探索一類(lèi)與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題

山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

1 案例呈現(xiàn)

(1) 求雙曲線(xiàn)C的方程;

(2) 過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l(與x軸不垂直)與曲線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P,是否存在實(shí)常數(shù)λ,使得|MN|=λ|PB|?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系等內(nèi)容,突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng),以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.試題立意高遠(yuǎn)深邃,構(gòu)思別出心裁,結(jié)構(gòu)清晰明朗,解法活潑靈動(dòng),充分體現(xiàn)了多層次、高落差的素養(yǎng)導(dǎo)向,堪稱(chēng)一道有豐富內(nèi)涵和推廣價(jià)值的經(jīng)典試題.

2 案例解答

思路一 利用通用的弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)

思路二 利用雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦|MN|=|e(x1+x2)-2a|表示弦長(zhǎng)

解法4：(點(diǎn)差法、選斜率k為參數(shù))由題意設(shè)

解法6：當(dāng)M,N兩點(diǎn)位于雙曲線(xiàn)同一支時(shí),不妨設(shè)M,N位于雙曲線(xiàn)右支上,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)B(3,0)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p,MN與x軸的夾角為θ(0<θ<π).

3 問(wèn)題推廣

本結(jié)論證明方法較多,例如上述解法6,下面再類(lèi)比解法2(反設(shè)直線(xiàn))給出證明.

類(lèi)比雙曲線(xiàn),橢圓和拋物線(xiàn)有同樣結(jié)論.

將命題進(jìn)一步推廣即有結(jié)論4.

本結(jié)論揭示了圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦的中垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)二者之間的緊密聯(lián)系,得到了與焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有關(guān)的一個(gè)定值結(jié)論.

4 應(yīng)用舉例

(1)求橢圓W的方程;

例2 (2022年10月全國(guó)C8名校協(xié)作體聯(lián)考第21題)已知圓A:x2+y2+6x+5=0,直線(xiàn)l(與x軸不重合)過(guò)點(diǎn)B(3,0)交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)DA于點(diǎn)E.

(1) 證明:||EB|-|EA||為定值,并求點(diǎn)E的軌跡方程;

(2) 設(shè)E點(diǎn)的軌跡為C1,直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C1交于M,N兩點(diǎn),線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P,是否存在實(shí)常數(shù)λ,使得|MN|=λ|PB|?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

“以問(wèn)題為載體,以知識(shí)為基礎(chǔ),以思維為主線(xiàn),以能力為目標(biāo),全面考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能”仍然是當(dāng)前高考命題的一個(gè)重要方向.在學(xué)習(xí)中我們要充分挖掘試題所蘊(yùn)含的豐富教學(xué)資源,以試題研究為主陣地,利用問(wèn)題的相似性和知識(shí)的系統(tǒng)性,我們可以把與此相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行歸納推理,以期對(duì)其一網(wǎng)打盡.