一道直線與橢圓試題的解法探究與變式

江蘇省海門(mén)中學(xué) (226100) 姜敏華

直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題在考試中一直處于壓軸題的位置,對(duì)于學(xué)生而言,難點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩點(diǎn):一是思路不清晰,二是計(jì)算能力不足.因此在解題教學(xué)中要幫助學(xué)生分析條件找尋思路,帶領(lǐng)學(xué)生看清本質(zhì),突破運(yùn)算難點(diǎn).本文以一道直線與橢圓試題為例談?wù)勅绾螏椭鷮W(xué)生尋找思路,突破運(yùn)算難點(diǎn),同時(shí)充分挖掘試題展開(kāi)變式探究.

一、題目

本題第(2)問(wèn)將條件隱藏于三角形面積和邊長(zhǎng)之間的等量關(guān)系之間,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力.題目中字母多,變量多,難點(diǎn)在于如何建立k與k′之間的關(guān)系式.

二、解法剖析

因此sin∠APQ=sin∠BPQ,而∠APQ+∠BPQ=∠ABP∈(0,π),有∠APQ=∠BPQ,于是PQ平分∠APB,直線AP,BP的斜率kAP,kBP互為相反數(shù),即kAP+kBP=0.

解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直線AP:y=k0(x-x0)+y0,聯(lián)立

評(píng)注：此方法,變換思路由點(diǎn)P出發(fā),引兩條斜率互為相反數(shù)的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),計(jì)算kAB即可找到問(wèn)題的解,同時(shí)運(yùn)算量也大大減少,只需求點(diǎn)A坐標(biāo),點(diǎn)B坐標(biāo)同理可得.但是學(xué)生很有可能會(huì)利用A,B和點(diǎn)(1,0)三點(diǎn)共線處理,此時(shí)偏離了目標(biāo),同時(shí)根據(jù)此方法還可以發(fā)現(xiàn)kk′為定值與直線l是否過(guò)點(diǎn)(1,0)無(wú)關(guān).

評(píng)注：該方法聯(lián)想到了橢圓弦中點(diǎn)的結(jié)論,將AB的斜率轉(zhuǎn)化為中位線MN的斜率,從而只需求出PA,PB的中點(diǎn)M,N即可,利用結(jié)論轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn),從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題的運(yùn)算量.

評(píng)注：該方法在法三的基礎(chǔ)上,對(duì)PA,PB的斜率從兩個(gè)不同的方向?qū)ふ业攘筷P(guān)系,從而建立起點(diǎn)P與AB中點(diǎn)與原點(diǎn)O斜率之間的等量關(guān)系,從而利用中點(diǎn)弦的結(jié)論將問(wèn)題解決.運(yùn)算量少,但對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.

評(píng)注：看到kAP+kBP聯(lián)想到一元二次方程的兩根之和,從整體上構(gòu)造關(guān)于AP,BP斜率的一元二次方程,將直線與橢圓聯(lián)立齊次化建立方程,從而解決問(wèn)題.問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)方程的變形構(gòu)造.

上述五種解法中方法二的過(guò)程最簡(jiǎn)單直接,可操作性強(qiáng),也需要學(xué)生能夠靈活的變換點(diǎn)線之間的關(guān)系.

三、變式探究

思考1 由解法二發(fā)現(xiàn)kk′為定值與直線l是否過(guò)定點(diǎn)(1,0)無(wú)關(guān),因此,可以得到更一般的結(jié)論.

思考2 采用逆向思維,考慮原問(wèn)題的逆命題是否成立?

上述變式均可以類(lèi)比到雙曲線中,限于篇幅,不在贅述.一道好題,不僅可以查學(xué)生的能力,提升學(xué)生的學(xué)生的運(yùn)算能力和思維水平,同時(shí)還能夠給學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì),給學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn).對(duì)好題從不同的角度思考融合,可以變化出很多優(yōu)美的題目.