(jì)中的任務(wù)。

【知識(shí)背景】如圖6，稱重物時(shí)，移動(dòng)秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：（m0+m）·l=M·（a+y）。其中秤盤質(zhì)量m0克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米。

【方案設(shè)計(jì)】

目標(biāo)：設(shè)計(jì)簡易桿秤。設(shè)定m0=10，M=50，最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米。

任務(wù)一：確定l和a的值。

（1）當(dāng)秤盤不放重物，秤砣在零刻線時(shí)，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程。

（2）當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時(shí)，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程。

（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值。

任務(wù)二：確定刻線的位置。

（4）根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式。

（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離。

【考查目標(biāo)】本題綜合物理學(xué)科的知識(shí)，利用杠桿原理制作簡易桿秤，主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意。仔細(xì)閱讀題目，逐步理解題目中已經(jīng)搭建好的一次函數(shù)模型，對照模型中各數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)意義，理解制作桿秤的思維過程，通過調(diào)整數(shù)值進(jìn)行計(jì)算、反思進(jìn)而解決問題。

【命題評價(jià)】本題具有真實(shí)的生活背景，雖然解題關(guān)鍵是理解題意，但是學(xué)生閱讀、解決問題的過程實(shí)際是經(jīng)歷項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的過程。本題設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)模型的搭建、學(xué)科知識(shí)的融合，關(guān)鍵還在于為學(xué)生落實(shí)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)的思維的思考現(xiàn)實(shí)世界提供了一種思維模式，其中問題的提出、知識(shí)背景、方案設(shè)計(jì)、目標(biāo)的確立、任務(wù)的分解等一系列設(shè)計(jì)，可以為學(xué)生后續(xù)自主完成項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提供思維過程的參考。

跨學(xué)科綜合在人教版數(shù)學(xué)教材中，有九年級下冊第二十六章第二節(jié)“26.2 實(shí)際問題與反比例函數(shù)”數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的杠桿原理及電學(xué)相關(guān)知識(shí)的融合，特別是在該章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目的活動(dòng)2中，利用杠桿原理，通過改變力臂的長短感受變量間的關(guān)系。這類設(shè)計(jì)為學(xué)生完成相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了一種項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的模式。

二、教學(xué)建議

（1）教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，樹立大概念意識(shí)。

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)整體把握教學(xué)內(nèi)容，綜合與實(shí)踐雖沒有特別具體的教學(xué)內(nèi)容，但如果沒有數(shù)學(xué)課程中數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三大板塊的聯(lián)合支撐，綜合與實(shí)踐就無法實(shí)現(xiàn)綜合，更沒有實(shí)踐的基礎(chǔ)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要將教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，將教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)關(guān)聯(lián)，樹立大概念的意識(shí)，為綜合與實(shí)踐打下基礎(chǔ)。這種關(guān)聯(lián)教學(xué)的思維模式，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維力。

比如測量樹、旗桿或者建筑物的高度，既可以利用勾股定理的知識(shí)建立模型，也可以利用三角形相似的知識(shí)建立模型，還可以利用三角函數(shù)的知識(shí)建立模型。雖然模型有很多種，但每一種方法都會(huì)有受限的問題和測量的難度，因此在設(shè)計(jì)這類問題的實(shí)踐活動(dòng)時(shí)可以讓學(xué)生采用不同的方法進(jìn)行嘗試，體會(huì)相關(guān)知識(shí)和方法間的區(qū)別與關(guān)聯(lián)，樹立大概念的意識(shí)。

（2）教學(xué)中關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析和解決問題的過程，保障以學(xué)生為主體。

綜合與實(shí)踐活動(dòng)關(guān)注學(xué)生的實(shí)踐過程以及實(shí)踐過程中的體驗(yàn)、感受、反饋。在《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的引領(lǐng)下，從2023年的中考數(shù)學(xué)卷綜合與實(shí)踐的命題來看，已經(jīng)越來越關(guān)注讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，試題的設(shè)問也越來越關(guān)注對獲取結(jié)論過程中的思維過程的考查。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了關(guān)注數(shù)學(xué)體系內(nèi)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系外，還要兼顧數(shù)學(xué)問題的解決過程，讓學(xué)生參與、經(jīng)歷解決問題的過程，保障學(xué)生的主體地位，真正讓學(xué)生從過程中體會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題。

比如，在測量樹、旗桿或建筑物的高度的問題中，解題時(shí)希望得到統(tǒng)一的答案，但在實(shí)際操作過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多因素導(dǎo)致誤差。在采用不同的方法測量計(jì)算后，得到相差較大的數(shù)據(jù)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題1：你覺得哪種方法操作簡便？哪種方法測得的數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確？你還有其他的測量方法嗎？

問題2：在測量中，每次的測量數(shù)據(jù)都有差異，你是如何處理的？

問題3：你認(rèn)為產(chǎn)生誤差的原因是什么？是否可以優(yōu)化你的方案？

學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的測量計(jì)算過程，以上問題自然而然地產(chǎn)生，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生深入思考產(chǎn)生誤差的原因，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和思辨力。

（3）教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與生活、其他學(xué)科知識(shí)間的聯(lián)系，積累數(shù)學(xué)與生活、其他學(xué)科知識(shí)間的相關(guān)問題。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師有數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的具體教學(xué)任務(wù)，更關(guān)注知識(shí)和方法的傳授，也正因?yàn)殛P(guān)注學(xué)科內(nèi)的知識(shí)方法，往往忽略學(xué)科與生活的聯(lián)系。《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》特別強(qiáng)調(diào)“三會(huì)”，實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的第一步，應(yīng)該是在教學(xué)過程中增加與生活、其他學(xué)科知識(shí)間聯(lián)系的教學(xué)設(shè)計(jì)，多留意數(shù)學(xué)與生活、其他學(xué)科知識(shí)間的聯(lián)系，尋找能夠開展綜合與實(shí)踐的好問題，合理設(shè)計(jì)、開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，這是完成綜合與實(shí)踐的最關(guān)鍵一步。

比如，在學(xué)習(xí)了不等式相關(guān)知識(shí)后，教師可以讓學(xué)生再搜集一些資料，分析其中的數(shù)量關(guān)系，編成問題，并嘗試用一元一次不等式解決。此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的各種問題，如日常生活中經(jīng)常遇到的排隊(duì)等待現(xiàn)象（醫(yī)院掛號(hào)付費(fèi)、銀行辦理業(yè)務(wù)等）。服務(wù)機(jī)構(gòu)通常通過增加服務(wù)窗口來減少排隊(duì)，但窗口增加過多又會(huì)造成人力、物力的浪費(fèi)，那么如何使投入的資源較少，而顧客對得到的服務(wù)又較滿意，這就是需要研究的排隊(duì)問題。

（4）教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣。

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)的語言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí)。近幾年的中考數(shù)學(xué)卷，特別是2023年中考數(shù)學(xué)卷中設(shè)問的方式也開始轉(zhuǎn)向?qū)σ延薪Y(jié)論的應(yīng)用或評價(jià)上。因此，教師在教學(xué)過程中也應(yīng)注重教與學(xué)之后的評價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思維、語言去評價(jià)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如在不等式（組）的學(xué)習(xí)后設(shè)計(jì)排隊(duì)等待問題，讓學(xué)生基于所學(xué)知識(shí)提供解決方案，這既可以為服務(wù)機(jī)構(gòu)提供優(yōu)化方案，也可以為學(xué)生在生活中遇到排隊(duì)時(shí)提供解決方案。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)既讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，同時(shí)也用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

（責(zé)任編輯：潘安）