數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維的啟發(fā)與培養(yǎng)

周勇軍 肖樂斌

摘要：米·伊·加里寧對中學(xué)生們說過“數(shù)學(xué)，可以讓大腦更有條理，并且培養(yǎng)思維的邏輯性”，這是對思維在數(shù)學(xué)中的地位與作用的高度概括.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中在培養(yǎng)學(xué)生思維能力上應(yīng)如何有所突破和提高？數(shù)學(xué)知識的獲取應(yīng)是思維的結(jié)果，導(dǎo)出這些結(jié)果的思維過程，是培養(yǎng)邏輯思維的最佳時機和重要途徑.要想在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力就需要讓學(xué)生親自參與感知、分析、綜合，抽象、概括的過程，如果忽視學(xué)生的認識和思維過程，就會削弱思維能力的培養(yǎng).本文中針對如何在獲取知識的過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力提出幾點教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：思維；基本語言法；基本圖形法

1 教學(xué)中要注意知識的遷移

“以其所知，喻其不知，使其知之.”這句話說明了用已知去獲取新知的道理，后續(xù)知識既是新知識，又是已學(xué)知識的發(fā)展.數(shù)學(xué)教材通常在較多的例題前設(shè)計“準備題”與“復(fù)習(xí)題”，其目的也就是溝通新舊知識，讓學(xué)生聯(lián)系舊知識，學(xué)習(xí)新知識.因此，在教學(xué)新知識時，應(yīng)充分利用教材知識的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生指引一條由已知探求未知的道路，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.

例1? 比較下列兩個數(shù)的大小.

（1）-1.9，-2.1；? （2）-58，-98.

其實，比較1.9與2.1，58與98的大小，屬于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容.

在學(xué)習(xí)新知識時，先復(fù)習(xí)舊知識，弄清兩個正數(shù)的大小，再加上一個符號法則，新問題就迎刃而解了.這樣，立足于遷移，通過復(fù)習(xí)題，步步引導(dǎo)，促使學(xué)生了解新舊知識的聯(lián)系和變化，并正確表述自己的思維活動過程，由此提高學(xué)生的抽象概括能力，進而促進邏輯思維能力的發(fā)展.

2 代數(shù)課上用基本語言法引導(dǎo)學(xué)生思維

基本語言法是指將復(fù)雜的代數(shù)問題逐步轉(zhuǎn)化為簡單的、學(xué)生能求解的形式.它是代數(shù)課上啟發(fā)學(xué)生思維的重要方法之一.下面結(jié)合例題具體談?wù)勥@種方法在啟導(dǎo)學(xué)生思維方面的具體運用.

例2? “x的3倍與y的差除以x與y的2倍的和的商”，如何列代數(shù)式.

運用基本語言法啟導(dǎo)學(xué)生思維，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目結(jié)構(gòu).（用提問的方式啟發(fā)學(xué)生思維.）

問題? 同學(xué)們，你能說出這段文字表述中含有幾種運算嗎？（讓學(xué)生在思維活動前，對問題內(nèi)容有初步的認識.）

學(xué)生都能很快回答有“差、和、商”.同時，提醒學(xué)生在這些關(guān)鍵字眼上作上記號.

接著進一步提問：誰能用最基本、最簡潔的語言說出這句話的大概意思呢？（讓學(xué)生在不自覺中運用基本語言法來找到思維的突破口.）

學(xué)生可能有兩種典型的回答：

（1）差除以x再加上y的2倍的和；

（2）差除以和的商.

通過引導(dǎo)學(xué)生分析，原題目要求的問題可最終落腳到一個“商”字上.進一步讓學(xué)生分析“到底是什么與什么的商呢？”學(xué)生很快會得出是“差與和的商”.其中，（1）的錯誤在于沒有把握住基本語言的核心“商”.

最后，向?qū)W生明確指出：實際上，大家剛才使用了一種將復(fù)雜的代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為基本語言的方法，我們把這種方法稱為基本語言法.從上面的分析可以看出，基本語言法能讓我們迅速、準確地捕捉到問題的主要矛盾.只要抓住了主要矛盾，學(xué)生的思維活動就會自然而然地正常、活躍、有序的運轉(zhuǎn).為了解決主要矛盾，學(xué)生思維的能動性就會自動地推動其思維活動去處理最需要解決的次要矛盾.對于例2，學(xué)生為了能解決“差除以和的商”就會自然地去求“誰的差”“誰的和”.

基本語言法是一種啟導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生思維行之有效的方法.它以辯證唯物論中的矛盾論為理論依據(jù).要掌握好這種方法，需要學(xué)生有較強的語言駕馭能力，能抓住問題的主要矛盾準確進行轉(zhuǎn)化.

為了能使學(xué)生對基本語言法有更清晰的認識，下面再給出一道文字語言少而數(shù)學(xué)語言多的題目.

