2022年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A2卷平面幾何題的另解

華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) (430223) 陳開懋

受疫情影響,2022年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽,湖北和山東延期了兩次,于11月27日順利組織了考試.此次考試用的是A2卷,加試的平面幾何題放在了第二題的位置,增加了難度,除了答案提供的兩種解法外,本文再給出兩種解法.

圖1

圖2

∠AEC,又A′與A關(guān)于BC對稱,所以∠A′BC+∠SBC=∠ABC+∠AEC=180°,故A′,B,S三點共線.

評析：證法一主要是分為三個步驟,第一步,證明A′,B,S三點共線,第二步,證明A′,P,Q三點共線,第一步,證明∠BA′P=∠BTP,從而A′,B,P,T四點共圓.該證法主要是優(yōu)化了第二步.

圖3

評析：證法二主要分了兩個步驟,第一步,同證法一,證明A′,B,S三點共線,第二步,證明ΔTA′S∽ΔTPE,主要采取了三角計算的方法,要求三角恒等變換比較扎實.

這兩種解法是比較初等的方法,證法二主要采取了三角計算,比證法一繁瑣復(fù)雜,當然本題還可以用更高級的幾何定理(帕斯卡定理)來證明,有興趣的同學(xué)和老師可以自己去嘗試.