例析兩類與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題的解決策略

石宏丹

摘要：菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)常出現(xiàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)與菱形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的一道關(guān)卡.本文中主要介紹兩類與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，并以例題分析的形式探討這兩類問題的解決策略.

關(guān)鍵詞：菱形；動(dòng)點(diǎn)問題；面積；策略

在與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題中，求圖形的面積、根據(jù)圖形的形狀求時(shí)間是兩大主要類型.求圖形的面積是以動(dòng)態(tài)的視角討論面積變化趨勢(shì)，而根據(jù)圖形的形狀求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間則比較多見，是動(dòng)點(diǎn)問題中比較有代表性的類型[1].無論是哪種類型，難度都較大，多數(shù)學(xué)生不容易掌握.所以，教師積極探究其解決策略顯得尤為必要.基于此，本文中特選此兩類問題進(jìn)行解決策略的探討，即根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求面積、根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求時(shí)間，一方面為一線教師解決教學(xué)難點(diǎn)提供廣泛的素材，另一方面，幫助學(xué)生掃除學(xué)習(xí)障礙.

1 根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求面積

例1? 如圖1，在等腰三角形ABC中，BC=AB=5 cm，AC=6 cm.現(xiàn)將△ABC向右平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C、點(diǎn)E與點(diǎn)A分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接BE和AC并交于點(diǎn)O.

（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，在線段BC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（在運(yùn)動(dòng)時(shí)不與點(diǎn)B，C重合），連接PO并延長(zhǎng)，使之與線段AE相交于點(diǎn)Q.過點(diǎn)Q作BD的垂線，垂足為R.試分析在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PQED的面積的特點(diǎn).

分析：（1）首先，根據(jù)圖形的平移可證得四邊形ABCE是平行四邊形；然后，結(jié)合AB=BC，利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得它為菱形.（2）四邊形PQED的面積不變，始終是24 cm2.

解：（1）四邊形ABCE是菱形．

∵將△ABC向右平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)C

重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C、點(diǎn)E與點(diǎn)A分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

∴EC AB.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∵BC=AB，

∴四邊形ABCE是菱形.

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PQED的面積不變，始終是24 cm2.

理由如下：

由（1）可知，四邊形ABCE是菱形.

∴BE⊥AC，OC=12AC.

∵AC=6 cm，

∴OC=3 cm.

∵BC=5 cm，

根據(jù)勾股定理，易得BO=4 cm.

如圖3所示，過A作BC的垂線，垂足為H.

∵S△ABC=12BC·AH=12AC·BO，

∴AH=245 cm．

∵四邊形ABCE是菱形，

∴易證得△PBO≌△QEO.

∴BP=QE.

∴S四邊形PQED=12（QE+PD）·QR

=12（BP+PD）·AH

=12BD·AH

=12×10×245

=24（cm2）．

方法總結(jié)：根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求圖形的面積，首先需分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，將其中幾種運(yùn)動(dòng)的情況分析出來，然后從整體上把握?qǐng)D形形狀的變化及面積的變化過程[2].在分析出圖形的形狀之后，可利用如下兩種方法求圖形的面積：

（1）根據(jù)面積公式求.如果是規(guī)則圖形，則按照規(guī)則圖形的面積公式直接求出即可.

（2）利用若干個(gè)面積之間的關(guān)系求.如果圖形的形狀不規(guī)則，則利用若干個(gè)面積之間的關(guān)系求，即把不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)規(guī)則圖形，然后求出若干個(gè)小規(guī)則圖形的面積，再將它們的面積相加或相減.

2 根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求時(shí)間

例2? 如圖4，在△ABC中，AB⊥BC，∠C=30°，BC=53.在CA和AB上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，E，它們的速度分別是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且運(yùn)動(dòng)方向如圖示.過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，并連接DE和EF．現(xiàn)規(guī)定：D，E兩點(diǎn)都進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）試判斷：四邊形AEFD可能是菱形嗎？如果可能，請(qǐng)求出相應(yīng)的t值.

（2）試判斷：△DEF可能是直角三角形嗎？如果可能，請(qǐng)求出相應(yīng)的t值.

分析：（1）證明一個(gè)四邊形為菱形，通常先證明該四邊形為平行四邊形，然后結(jié)合鄰邊或?qū)蔷€的特點(diǎn)，利用相關(guān)的判定定理就可以證得該四邊形為菱形.

（2）先從結(jié)論出發(fā)逆推，根據(jù)分類討論思想進(jìn)行分析，最后總結(jié)即可.

解：（1）四邊形AEFD可能是菱形．

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴DF∥AE．

∵AE=t，CD=2t，且∠C=30°，

∴AE=DF=t.

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

∵AB=BC·tan 30°=5，

∴AC=10.

∴AD=AC-DC=10-2t．

∴t=10-2t．

故t=103.

（2）△DEF可能是直角三角形.

①當(dāng)∠EDF為直角，四邊形EBFD就是矩形．

∵∠ADE=∠C=30°，

∴10-2t=2t.

故t=52．

②當(dāng)∠DEF為直角時(shí)，∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=90°-30°=60°.

∴AD=AE·cos 60°=12t.

∴10-2t=12t.

故t=4.

③當(dāng)∠EFD為直角時(shí)，該情況不存在．

綜上所述，當(dāng)t=52或4時(shí)，△DEF是直角

三角形．

方法總結(jié)：根據(jù)圖形求運(yùn)動(dòng)時(shí)間最關(guān)鍵之處在于找準(zhǔn)圖形的特點(diǎn)，然后據(jù)此列方程并求解.在此過程中，可能會(huì)因?yàn)閳D形的形狀發(fā)生變化而需要分類討論.對(duì)于這類問題，可按如下過程解決：

首先，針對(duì)每種類型畫出相應(yīng)的圖形，并利用圖形分析相應(yīng)的情況；

然后，將分析的情況進(jìn)行總結(jié)，便得到了符合題意的解決過程.

綜上所述，求圖形面積通常會(huì)在菱形中有運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的情況下討論圖形面積的變化特點(diǎn)，而圖形的面積變化主要是由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)造成的.根據(jù)圖形的形狀求運(yùn)動(dòng)時(shí)間，是菱形中動(dòng)點(diǎn)問題的典型代表，需根據(jù)這些圖形的性質(zhì)找到等量關(guān)系，然后利用等量關(guān)系列方程并求解.這些都是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想或分類討論思想的體現(xiàn)，教學(xué)中教師不應(yīng)僅局限于問題的分析，而應(yīng)該充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢華.菱形何時(shí)有？——菱形動(dòng)點(diǎn)問題品賞[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2022（Z2）：30-31.

[2]仇玉祥.“動(dòng)中求靜，處變不驚”——與函數(shù)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題解題策略[J].新高考（升學(xué)考試），2017（5）：30-31，61.