例3? 設(shè)y=a（x2+2x+4）2+3a（x2+2x+4）+b的最小值是37，且x=-2時，y=57，求a，b的值.

對于此例，如何具體地引導(dǎo)學(xué)生運用基本語言法去分析、轉(zhuǎn)化這里不再贅述，這里僅將使用基本語言法的轉(zhuǎn)化過程整理如下.

通過思維，一般學(xué)生根據(jù)條件能夠?qū)＝-2，y=57代入原函數(shù)式化簡，整理得到28a+b=57.

原題可簡化為：

設(shè)y=a（x2+2x十4）2+3a（x2+2x+4）+b的最小值是37，且28a+b=57求a，b的值.

引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)式，為了簡化，設(shè)u=x2+2x+4，則u＝（x十1）2十3≥3.

進一步可簡化為：設(shè)y=au2+3au十b（u≥3）的最小值是37，且28a+b=57，求a，b的值.

將u=3代入y=au2十3au+b，得18a+b=37.

原題最后簡化為：

設(shè)18a+b=37，且28a+b=57，求a，b的值.

3 幾何課上用基本圖形法引導(dǎo)學(xué)生思維

基本圖形法是運用基本圖形探索幾何解題思路的一種方法.它有助于提高學(xué)生的幾何解題能力.

它的模式是：將問題分解或構(gòu)造出若干個起主要作用的基本圖形，推出明顯（或隱藏）的性質(zhì)，根據(jù)結(jié)論選擇組合，通過推理證明解決問題.

下面結(jié)合例子進行分析.

例4? 如圖1，ABCD中，AE平分∠BAD，BM平分∠ABC，CM平分∠BCD，DE平分∠ADC.

求證：四邊形MNEF是矩形.

引導(dǎo)學(xué)生審題，首先對題目的已知條件及整個圖形有一個大致的認識.這是運用基本圖形法的基礎(chǔ).

問題1? 要證四邊形MNEF是矩形，只需證什么就行了？

學(xué)生的回答可能有多種，但都離不開證“四個角都是直角”.（這是啟動學(xué)生思維的開端.）

追問：四邊形MNEF的四個角是怎樣形成的？（這是引入基本圖形的關(guān)鍵，也是學(xué)生思維能否連續(xù)的關(guān)鍵點.）

學(xué)生一般都能回答：每個角都是由一對角平分線相交形成的，并且是由一組平行線的同旁內(nèi)角形成的.

問題2? 一組平行線的同旁內(nèi)角的平分線相交形成的角有什么特點呢？

這就自然將問題轉(zhuǎn)變到對基本圖形的探索上了：

（1）如圖2，已知AD∥BC，AN平分∠BAD，BN平分∠ABC.求證：AN⊥BN.

（2）如圖3，已知AB∥CD，BM平分∠ABC，CM平分∠BCD.求證：BM⊥CM.

為了能使學(xué)生對基本圖形法有更清楚的認識，下面再舉一個較復(fù)雜的例子.

例5? 如圖4，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC和BD交于點M，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F.

求證：EF∥CD.

此題線條比較多，圖形較復(fù)雜，如何運用基本圖形法來啟導(dǎo)學(xué)生思維呢？其運用過程簡述如下：

第一步，要求學(xué)生在圖中尋找所要證的基本圖形是什么.學(xué)生不難找出所證圖形為圖5.

結(jié)合此基本圖特點，讓學(xué)生自己得出：要證EF∥CD，即證∠CDM=∠FEM.

第二步，根據(jù)第一步的結(jié)論，學(xué)生的思維就會轉(zhuǎn)向在原圖中尋找∠CDM與∠FEM.教師這時可以和學(xué)生共同分析，得出：

（1）∠CDM位于原圖的基本圖形是外圍圖形，如圖6.

隱含結(jié)論：∠CDM=∠BAM.要證∠CDM=∠FEM，即只需證∠FEM=∠BAM.

（2）∠FEM位于原圖的基本圖形是核心圖形，如圖7或圖8.

引導(dǎo)學(xué)生觀察，就會發(fā)現(xiàn)核心圖形中的隱含性質(zhì)——Rt△ABF與△ABE共圓，深化核心圖形.

聯(lián)系第一步，最后確定要證∠FEM=∠BAM，這兩個角都在核心圖形中.學(xué)生此時的注意力就可全集中于該圖中，不難證明∠BAM=∠FEM.

第三步，學(xué)生根據(jù)結(jié)論，選擇組合完成整個幾何問題的證明.

從以上例子可以看出，基本圖形法運用得當(dāng)，確實能使學(xué)生主動參與活動，準確有序地完成幾何問題的證明.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意新舊知識之間的聯(lián)系與遷移、基本數(shù)學(xué)語言中的核心字眼，融合基本圖形的應(yīng)用與分解組合，對培養(yǎng)和啟發(fā)學(xué)生的思維有重要的作用.